Teorema. La probabilidad de la suma de eventos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos:
Corolario 1. Utilizando el método de inducción matemática, la fórmula (3.10) se puede generalizar a cualquier número de eventos incompatibles por pares:
Corolario 2. Dado que los eventos opuestos son incompatibles y su suma es un evento confiable, entonces, usando (3.10), tenemos:
A menudo, al resolver problemas, la fórmula (3.12) se utiliza en la forma:
(3.13)
Ejemplo 3.29. En un experimento de lanzamiento de un dado, encuentre las probabilidades de obtener más de 3 y menos de 6 puntos en el lado superior.
Denotemos los eventos asociados con la pérdida de un punto en la cara superior del dado por Ud. 1 , dos puntos a través de Ud. 2 ,…, seis puntos a través Ud. 6 .
deja que el evento Ud.– un número de puntos superior a 3 y inferior a 6 que aparecen en la cara superior del dado. Este evento ocurrirá si ocurre al menos uno de los eventos. Ud. 4 o Ud. 5 , por lo tanto, se puede representar como la suma de estos eventos: . Porque los eventos Ud. 4 Y Ud. 5 son inconsistentes, entonces para encontrar la probabilidad de su suma usamos la fórmula (3.11). Considerando que las probabilidades de eventos Ud. 1 , Ud. 2 ,…,Ud. 6 son iguales, obtenemos:
Comentario. Anteriormente, los problemas de este tipo se resolvían contando el número de resultados favorables. De hecho, el evento U se ve favorecido por dos resultados, y solo hay seis resultados elementales, por lo tanto, utilizando el enfoque clásico del concepto de probabilidad, obtenemos:
Sin embargo, el enfoque clásico del concepto de probabilidad, a diferencia del teorema sobre la probabilidad de una suma de eventos incompatibles, es aplicable sólo para resultados igualmente posibles.
Ejemplo 3.30. La probabilidad de que el tirador acierte en el blanco es 0,7. ¿Cuál es la probabilidad de que el tirador falle en el blanco?
Sea el evento que el tirador da en el blanco, entonces el evento de que el tirador no da en el blanco es el evento opuesto al evento, ya que como resultado de cada ensayo siempre ocurre uno y solo uno de estos eventos. Usando la fórmula (3.13), obtenemos:
3.2.10. Probabilidad de que ocurran eventos.
Definición. El evento se llama dependiente del evento si la probabilidad de un evento depende de si el evento ocurrió o no.
Definición. La probabilidad de un evento calculada teniendo en cuenta que ocurrió el evento se llama la probabilidad condicional eventos y está designado
Teorema. La probabilidad de ocurrencia de eventos es igual al producto de la probabilidad de uno de ellos por la probabilidad condicional del otro, calculada bajo la condición de que el primero haya ocurrido:
Condición de independencia de un evento de un evento.
se puede escribir en la forma 
De esta afirmación se deduce que para eventos independientes se cumple la siguiente relación:
es decir, la probabilidad del producto de eventos independientes es igual al producto de sus probabilidades.
Comentario. La probabilidad de que ocurran varios eventos es igual al producto de las probabilidades de estos eventos, y la probabilidad de que ocurra cada evento posterior en orden se calcula siempre que todos los anteriores hayan ocurrido:
Si los eventos son independientes, entonces tenemos:
Ejemplo 3.31. En una caja hay 5 bolas blancas y 3 negras. De él se extraen dos bolas al azar, una tras otra, sin reemplazo. Calcula la probabilidad de que ambas bolas sean blancas.
Sea el evento la aparición de una bola blanca durante el primer sorteo y la aparición de una bola blanca durante el segundo sorteo. Dado eso, (la probabilidad de que aparezca una segunda bola blanca, dado que la primera bola extraída era blanca y no fue devuelta a la caja). Dado que los eventos son dependientes, encontramos la probabilidad de su producto usando la fórmula (3.15):
Ejemplo 3.32. La probabilidad de que el primer tirador dé en el blanco es 0,8; el segundo – 0,7. Cada tirador disparó a un objetivo. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un tirador dé en el blanco? ¿Cuál es la probabilidad de que un tirador dé en el blanco?
