Cómo hacer una proporción inversa. Dependencia proporcional directa

Junto con las cantidades directamente proporcionales en aritmética, también se consideraron cantidades inversamente proporcionales.

Pongamos ejemplos.

1) La longitud de la base y la altura de un rectángulo de área constante.

Suponga que necesita asignar un terreno rectangular con un área de

“Podemos establecer arbitrariamente, por ejemplo, la longitud de la sección. Pero entonces el ancho de la zona dependerá del largo que hayamos elegido. Las diferentes (posibles) longitudes y anchos se muestran en la tabla.

En general, si denotamos la longitud de la sección por x y el ancho por y, entonces la relación entre ellos se puede expresar mediante la fórmula:

Expresando y a través de x, obtenemos:

Dando x valores arbitrarios, obtendremos los valores de y correspondientes.

2) Tiempo y velocidad de movimiento uniforme a una determinada distancia.

Sea la distancia entre dos ciudades 200 km. Cuanto mayor sea la velocidad, menos tiempo tardará en recorrer una distancia determinada. Esto se puede ver en la siguiente tabla:

En general, si denotamos la velocidad con x y el tiempo de movimiento con y, entonces la relación entre ellos se expresará mediante la fórmula:

Definición. La relación entre dos cantidades expresada por la igualdad , donde k es un número determinado (distinto de cero), se llama relación inversamente proporcional.

El número aquí también se llama coeficiente de proporcionalidad.

Al igual que en el caso de la proporcionalidad directa, en igualdad las cantidades xey en el caso general pueden tomar valores positivos y negativos.

Pero en todos los casos de proporcionalidad inversa, ninguna de las cantidades puede ser igual a cero. De hecho, si al menos una de las cantidades x o y es igual a cero, entonces el lado izquierdo de la igualdad será igual a

Y el correcto, a algún número que no sea igual a cero (por definición), es decir, el resultado será una igualdad incorrecta.

2. Gráfica de proporcionalidad inversa.

Construyamos un gráfico de dependencia.

Expresando y a través de x, obtenemos:

Daremos a x valores arbitrarios (válidos) y calcularemos los valores de y correspondientes. Obtenemos la tabla:

Construyamos los puntos correspondientes (Fig. 28).

Si tomamos los valores de x en intervalos más pequeños, entonces los puntos estarán ubicados más cerca unos de otros.

Para todos los valores posibles de x, los puntos correspondientes se ubicarán en dos ramas del gráfico, simétricas con respecto al origen de coordenadas y que pasan en el 1er y 3er trimestre. Plano coordinado(Figura 29).

Entonces, vemos que la gráfica de proporcionalidad inversa es una línea curva. Esta línea consta de dos ramales.

Una rama se obtendrá para valores positivos y la otra para valores negativos de x.

La gráfica de una relación inversamente proporcional se llama hipérbola.

Para obtener un gráfico más preciso, es necesario construir tantos puntos como sea posible.

Se puede dibujar una hipérbole con bastante precisión utilizando, por ejemplo, patrones.

En el dibujo 30, se traza una gráfica de una relación inversamente proporcional con un coeficiente negativo. Por ejemplo, creando una tabla como esta:

obtenemos una hipérbola, cuyas ramas se ubican en los cuartos II y IV.

Tipos de dependencia

Veamos cómo cargar la batería. Como primera cantidad, tomemos el tiempo que tarda en cargarse. El segundo valor es el tiempo que funcionará después de la carga. Cuanto más cargues la batería, más durará. El proceso continuará hasta que la batería esté completamente cargada.

Dependencia del tiempo de funcionamiento de la batería del tiempo de carga

Nota 1

Esta dependencia se llama derecho:

A medida que aumenta un valor, también aumenta el segundo. A medida que un valor disminuye, el segundo valor también disminuye.

Veamos otro ejemplo.

Cuantos más libros lea un alumno, menos errores cometerá en el dictado. O cuanto más alto te eleves en las montañas, menor será la presión atmosférica.

Nota 2

Esta dependencia se llama contrarrestar:

A medida que aumenta un valor, el segundo disminuye. A medida que un valor disminuye, el segundo valor aumenta.

Así, en caso dependencia directa ambas cantidades cambian igualmente (tanto aumentan como disminuyen), y en el caso relación inversa– opuesto (uno aumenta y el otro disminuye, o viceversa).

Determinar dependencias entre cantidades.

Ejemplo 1

El tiempo que lleva visitar a un amigo es de $20$ minutos. Si la velocidad (primer valor) aumenta $2$ veces, encontraremos cómo cambia el tiempo (segundo valor) que se gastará en el camino hacia un amigo.

