Información general sobre el prisma recto.

La superficie lateral de un prisma (más precisamente, el área de la superficie lateral) se llama sumaáreas de las caras laterales. La superficie total del prisma es igual a la suma de la superficie lateral y las áreas de las bases.

Teorema 19.1. La superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma, es decir, la longitud del borde lateral.

Prueba. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos. Las bases de estos rectángulos son los lados del polígono que se encuentran en la base del prisma y las alturas son iguales a la longitud de los bordes laterales. Resulta que superficie lateral prisma es igual

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

donde a 1 y n son las longitudes de los bordes de la base, p es el perímetro de la base del prisma e I es la longitud de los bordes laterales. El teorema está demostrado.

tarea practica

Problema (22) . En un prisma inclinado se realiza sección, perpendicular a las nervaduras laterales e intersectando todas las nervaduras laterales. Encuentre la superficie lateral del prisma si el perímetro de la sección transversal es igual a p y los bordes laterales son iguales a l.

Solución. El plano de la sección dibujada divide el prisma en dos partes (Fig. 411). Sometamos uno de ellos a traslación paralela, combinando las bases del prisma. En este caso, obtenemos un prisma recto, cuya base es la sección transversal del prisma original y los bordes laterales son iguales a l. Este prisma tiene la misma superficie lateral que el original. Por tanto, la superficie lateral del prisma original es igual a pl.

Generalización del tema tratado.

Ahora intentemos resumir el tema que cubrimos sobre los prismas y recordar qué propiedades tiene un prisma.

Propiedades del prisma

En primer lugar, un prisma tiene todas sus bases como polígonos iguales;
En segundo lugar, el prisma tiene todas sus caras laterales son paralelogramos;
En tercer lugar, en una figura tan multifacética como un prisma, todos los bordes laterales son iguales;

Además, cabe recordar que los poliedros como los prismas pueden ser rectos o inclinados.

¿Qué prisma se llama prisma recto?

si el prisma costilla lateral se encuentra perpendicular al plano de su base, entonces dicho prisma se llama línea recta.

No estaría de más recordar que las caras laterales de un prisma recto son rectángulos.

¿Qué tipo de prisma se llama oblicuo?

Pero si el borde lateral de un prisma no se encuentra perpendicular al plano de su base, entonces podemos decir con seguridad que es un prisma inclinado.

¿Qué prisma se llama correcto?

Si un polígono regular se encuentra en la base de un prisma recto, entonces dicho prisma es regular.

Ahora recordemos las propiedades que tiene un prisma regular.

Propiedades de un prisma regular

En primer lugar, los polígonos regulares siempre sirven como base de un prisma regular;
En segundo lugar, si consideramos las caras laterales de un prisma regular, siempre son rectángulos iguales;
En tercer lugar, si comparamos los tamaños de las nervaduras laterales, en un prisma regular siempre son iguales.
En cuarto lugar, un prisma correcto es siempre recto;
En quinto lugar, si en un prisma regular las caras laterales tienen forma de cuadrados, esa figura suele denominarse polígono semirregular.

Sección transversal del prisma

Ahora veamos la sección transversal del prisma:

Tarea

Ahora intentemos consolidar el tema que hemos aprendido resolviendo problemas.

Dibujemos un prisma triangular inclinado, la distancia entre sus bordes será igual a: 3 cm, 4 cm y 5 cm, y la superficie lateral de este prisma será igual a 60 cm2. Teniendo estos parámetros, encuentre el borde lateral de este prisma.

¿Sabes que las figuras geométricas nos rodean constantemente no solo en las lecciones de geometría, sino también en La vida cotidiana Hay objetos que se parecen a una u otra figura geométrica.

Cada hogar, escuela o trabajo tiene una computadora cuya unidad de sistema tiene forma de prisma recto.

Si tomas un lápiz simple, verás que la parte principal del lápiz es un prisma.

Caminando por la calle central de la ciudad, vemos que bajo nuestros pies se encuentra un azulejo que tiene forma de prisma hexagonal.

A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas

poliedros

El principal objeto de estudio de la estereometría son los cuerpos espaciales. Cuerpo representa una parte del espacio limitada por una determinada superficie.

Poliedro es un cuerpo cuya superficie está formada por un número finito de polígonos planos. Un poliedro se llama convexo si está ubicado a un lado del plano de cada polígono plano en su superficie. La parte común de dicho plano y la superficie de un poliedro se llama borde. Las caras de un poliedro convexo son planas. polígonos convexos. Los lados de las caras se llaman bordes del poliedro, y los vértices son vértices del poliedro.