Deje que el evento sea el primer tirador en dar en el blanco y el segundo. Todas las opciones posibles se pueden representar en la forma. tablas 3.5, donde "+" significa que el evento ocurrió y "-" significa que no sucedió.
Tabla 3.5
Supongamos que el evento es que al menos un tirador da en el blanco. Entonces el evento es una suma de eventos independientes y, por lo tanto, es imposible aplicar el teorema sobre la probabilidad de una suma de eventos incompatibles en esta situación.
Consideremos el evento opuesto al evento que ocurrirá cuando ningún tirador acierte en el blanco, es decir, es un producto de eventos independientes. Usando las fórmulas (3.13) y (3.15), obtenemos:
Deje que el evento sea un tirador que da en el blanco. Este evento se puede representar de la siguiente manera:
Los eventos y son independientes, los eventos y también son independientes. Eventos que son producto de eventos y son incompatibles. Usando las fórmulas (3.10) y (3.15) obtenemos:
Propiedades de las operaciones de suma y multiplicación de eventos:
3.2.11. Fórmula de probabilidad total. fórmula de bayes
Deje que un evento ocurra solo junto con uno de los eventos incompatibles por pares (hipótesis),...,, formando un grupo completo, es decir.
La probabilidad de un evento se encuentra mediante la fórmula. probabilidad total:
Si el evento ya ocurrió, entonces las probabilidades de las hipótesis se pueden reestimar usando la fórmula bayesiano:
(3.17)
Ejemplo 3.33. Hay dos urnas idénticas con bolas. La primera urna contiene 5 bolas blancas y 10 negras, la segunda urna contiene 3 bolas blancas y 7 negras. Eligen una urna al azar y extraen de ella una bola.
Calcula la probabilidad de que esta bola sea blanca.
Se extrae una bola blanca de una urna elegida al azar. Calcula la probabilidad de que la bola salga de la primera urna.
\(\blacktriangleright\) Si para ejecutar el evento \(C\) es necesario ejecutar ambos eventos conjuntos (que pueden ocurrir simultáneamente) \(A\) y \(B\) (\(C=\(A\ ) y \( B\)\) ), entonces la probabilidad del evento \(C\) es igual al producto de las probabilidades de los eventos \(A\) y \(B\) .
Tenga en cuenta que si los eventos son incompatibles, entonces la probabilidad de que ocurran simultáneamente es igual a \(0\) .
\(\blacktriangleright\) Cada evento se puede representar mediante un círculo. Entonces, si los eventos son conjuntos, entonces los círculos deben cruzarse. La probabilidad de un evento \(C\) es la probabilidad de entrar en ambos círculos al mismo tiempo.
\(\blacktriangleright\) Por ejemplo, al lanzar un dado, encuentra la probabilidad \(C=\) (el número \(6\)).
El evento \(C\) se puede formular como \(A=\) (eliminando un número par) y \(B=\) (eliminando un número divisible por tres).
Entonces \(P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\).
Tarea 1 #3092
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
La tienda vende zapatillas de dos marcas: Dike y Ananas. La probabilidad de que un par de zapatillas seleccionadas al azar sean de Dike es \(0,6\). Cada empresa puede cometer un error al escribir su nombre en unas zapatillas. La probabilidad de que Dike escriba mal su nombre es \(0.05\); la probabilidad de que Ananas escriba mal su nombre es \(0.025\). Encuentre la probabilidad de que un par de zapatillas compradas al azar tenga la ortografía correcta del nombre de la empresa.
Evento A: “un par de zapatillas serán con el nombre correcto” es igual a la suma de los eventos B: “un par de zapatillas serán de Dike y con el nombre correcto” y C: “un par de zapatillas serán de Ananas y con el nombre correcto.”