Obviamente, el tiempo disminuirá $2$ veces.

Nota 3

Esta dependencia se llama proporcional:

La cantidad de veces que cambia una cantidad, la cantidad de veces que cambia la segunda cantidad.

Ejemplo 2

Por $2$ barras de pan en la tienda hay que pagar 80 rublos. Si necesitas comprar hogazas de pan a $4$ (la cantidad de pan aumenta $2$ veces), ¿cuántas veces más tendrás que pagar?

Obviamente, el costo también aumentará $2$ veces. Tenemos un ejemplo de dependencia proporcional.

En ambos ejemplos, se consideraron dependencias proporcionales. Pero en el ejemplo de las hogazas de pan, las cantidades cambian en una dirección, por lo tanto, la dependencia es derecho. Y en el ejemplo de ir a casa de un amigo, la relación entre velocidad y tiempo es contrarrestar. Así hay relación directamente proporcional Y relación inversamente proporcional.

Proporcionalidad directa

Consideremos cantidades proporcionales de $2$: la cantidad de hogazas de pan y su costo. Supongamos que una barra de pan de $2 cuesta $80$ rublos. Si el número de bollos aumenta $4$ veces ($8$ bollos), su costo total será de $320$ rublos.

La proporción del número de bollos: $\frac(8)(2)=4$.

Relación de costo del panecillo: $\frac(320)(80)=$4.

Como puede ver, estas relaciones son iguales entre sí:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definición 1

La igualdad de dos razones se llama proporción.

Con una dependencia directamente proporcional, se obtiene una relación cuando el cambio en la primera y segunda cantidad coincide:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definición 2

Las dos cantidades se llaman directamente proporcional, si cuando uno de ellos cambia (aumenta o disminuye), el otro valor también cambia (aumenta o disminuye, respectivamente) en la misma cantidad.

Ejemplo 3

El auto viajó $180$ km en $2$ horas. Calcula el tiempo durante el cual cubrirá $2$ veces la distancia a la misma velocidad.

Solución.

El tiempo es directamente proporcional a la distancia:

$t=\frac(S)(v)$.

¿Cuántas veces aumentará la distancia cuando velocidad constante, el tiempo aumentará en la misma cantidad:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

El auto viajó $180$ km en $2$ horas

El auto recorrerá $180 \cdot 2=360$ km - en $x$ horas

Cuanto más viaje el coche, más tardará. En consecuencia, la relación entre las cantidades es directamente proporcional.

Hagamos una proporción:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Respuesta: El auto necesitará $4$ por hora.

Proporcionalidad inversa

Definición 3

Solución.

El tiempo es inversamente proporcional a la velocidad:

$t=\frac(S)(v)$.

¿Cuántas veces aumenta la velocidad, con el mismo recorrido, el tiempo disminuye en la misma cantidad?

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Escribamos la condición del problema en forma de tabla:

El auto viajó $60$ km - en $6$ horas

El auto recorrerá $120$ km – en $x$ horas

Cuanto más rápido acelere el coche, menos tiempo tardará. En consecuencia, la relación entre las cantidades es inversamente proporcional.

Hagamos una proporción.

Porque la proporcionalidad es inversa, la segunda relación de la proporción se invierte:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Respuesta: El auto necesitará $3$ por hora.

Hoy veremos qué cantidades se llaman inversamente proporcionales, cómo se ve una gráfica de proporcionalidad inversa y cómo todo esto puede resultarle útil no solo en las lecciones de matemáticas, sino también fuera de la escuela.

Proporciones tan diferentes

Proporcionalidad Nombra dos cantidades que sean mutuamente dependientes.

La dependencia puede ser directa e inversa. En consecuencia, las relaciones entre cantidades se describen por proporcionalidad directa e inversa.

Proporcionalidad directa– se trata de una relación entre dos cantidades en la que un aumento o disminución de una de ellas conduce a un aumento o disminución de la otra. Aquellos. su actitud no cambia.

Por ejemplo, cuanto más te esfuerces en estudiar para los exámenes, mejores serán tus calificaciones. O cuantas más cosas lleves contigo de excursión, más pesada será tu mochila. Aquellos. La cantidad de esfuerzo dedicado a la preparación de los exámenes es directamente proporcional a las calificaciones obtenidas. Y la cantidad de cosas que caben en una mochila es directamente proporcional a su peso.

Proporcionalidad inversa– esta es una dependencia funcional en la que una disminución o un aumento varias veces en un valor independiente (se llama argumento) provoca un aumento o disminución proporcional (es decir, el mismo número de veces) en un valor dependiente (se llama función).