Por ejemplo, un cubo consta de seis cuadrados, que son sus caras. Contiene 12 aristas (los lados de los cuadrados) y 8 vértices (las partes superiores de los cuadrados).

Los poliedros más simples son los prismas y las pirámides, que estudiaremos más a fondo.

Prisma

Definición y propiedades de un prisma.

Prisma es un poliedro que consta de dos polígonos planos que se encuentran en planos paralelos combinados por traslación paralela, y todos los segmentos que conectan los puntos correspondientes de estos polígonos. Los polígonos se llaman bases de prisma, y los segmentos que conectan los vértices correspondientes de los polígonos son bordes laterales del prisma.

altura del prisma se llama distancia entre los planos de sus bases (). El segmento que une dos vértices de un prisma que no pertenecen a la misma cara se llama prisma diagonal(). El prisma se llama n-carbono, si su base es un n-gon.

Cualquier prisma tiene las siguientes propiedades, resultantes del hecho de que las bases del prisma se combinan mediante traslación paralela:

1. Las bases del prisma son iguales.

2. Los bordes laterales del prisma son paralelos e iguales.

La superficie del prisma consta de bases y superficie lateral. La superficie lateral del prisma consta de paralelogramos (esto se desprende de las propiedades del prisma). El área de la superficie lateral de un prisma es la suma de las áreas de las caras laterales.

Prisma recto

El prisma se llama derecho, si sus bordes laterales son perpendiculares a las bases. De lo contrario el prisma se llama inclinado.

Las caras de un prisma recto son rectángulos. La altura de un prisma recto es igual a sus caras laterales.

Superficie de prisma completa se llama suma del área de la superficie lateral y las áreas de las bases.

Con el prisma correcto llamado prisma recto con un polígono regular en su base.

Teorema 13.1. El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro por la altura del prisma (o, lo que es lo mismo, por el borde lateral).

Prueba. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos, cuyas bases son los lados de los polígonos en las bases del prisma y las alturas son las aristas laterales del prisma. Entonces, por definición, el área de la superficie lateral es:

,

¿Dónde está el perímetro de la base de un prisma recto?

Paralelepípedo

Si en las bases de un prisma hay paralelogramos, entonces se llama paralelepípedo. Todas las caras de un paralelepípedo son paralelogramos. En este caso, las caras opuestas del paralelepípedo son paralelas e iguales.

Teorema 13.2. Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en un punto y se dividen por la mitad por el punto de intersección.

Prueba. Consideremos dos diagonales arbitrarias, por ejemplo, y . Porque las caras de un paralelepípedo son paralelogramos, entonces y , lo que significa según To hay dos rectas paralelas a la tercera. Además, esto significa que las líneas rectas y se encuentran en el mismo plano (plano). Este plano intersecta planos paralelos y a lo largo de rectas paralelas y . Así, un cuadrilátero es un paralelogramo, y por la propiedad del paralelogramo, sus diagonales se cortan y se dividen por la mitad por el punto de intersección, que era lo que había que demostrar.

Un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo se llama paralelepípedo rectangular. Todas las caras de un paralelepípedo rectangular son rectángulos. Las longitudes de los bordes no paralelos de un paralelepípedo rectangular se denominan dimensiones lineales (dimensiones). Hay tres tamaños de este tipo (ancho, alto, largo).

Teorema 13.3. En un paralelepípedo rectangular, el cuadrado de cualquier diagonal igual a la suma cuadrados de sus tres dimensiones (probado aplicando la T de Pitágoras dos veces).

Un paralelepípedo rectangular con todas las aristas iguales se llama cubo.

Tareas

13.1 ¿Cuántas diagonales tiene? norte-prisma de carbono

13.2 En un prisma triangular inclinado, las distancias entre los bordes laterales son 37, 13 y 40. Encuentre la distancia entre el borde lateral mayor y el borde lateral opuesto.

13.3 Se dibuja un plano a través del lado de la base inferior de un prisma triangular regular, cortando las caras laterales a lo largo de segmentos con un ángulo entre ellas. Encuentra el ángulo de inclinación de este plano con respecto a la base del prisma.

EN currículum escolar En un curso de estereometría, el estudio de figuras tridimensionales suele comenzar con un cuerpo geométrico simple: el poliedro de un prisma. El papel de sus bases lo realizan 2. polígono igual, situadas en planos paralelos. Un caso especial es un prisma cuadrangular regular. Sus bases son 2 cuadrángulos regulares idénticos, a los cuales los lados son perpendiculares, teniendo forma de paralelogramos (o rectángulos, si el prisma no está inclinado).