La probabilidad del evento B es igual al producto de las probabilidades de los eventos “las zapatillas serán de Dike” y “el nombre de la empresa Dike fue escrito correctamente”: \ De manera similar para el evento C: \
Por eso, \
Respuesta: 0,96
Tarea 2 #166
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Si Timur juega con fichas blancas, le gana a Vanya con una probabilidad de 0,72. Si Timur juega con fichas negras, le gana a Vanya con una probabilidad de 0,63. Timur y Vanya juegan dos juegos y en el segundo cambian el color de las fichas. Calcula la probabilidad de que Vanya gane ambas veces.
Vanya gana con las blancas con probabilidad \(0,37\) y con las negras con probabilidad \(0,28\) . Los eventos “Vanya ganó en dos juegos con blancas”\(\ \) y “Vanya ganó en dos juegos con negras”\(\ \) son independientes, entonces la probabilidad de que ocurran simultáneamente es \
Respuesta: 0,1036
Tarea 3 #172
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
La entrada al museo está custodiada por dos guardias. La probabilidad de que el mayor de ellos olvide el walkie-talkie es \(0.2\) y la probabilidad de que el más joven olvide el walkie-talkie es \(0.1\). ¿Cuál es la probabilidad de que no tengan ni una sola radio?
Dado que los eventos considerados son independientes, la probabilidad de que ocurran simultáneamente es igual al producto de sus probabilidades. Entonces la probabilidad requerida es igual a \
Respuesta: 0,02
Tarea 4 #167
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Al saltar desde una altura de 1 metro, Kostya se rompe la pierna con una probabilidad \(0,05\) . Al saltar desde una altura de 1 metro, Vanya se rompe la pierna con una probabilidad \(0,01\) . Al saltar desde una altura de 1 metro, Anton se rompe la pierna con una probabilidad \(0,01\). Kostya, Vanya y Anton saltan simultáneamente desde una altura de 1 metro. ¿Cuál es la probabilidad de que solo Kostya se rompa la pierna? Redondea tu respuesta al millar más cercano.
Eventos "al saltar desde una altura de 1 metro, Kostya se rompió la pierna"\(,\ \) "al saltar desde una altura de 1 metro, Vanya no se rompió la pierna"\(\ \) y "al saltar desde una altura de 1 metro, Anton no se rompió la pierna”\( \ \) son independientes, por lo tanto, la probabilidad de que ocurran simultáneamente es igual al producto de sus probabilidades: \ Después de redondear finalmente obtenemos \(0.049\) .
Respuesta: 0,049
Tarea 5 #170
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Maxim y Vanya decidieron jugar a los bolos. Maxim estimó acertadamente que, en promedio, recibe un strike cada ocho lanzamientos. Vanya estimó acertadamente que, en promedio, recibe un strike una vez cada cinco lanzamientos. Maxim y Vanya hacen exactamente un lanzamiento cada uno (independientemente del resultado). ¿Cuál es la probabilidad de que no haya huelgas entre ellos?
Dado que los eventos considerados son independientes, la probabilidad de que ocurran simultáneamente es igual al producto de sus probabilidades. En este caso, la probabilidad de que Maxim no reciba un strike es igual a \ La probabilidad de que Vanya no reciba un strike es \(1 - 0,2 = 0,8\). Entonces la probabilidad requerida es igual a \[\dfrac(7)(8)\cdot 0,8 = 0,7.\]
Respuesta: 0,7
Tarea 6 #1646
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Anton y Kostya juegan al tenis de mesa. La probabilidad de que Kostya golpee la mesa con su golpe característico es \(0,9\). La probabilidad de que Anton gane la jugada en la que Kostya intentó asestar un golpe característico es \(0,3\) . Kostya intentó golpear la mesa con su golpe característico. ¿Cuál es la probabilidad de que Kostya realmente dé su golpe característico y finalmente gane este rally?