Ilustremos ejemplo sencillo. Quieres comprar manzanas en el mercado. Las manzanas en el mostrador y la cantidad de dinero en tu billetera están en proporción inversa. Aquellos. Cuantas más manzanas compres, menos dinero te quedará.

Función y su gráfica.

La función de proporcionalidad inversa se puede describir como y = k/x. En el cual X≠ 0 y k≠ 0.

Esta función tiene las siguientes propiedades:

Su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales excepto X = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
El rango son todos los números reales excepto y= 0. mi(y): (-∞; 0) Ud. (0; +∞) .
No tiene valores máximos ni mínimos.
Es impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen.
No PERIODICO.
Su gráfica no corta los ejes de coordenadas.
No tiene ceros.
Si k> 0 (es decir, el argumento aumenta), la función disminuye proporcionalmente en cada uno de sus intervalos. Si k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
A medida que aumenta el argumento ( k> 0) los valores negativos de la función están en el intervalo (-∞; 0), y los valores positivos están en el intervalo (0; +∞). Cuando el argumento disminuye ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

La gráfica de una función de proporcionalidad inversa se llama hipérbola. Se muestra de la siguiente manera:

Problemas de proporcionalidad inversa

Para que quede más claro, veamos varias tareas. No son demasiado complicados y resolverlos te ayudará a visualizar qué es la proporcionalidad inversa y cómo este conocimiento puede ser útil en tu vida diaria.

Tarea número 1. Un auto se mueve a una velocidad de 60 km/h. Le tomó 6 horas llegar a su destino. ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer la misma distancia si se mueve al doble de velocidad?

Podemos empezar escribiendo una fórmula que describa la relación entre tiempo, distancia y velocidad: t = S/V. De acuerdo, nos recuerda mucho a la función de proporcionalidad inversa. E indica que el tiempo que pasa un coche en la carretera y la velocidad a la que se desplaza son inversamente proporcionales.

Para comprobarlo, encontremos V 2, que, según la condición, es 2 veces mayor: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Luego calculamos la distancia usando la fórmula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Ahora no es difícil averiguar el tiempo t 2 que se nos exige según las condiciones del problema: t 2 = 360/120 = 3 horas.

Como puede ver, el tiempo de viaje y la velocidad son inversamente proporcionales: a una velocidad 2 veces mayor que la velocidad original, el automóvil pasará 2 veces menos tiempo en la carretera.

La solución a este problema también se puede escribir como una proporción. Así que primero creemos este diagrama:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Las flechas indican una relación inversamente proporcional. También sugieren que al elaborar proporciones lado derecho los registros deben entregarse: 60/120 = x/6. ¿De dónde obtenemos x = 60 * 6/120 = 3 horas?

Tarea número 2. El taller emplea a 6 trabajadores que pueden completar una determinada cantidad de trabajo en 4 horas. Si el número de trabajadores se reduce a la mitad, ¿cuánto tiempo les tomará a los trabajadores restantes completar la misma cantidad de trabajo?

Anotemos las condiciones del problema en forma de diagrama visual:

↓ 6 trabajadores – 4 horas

↓ 3 trabajadores – x h

Escribamos esto como una proporción: 6/3 = x/4. Y obtenemos x = 6 * 4/3 = 8 horas Si hay 2 veces menos trabajadores, los restantes dedicarán 2 veces más tiempo a hacer todo el trabajo.

Tarea número 3. Hay dos tuberías que conducen a la piscina. Por una tubería fluye agua a una velocidad de 2 l/s y llena la piscina en 45 minutos. A través de otra tubería, la piscina se llenará en 75 minutos. ¿A qué velocidad entra el agua a la piscina por este tubo?

Para empezar, reduzcamos todas las cantidades que se nos dan según las condiciones del problema a las mismas unidades de medida. Para ello expresamos la velocidad de llenado de la piscina en litros por minuto: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Dado que la condición implica que la piscina se llena más lentamente a través de la segunda tubería, esto significa que la tasa de flujo de agua es menor. La proporcionalidad es inversa. Expresemos la velocidad desconocida a través de x y tracemos el siguiente diagrama:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Y luego hacemos la proporción: 120/x = 75/45, de donde x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

En el problema, la velocidad de llenado de la piscina se expresa en litros por segundo; reduzcamos la respuesta que recibimos a la misma forma: 72/60 = 1,2 l/s.

Tarea número 4. Una pequeña imprenta privada imprime tarjetas de visita. Un empleado de una imprenta trabaja a una velocidad de 42 tarjetas de visita por hora y trabaja un día completo: 8 horas. Si trabajara más rápido e imprimiera 48 tarjetas de presentación en una hora, ¿cuánto antes podría regresar a casa?