¿Cómo se ve un prisma?

Un prisma cuadrangular regular es un hexágono cuyas bases son 2 cuadrados y las caras laterales están representadas por rectángulos. Otro nombre para esto figura geométrica- paralelepípedo recto.

A continuación se muestra un dibujo que muestra un prisma cuadrangular.

También puedes ver en la imagen. elementos esenciales, del cual consta el cuerpo geométrico. Éstas incluyen:

A veces, en los problemas de geometría, puedes encontrarte con el concepto de sección. La definición será la siguiente: una sección son todos los puntos de un cuerpo volumétrico que pertenecen a un plano de corte. La sección puede ser perpendicular (interseca los bordes de la figura en un ángulo de 90 grados). Para un prisma rectangular se considera también una sección diagonal (el número máximo de secciones que se pueden construir es 2), pasando por 2 aristas y las diagonales de la base.

Si la sección se dibuja de tal manera que el plano de corte no sea paralelo ni a las bases ni a las caras laterales, el resultado es un prisma truncado.

Para encontrar los elementos prismáticos reducidos se utilizan diversas relaciones y fórmulas. Algunos de ellos se conocen del curso de planimetría (por ejemplo, para encontrar el área de la base de un prisma basta con recordar la fórmula del área de un cuadrado).

Área de superficie y volumen

Para determinar el volumen de un prisma usando la fórmula, necesitas saber el área de su base y su altura:

V = Sbas h

Como la base de un prisma tetraédrico regular es un cuadrado de lado a, Puedes escribir la fórmula de forma más detallada:

V = a²·h

Si hablamos de un cubo, un prisma regular con igual largo, ancho y alto, el volumen se calcula de la siguiente manera:

Para entender cómo encontrar el área de la superficie lateral de un prisma, es necesario imaginar su desarrollo.

En el dibujo se puede ver que la superficie lateral está formada por 4 rectángulos iguales. Su área se calcula como el producto del perímetro de la base por la altura de la figura:

Lado = Posn h

Teniendo en cuenta que el perímetro del cuadrado es igual a pag = 4a, la fórmula toma la forma:

Lado = 4a h

Para cubo:

Lado = 4a²

Para calcular el área de la superficie total del prisma, es necesario sumar 2 áreas de base al área lateral:

Sfull = Sside + 2Smain

En relación con un prisma regular cuadrangular, la fórmula es la siguiente:

Total = 4a h + 2a²

Para el área de superficie de un cubo:

Lleno = 6a²

Conociendo el volumen o superficie, se puede calcular elementos individuales cuerpo geométrico.

Encontrar elementos de prisma

Muchas veces hay problemas en los que se da el volumen o se conoce el área lateral de la superficie, donde es necesario determinar la longitud del lado de la base o la altura. En tales casos, se pueden derivar las fórmulas:

• longitud del lado de la base: a = Slado / 4h = √(V / h);
• altura o longitud de la costilla lateral: h = Slado / 4a = V / a²;
• área de la base: Sbas = V/h;
• área de la cara lateral: Lado gr = Lado / 4.

Para determinar cuánta área tiene la sección diagonal, necesitas saber la longitud de la diagonal y la altura de la figura. por un cuadrado re = a√2. Por lo tanto:

Sdiag = ah√2

Para calcular la diagonal de un prisma utilizamos la fórmula:

dpremio = √(2a² + h²)

Para comprender cómo aplicar las relaciones dadas, puedes practicar y resolver varias tareas sencillas.

Ejemplos de problemas con soluciones.

A continuación se muestran algunas tareas que se encuentran en los exámenes finales estatales de matemáticas.

Ejercicio 1.

Se vierte arena en una caja con forma de prisma cuadrangular regular. La altura de su nivel es de 10 cm. ¿Cuál será el nivel de arena si la colocas en un recipiente de la misma forma, pero con una base el doble de larga?

Se debe razonar de la siguiente manera. La cantidad de arena en el primer y segundo contenedor no cambió, es decir, su volumen en ellos es el mismo. Puedes denotar la longitud de la base por a. En este caso, para la primera casilla el volumen de la sustancia será:

V₁ = ha² = 10a²

Para la segunda caja, la longitud de la base es 2a, pero se desconoce la altura del nivel de arena:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Porque el V₁ = V₂, podemos igualar las expresiones:

10a² = 4ha²

Después de reducir ambos lados de la ecuación en a², obtenemos:

Como resultado, el nuevo nivel de arena será h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Tarea 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ es un prisma correcto. Se sabe que BD = AB₁ = 6√2. Encuentra la superficie total del cuerpo.