Dado que los eventos considerados son independientes, la probabilidad de que ocurran simultáneamente es igual al producto de sus probabilidades. Además, la probabilidad de que Antón no gane la jugada en la que Kostya intentó asestar su golpe característico es igual a \(1 - 0,3 = 0,7\). Entonces la probabilidad requerida es igual a \
Dejar A Y EN son los dos eventos considerados en esta prueba. En este caso, la ocurrencia de uno de los eventos puede influir en la posibilidad de que ocurra otro. Por ejemplo, la ocurrencia de un evento A puede influir en el evento EN o viceversa. Para tener en cuenta tal dependencia de unos eventos de otros, se introduce el concepto de probabilidad condicional.
Definición. Si la probabilidad de un evento EN se encuentra bajo la condición de que el evento A sucedió, entonces la probabilidad resultante del evento EN llamado la probabilidad condicional eventos EN. Para denotar dicha probabilidad condicional, se utilizan los siguientes símbolos: R A ( EN) o R(EN / A).
Nota 2. A diferencia de la probabilidad condicional, la probabilidad "incondicional" también se considera cuando existen condiciones para que ocurra algún evento. EN están perdidos.
Ejemplo. Hay 5 bolas en la urna, incluidas 3 rojas y 2 azules. Se retira una bola a la vez, con y sin retorno. Encuentre la probabilidad condicional de sacar una bola roja por segunda vez, siempre que la primera vez se extraiga: a) una bola roja; b) bola azul.
deja que el evento A– sacar la bola roja por primera vez y el evento EN– sacando la bola roja por segunda vez. Es obvio que R(A) = 3/5; luego, en el caso de que la bola extraída por primera vez regrese a la urna, R(EN)=3/5. En el caso de que la bola retirada no se devuelva, la probabilidad de sacar una bola roja es R(EN) depende de qué bola se extrajo la primera vez: roja (evento A) o azul (evento). Entonces en el primer caso R A ( EN) = 2/4, y en el segundo ( EN) = 3 / 4.
El teorema para multiplicar las probabilidades de eventos, uno de los cuales ocurre sujeto a la ocurrencia del otro.
La probabilidad de que ocurran dos eventos es igual al producto de la probabilidad de uno de ellos por la probabilidad condicional del otro, encontrada bajo el supuesto de que ocurrió el primer evento:
R(A∙B) = R(A) ∙ R A ( EN) . (1.7)
Prueba. De hecho, deja norte– el número total de resultados de pruebas igualmente posibles e incompatibles (elementales). Déjalo ir norte 1 – número de resultados favorables al evento A, que viene primero, y metro– el número de resultados en los que ocurre el evento EN suponiendo que el evento A Ha llegado. De este modo, metro es el número de resultados favorables al evento EN. Entonces obtenemos:
Aquellos. la probabilidad de que ocurran múltiples eventos es igual al producto de la probabilidad de uno de estos eventos y las probabilidades condicionales de los demás, y la probabilidad condicional de cada evento posterior se calcula bajo el supuesto de que todos los eventos anteriores han ocurrido.
Ejemplo. Hay 4 maestros de deportes en un equipo de 10 atletas. Por sorteo, se seleccionan 3 atletas del equipo. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los atletas seleccionados sean maestros en deportes?
Solución. Reduzcamos el problema al modelo de “urna”, es decir. Supongamos que en una urna que contiene 10 bolas hay 4 bolas rojas y 6 bolas blancas. De esta urna se extraen 3 bolas al azar (selección S= 3). deja que el evento A Consiste en extraer 3 bolas. El problema se puede resolver de dos formas: según el esquema clásico y según la fórmula (1.9).
El primer método, basado en la fórmula combinatoria:
El segundo método (según la fórmula (1.9)). Se extraen secuencialmente 3 bolas de la urna sin reemplazo. Dejar A 1 – la primera bola extraída es roja, A 2 – la segunda bola extraída es roja, A 3 – la tercera bola extraída es roja. Deja también el evento A significa que las 3 bolas extraídas son rojas. Entonces: A = A 1 ∙ (A 2 / A 1) ∙ A 3 / (A 1 ∙ A 2), es decir
Ejemplo. Dejar del juego de cartas. a, a, p, b, o, t Las tarjetas se eliminan secuencialmente una a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de recibir la palabra “ Trabajo”¿Al doblarlos secuencialmente en una línea de izquierda a derecha?
Dejar EN– el evento en el que se obtiene la palabra declarada. Luego, usando la fórmula (1.9), obtenemos:
R(EN) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.
El teorema de la multiplicación de probabilidades adquiere su forma más simple cuando el producto está formado por eventos independientes entre sí.
Definición. Evento EN llamado independiente del evento A, si su probabilidad no cambia dependiendo de si el evento ocurrió A O no. Dos eventos se llaman independientes (dependientes) si la ocurrencia de uno de ellos no cambia (cambia) la probabilidad de ocurrencia del otro. Así, para eventos independientes p(B/A) = R(EN) o = R(EN), y para eventos dependientes R(EN/A)
Empecemos con la tarea.
Supongamos que la probabilidad de obtener una A en una prueba es 0,5 y una B es 0,3. ¿Cuál es la probabilidad de que obtengas un 4 o un 5 en el examen?
Algunos dirán inmediatamente: “0,8”, pero ¿por qué exactamente? ¿Por qué, por ejemplo, no 0,15 (multiplicado, no sumado)? Vamos a resolverlo.
Supongamos que hay alguna experiencia que tiene resultados. De estos, la ocurrencia de eventos es favorable y el evento es favorable. No es difícil utilizar la fórmula para encontrar las probabilidades de que ocurra cada uno de los eventos; estos son, respectivamente, y . Pero ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el primer evento o el segundo? En otras palabras, buscamos la probabilidad de combinar estos eventos. Para hacer esto, necesitamos averiguar cuántos resultados favorables tenemos. ? No precisamente. Después de todo, puede suceder que estos eventos se ejecuten simultáneamente.
Luego supongamos que los eventos son disjuntos, es decir, no pueden ejecutarse simultáneamente. Entonces obtendremos resultados favorables para la unificación. Esto significa que la probabilidad de unificación será igual a:
La probabilidad de combinar eventos incompatibles es igual a la suma de sus probabilidades.
Tenga en cuenta: aquí estamos hablando de UN experimento, como resultado del cual puede ocurrir el primer evento o el segundo, pero no ambos a la vez.
En particular, en el ejemplo del test, entendemos que un alumno no puede recibir simultáneamente 5 y 4 en el test (estamos hablando de una nota para el mismo test), lo que significa que la probabilidad de que obtenga 4 o 5 es igual a la suma de las probabilidades, es decir, al fin y al cabo, 0,8.
Respuesta: 0,8.
Pero ¿qué pasa si los acontecimientos se cruzan, es decir, hay resultados favorables para ambos? Esta situación se discutirá al final de la lección.
2. Foro matemático Math Help Planet ()
3. Sitio web "Matemáticas que me gustan" ()
Tarea
1. Dos tiradores disparan a una diana. El primer tirador da en el blanco con una probabilidad de 0,9. El segundo tirador da en el blanco con una probabilidad de 0,8. Encuentre la probabilidad de que el objetivo sea alcanzado.
2. Un experimento aleatorio consiste en lanzar dos dados. Uno de los dados es de color azul y el otro es de color rojo. Calcula la probabilidad de que del dado azul salga el número 3 y del dado rojo salga el número 4.
El producto, o intersección, de los eventos A y B es un evento que consiste en la ocurrencia simultánea de los eventos A y B. EN. Designación de trabajo AB o L y V.
Por ejemplo, acertar dos veces en el objetivo es producto de dos eventos, la respuesta a ambas preguntas en el boleto del examen es producto de dos eventos.
Eventos L y EN se llaman incompatibles si su producto es un evento imposible, es decir. VI = V.