Para que sea más fácil entender qué elementos se conocen, puedes dibujar una figura.

Como estamos hablando de un prisma regular, podemos concluir que en la base hay un cuadrado con una diagonal de 6√2. La diagonal de la cara lateral tiene el mismo tamaño, por lo tanto, la cara lateral también tiene forma de cuadrado igual a la base. Resulta que las tres dimensiones (largo, ancho y alto) son iguales. Podemos concluir que ABCDA₁B₁C₁D₁ es un cubo.

La longitud de cualquier arista se determina mediante una diagonal conocida:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

El área total de la superficie se encuentra usando la fórmula para un cubo:

Lleno = 6a² = 6 6² = 216

Tarea 3.

La habitación está siendo renovada. Se sabe que su piso tiene forma de cuadrado con una superficie de 9 m². La altura de la habitación es de 2,5 m. ¿Cuál es el coste más bajo de empapelar una habitación si 1 m² cuesta 50 rublos?

Dado que el piso y el techo son cuadrados, es decir, cuadrángulos regulares, y sus paredes son perpendiculares a superficies horizontales, podemos concluir que es el prisma correcto. Es necesario determinar el área de su superficie lateral.

La longitud de la habitación es un = √9 = 3 metro.

El área se cubrirá con papel tapiz. Lado = 4 3 2,5 = 30 m².

El costo más bajo de papel tapiz para esta habitación será 50·30 = 1500 rublos

Así, para resolver problemas que involucran un prisma rectangular, basta con saber calcular el área y el perímetro de un cuadrado y un rectángulo, así como conocer las fórmulas para encontrar el volumen y el área de la superficie.

Cómo encontrar el área de un cubo

Prisma. Paralelepípedo

Prisma es un poliedro cuyas dos caras son n-gonos iguales (bases) , que se encuentran en planos paralelos, y las n caras restantes son paralelogramos (caras laterales) . costilla lateral El lado de un prisma que no pertenece a la base se llama lado del prisma.

Un prisma cuyos bordes laterales son perpendiculares a los planos de las bases se llama derecho prisma (Fig. 1). Si los bordes laterales no son perpendiculares a los planos de las bases, entonces el prisma se llama inclinado . Correcto Un prisma es un prisma recto cuyas bases son polígonos regulares.

Altura prisma es la distancia entre los planos de las bases. Diagonal Un prisma es un segmento que conecta dos vértices que no pertenecen a la misma cara. sección diagonal Se llama sección de un prisma a un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara. sección perpendicular Se llama sección de un prisma por un plano perpendicular al borde lateral del prisma.

Superficie lateral de un prisma es la suma de las áreas de todas las caras laterales. Superficie total se llama suma de las áreas de todas las caras del prisma (es decir, la suma de las áreas de las caras laterales y las áreas de las bases).

Para un prisma arbitrario las siguientes fórmulas son verdaderas::

Dónde yo– longitud de la nervadura lateral;

h- altura;

PAG

q

lado S

S lleno

base S– área de las bases;

V– volumen del prisma.

Para un prisma recto las siguientes fórmulas son correctas:

Dónde pag– perímetro de la base;

yo– longitud de la nervadura lateral;

h- altura.

paralelepípedo Se llama prisma cuya base es un paralelogramo. Un paralelepípedo cuyos bordes laterales son perpendiculares a las bases se llama directo (Figura 2). Si los bordes laterales no son perpendiculares a las bases, entonces el paralelepípedo se llama inclinado . Un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo se llama rectangular. Un paralelepípedo rectangular con todas las aristas iguales se llama cubo

Las caras de un paralelepípedo que no tienen vértices comunes se llaman opuesto . Las longitudes de las aristas que emanan de un vértice se llaman mediciones paralelepípedo. Dado que un paralelepípedo es un prisma, sus elementos principales se definen de la misma manera que se definen para los prismas.

Teoremas.

1. Las diagonales de un paralelepípedo se cruzan en un punto y son atravesadas por él.

2. En un paralelepípedo rectangular, el cuadrado de la longitud de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones:

3. Las cuatro diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales entre sí.

Para un paralelepípedo arbitrario son válidas las siguientes fórmulas:

Dónde yo– longitud de la nervadura lateral;

h- altura;

PAG– perímetro de sección perpendicular;

q– Área de sección transversal perpendicular;

lado S– superficie lateral;

S lleno- superficie total;

base S– área de las bases;

V– volumen del prisma.