Por ejemplo, eventos L - pérdida de un escudo de armas y EN- los números que caen durante un solo lanzamiento de una moneda no pueden ocurrir simultáneamente, su producto es un evento imposible, los eventos A y B son incompatibles.
Los conceptos de suma y producto de eventos tienen una clara interpretación geométrica (figura 6.4).
Arroz. 6.4. Interpretación geométrica de la obra. (A) y cantidades (b) dos eventos conjuntos
Sea el evento A el conjunto de puntos en el área A y el evento B el conjunto de puntos en el área B. El área sombreada corresponde al evento LV en la Fig. 6 La y el evento L + B en la Fig. 6.46.
Para eventos incompatibles A y B tenemos LV = V(Figura 6.5a). El evento A+B corresponde al área sombreada en la Fig. 6.56.
Arroz. 6.5. Interpretación geométrica de la obra ( A) y cantidades (b) dos eventos incompatibles
Eventos A Y A se llaman opuestos si son incompatibles y en total constituyen un evento confiable, es decir.
A A = V; A+A=U.
Por ejemplo, disparemos un tiro a un objetivo: evento A- el tirador dio en el blanco, A- omitido; moneda lanzada:
evento A- caída de águila, A- pérdida de números; los escolares escriben una prueba: evento A- ninguno
errores en el trabajo de prueba, A- hay errores en las pruebas; estudiante vino a tomar una prueba: evento A- aprobado
prueba, A- no pasó la prueba.
Hay niños y niñas en la clase, excelentes estudiantes, buenos estudiantes y estudiantes C, que estudian inglés y alemán. Sea el evento M un niño, O un excelente estudiante y A un estudiante de inglés. ¿Puede un estudiante cualquiera que sale de clase ser un niño, un estudiante excelente y un estudiante de inglés? Este será el producto o intersección de eventos MOA.
Ejemplo 6.15. Lanzan un dado, un cubo hecho de un material homogéneo, cuyos lados están numerados. Observa el número (cantidad de puntos) que aparece en el borde superior. deja que el evento A - aparición de un número impar, evento EN - la aparición de un número que es múltiplo de tres. Encuentre los resultados que conforman cada uno de los eventos (?/, Una, una + B U AB) e indicar su significado.
Solución. Resultado: la aparición en el borde superior de cualquiera de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. El conjunto de todos los resultados constituye el espacio de eventos elementales. Ud.= (1, 2, 3, 4, 5, 6). Es claro que el evento Una =(1, 3, 5), evento B = {3, 6}.
Evento A + B =(1, 3, 5, 6): la aparición de un número impar o un múltiplo de tres. Al enumerar los resultados, se tiene en cuenta que cada resultado puede estar incluido en el conjunto sólo una vez.
Evento AB =(3) - la aparición tanto de un número impar como de un múltiplo de tres.
Ejemplo 6.16. Se revisaron las tareas de tres estudiantes. deja que el evento A ( - finalización de la tarea por parte del i-ésimo estudiante, GRAMO = 1, 2, 3.
¿Cuál es el significado de los eventos? A = A t + un 2+ L 3, A Y B = A t A 2 A 3 ?
Solución. Evento A = una x + un 2 + Un 3 - finalización de la tarea por al menos un estudiante, es decir o cualquier estudiante (o el primero, o el segundo, o el tercero), o dos cualesquiera, o los tres.
Evento A = A x -A 2 -A 3- La tarea no fue completada por ningún alumno, ni el primero, ni el segundo, ni el tercero. Evento B = A (A 2 A 3 - finalización de la tarea por tres estudiantes: el primero, el segundo y el tercero.
Al considerar la ocurrencia conjunta de varios eventos, puede haber casos en que la ocurrencia de uno de ellos afecte la posibilidad de ocurrencia de otro. Por ejemplo, si el día es soleado en otoño, es menos probable que el tiempo empeore (empezará a llover). Si el sol no es visible, hay mayores posibilidades de que llueva.
Evento l llamado evento independiente EN, si la probabilidad del evento A no cambia dependiendo de si el evento ocurrió o no EN. De lo contrario evento A llamado evento dependiente EN. Dos eventos un yEN se llaman independientes si la probabilidad de uno de ellos no depende de la aparición o no del otro, dependientes, en caso contrario. Los eventos se llaman independientes por pares si cada dos de ellos son independientes entre sí.
El teorema de la multiplicación de probabilidades se formula de la siguiente manera. La probabilidad del producto de dos eventos independientes es igual al producto de las probabilidades de estos eventos:
Este teorema es válido para cualquier número finito de eventos, siempre que sean colectivamente independientes, es decir la probabilidad de cualquiera de ellos no depende de si ocurrió o no el otro de estos eventos.
Ejemplo 6.17. El estudiante realiza tres exámenes. La probabilidad de aprobar con éxito el primer examen es 0,9, el segundo 0,65 y el tercero 0,35. Encuentre la probabilidad de que repruebe al menos un examen.
Solución. denotemos A evento: el estudiante no aprobó al menos un examen. Entonces PENSILVANIA) = 1 - /-’(1/1), donde A- caso contrario - el estudiante aprobó todos los exámenes. Dado que aprobar cada examen es independiente de otros exámenes, PENSILVANIA)= 1 - P(1/1) = = 1 - 0,9 0,65 0,35 = 0,7953.
probabilidad de evento A, calculado bajo la condición de que el evento ocurra EN, llamado la probabilidad condicional eventos A sujeto a la apariencia EN y es designado RV (A) o P(A/B).
Teorema.La probabilidad de ocurrencia de un producto de dos eventos es igual al producto de la probabilidad de uno de ellos por la probabilidad condicional del segundo, calculada bajo la condición de que ocurra el primer evento.:
Ejemplo 6.18. Un estudiante saca dos veces un billete de 34 ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen si ha preparado 30 billetes y saca un billete fallido la primera vez?
Solución. deja que el evento A es que la primera vez que recibiste un boleto fallido, el evento EN- la segunda vez se extrae un billete de la suerte. Entonces ¿A?EN- el estudiante aprobará el examen (bajo circunstancias específicas). Eventos A Y EN dependiente, ya que la probabilidad de elegir un boleto exitoso en el segundo intento depende del resultado de la primera elección. Por tanto, utilizamos la fórmula (6.6):
Tenga en cuenta que la probabilidad obtenida en la solución es “0,107. ¿Por qué la probabilidad de aprobar el examen es tan baja si aprendes 30 de 34 boletos y te dan dos intentos?
Teorema de la suma extendida se formula de la siguiente manera. La probabilidad de la suma de dos eventos es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos sin la probabilidad de que ocurran juntos. (obras):
Ejemplo 6.19. Dos estudiantes resuelven un problema. La probabilidad de que el primer estudiante resuelva el problema (evento A), igual a 0,9; la probabilidad de que el segundo estudiante resuelva el problema (evento EN), igual a 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de que se resuelva el problema?
Solución. Nos interesa el evento C, que es que el problema se resolverá, es decir el primero, o el segundo estudiante, o dos estudiantes al mismo tiempo. Así, el evento de interés C = A +EN. Eventos A Y EN son compatibles, lo que significa que el teorema de la suma de probabilidades es aplicable para el caso de eventos simultáneos: PENSILVANIA + EN) = PENSILVANIA) + P(B) - P(AB). Para nuestro caso PENSILVANIA + B) = = 0,9 + 0,8 + 0,9 0,8 = 0,98 (eventos A Y EN cooperativa pero independiente).
Ejemplo 6.20. Un estudiante sabe 20 preguntas de 25. ¿Cuál es la probabilidad de responder tres preguntas de 25?
Solución. Introduzcamos el evento A: el estudiante sabe la respuesta a i-ésima pregunta propuesta, i= 1,2,3. Los eventos L, L 2, L 3 son dependientes. Es por eso
Al encontrar las probabilidades de eventos, se utilizó la definición clásica de probabilidad.