Para un paralelepípedo recto las siguientes fórmulas son correctas:

Dónde pag– perímetro de la base;

yo– longitud de la nervadura lateral;

h– altura de un paralelepípedo recto.

Para un paralelepípedo rectangular las siguientes fórmulas son correctas:

(3)

Dónde pag– perímetro de la base;

h- altura;

d– diagonal;

a B C– medidas de un paralelepípedo.

Las siguientes fórmulas son correctas para un cubo:

Dónde a– longitud de las costillas;

d- diagonal del cubo.

Ejemplo 1. La diagonal de un paralelepípedo rectangular es de 33 dm y sus dimensiones están en la proporción 2: 6: 9. Calcula las dimensiones del paralelepípedo.

Solución. Para encontrar las dimensiones del paralelepípedo utilizamos la fórmula (3), es decir por el hecho de que el cuadrado de la hipotenusa de un cuboide es igual a la suma de los cuadrados de sus dimensiones. Denotemos por k factor de proporcionalidad. Entonces las dimensiones del paralelepípedo serán iguales a 2. k, 6k y 9 k. Escribamos la fórmula (3) para los datos del problema:

Resolviendo esta ecuación para k, obtenemos:

Esto quiere decir que las dimensiones del paralelepípedo son 6 dm, 18 dm y 27 dm.

Respuesta: 6dm, 18dm, 27dm.

Ejemplo 2. Encuentre el volumen de un prisma triangular inclinado, cuya base es un triángulo equilátero con un lado de 8 cm, si el borde lateral es igual al lado de la base y está inclinado en un ángulo de 60º con respecto a la base.

Solución . Hagamos un dibujo (Fig. 3).

Para encontrar el volumen de un prisma inclinado, necesitas saber el área de su base y su altura. El área de la base de este prisma es el área de un triángulo equilátero de 8 cm de lado Calculémoslo:

La altura de un prisma es la distancia entre sus bases. Desde la parte superior A 1 de la base superior, baje la perpendicular al plano de la base inferior A 1 D. Su longitud será la altura del prisma. Considere D A 1 ANUNCIO: ya que este es el ángulo de inclinación del borde lateral A 1 A al plano base, A 1 A= 8 cm. De este triángulo encontramos. A 1 D:

Ahora calculamos el volumen usando la fórmula (1):

Respuesta: 192cm3.

Ejemplo 3. El borde lateral de un prisma hexagonal regular mide 14 cm y el área de la sección diagonal más grande es 168 cm 2. Encuentra el área de superficie total del prisma.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig.4)

La sección diagonal más grande es un rectángulo. AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO. 1 DD 1 desde diagonal ANUNCIO hexágono regular A B C D E F es el más grande. Para calcular el área de la superficie lateral del prisma, es necesario conocer el lado de la base y la longitud del borde lateral.

Conociendo el área de la sección diagonal (rectángulo), encontramos la diagonal de la base.

Desde entonces

Desde entonces AB= 6 cm.

Entonces el perímetro de la base es:

Encontremos el área de la superficie lateral del prisma:

El área de un hexágono regular de 6 cm de lado es:

Encuentra el área de superficie total del prisma:

Respuesta:

Ejemplo 4. La base de un paralelepípedo recto es un rombo. Las áreas de la sección transversal diagonal son 300 cm2 y 875 cm2. Encuentra el área de la superficie lateral del paralelepípedo.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 5).

Denotemos el lado del rombo por A, diagonales de un rombo d 1 y d 2, altura paralelepípedo h. Para encontrar el área de la superficie lateral de un paralelepípedo recto es necesario multiplicar el perímetro de la base por la altura: (fórmula (2)). Perímetro de la base p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, porque A B C D- rombo H =AA 1 = h. Eso. Necesito encontrar A Y h.

Consideremos secciones diagonales. Automóvil club británico 1 SS 1 – un rectángulo, uno de cuyos lados es la diagonal de un rombo C.A. = d 1, segundo – borde lateral Automóvil club británico 1 = h, Entonces

Lo mismo para la sección CAMA Y DESAYUNO 1 DD 1 obtenemos:

Usando la propiedad de un paralelogramo tal que la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de todos sus lados, obtenemos la igualdad Obtenemos lo siguiente.