Seguimos el camino probado y elaboramos un diagrama según las condiciones del problema, designando el valor deseado como x:

↓ 42 tarjetas de visita/hora – 8 horas

↓ 48 tarjetas de visita/h – x h

Tenemos una relación inversamente proporcional: la cantidad de veces más tarjetas de presentación que imprime un empleado de una imprenta por hora, la misma cantidad de veces menos tiempo que necesitará para completar el mismo trabajo. Sabiendo esto, creemos una proporción:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 horas.

Así, habiendo completado el trabajo en 7 horas, el empleado de la imprenta podría irse a casa una hora antes.

Conclusión

Nos parece que estos problemas de proporcionalidad inversa son realmente sencillos. Esperamos que ahora tú también pienses en ellos de esa manera. Y lo principal es que el conocimiento sobre la dependencia inversamente proporcional de las cantidades puede resultarle útil más de una vez.

No sólo en las lecciones y exámenes de matemáticas. Pero incluso entonces, cuando te preparas para salir de viaje, ir de compras, decidir ganar un dinerito extra durante las vacaciones, etc.

Cuéntanos en los comentarios qué ejemplos de relaciones proporcionales inversas y directas notas a tu alrededor. Que sea un juego así. Verás lo emocionante que es. No olvides compartir este artículo en en las redes sociales para que tus amigos y compañeros de clase también puedan jugar.

sitio web, al copiar material total o parcialmente, se requiere un enlace a la fuente.

Proporciones tan diferentes

Proporcionalidad Nombra dos cantidades que sean mutuamente dependientes.

La dependencia puede ser directa e inversa. En consecuencia, las relaciones entre cantidades se describen por proporcionalidad directa e inversa.

Ilustremos con un ejemplo sencillo. Quieres comprar manzanas en el mercado. Las manzanas en el mostrador y la cantidad de dinero en tu billetera están en proporción inversa. Aquellos. Cuantas más manzanas compres, menos dinero te quedará.

Función y su gráfica.

La función de proporcionalidad inversa se puede describir como y = k/x. En el cual X≠ 0 y k≠ 0.

Esta función tiene las siguientes propiedades:

Su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales excepto X = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
El rango son todos los números reales excepto y= 0. mi(y): (-∞; 0) Ud. (0; +∞) .
No tiene valores máximos ni mínimos.
Es impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen.
No PERIODICO.
Su gráfica no corta los ejes de coordenadas.
No tiene ceros.
Si k> 0 (es decir, el argumento aumenta), la función disminuye proporcionalmente en cada uno de sus intervalos. Si k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
A medida que aumenta el argumento ( k> 0) los valores negativos de la función están en el intervalo (-∞; 0), y los valores positivos están en el intervalo (0; +∞). Cuando el argumento disminuye ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

La gráfica de una función de proporcionalidad inversa se llama hipérbola. Se muestra de la siguiente manera:

Problemas de proporcionalidad inversa

Tarea número 1. Un auto se mueve a una velocidad de 60 km/h. Le tomó 6 horas llegar a su destino. ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer la misma distancia si se mueve al doble de velocidad?

Como puede ver, el tiempo de viaje y la velocidad son inversamente proporcionales: a una velocidad 2 veces mayor que la velocidad original, el automóvil pasará 2 veces menos tiempo en la carretera.

La solución a este problema también se puede escribir como una proporción. Así que primero creemos este diagrama:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Las flechas indican una relación inversamente proporcional. También sugieren que al trazar una proporción se debe voltear el lado derecho del registro: 60/120 = x/6. ¿De dónde obtenemos x = 60 * 6/120 = 3 horas?

Anotemos las condiciones del problema en forma de diagrama visual:

↓ 6 trabajadores – 4 horas

↓ 3 trabajadores – x h

Escribamos esto como una proporción: 6/3 = x/4. Y obtenemos x = 6 * 4/3 = 8 horas Si hay 2 veces menos trabajadores, los restantes dedicarán 2 veces más tiempo a hacer todo el trabajo.

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Y luego hacemos la proporción: 120/x = 75/45, de donde x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

En el problema, la velocidad de llenado de la piscina se expresa en litros por segundo; reduzcamos la respuesta que recibimos a la misma forma: 72/60 = 1,2 l/s.

Seguimos el camino probado y elaboramos un diagrama según las condiciones del problema, designando el valor deseado como x:

↓ 42 tarjetas de visita/hora – 8 horas

↓ 48 tarjetas de visita/h – x h

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 horas.

Así, habiendo completado el trabajo en 7 horas, el empleado de la imprenta podría irse a casa una hora antes.

Conclusión

No sólo en las lecciones y exámenes de matemáticas. Pero incluso entonces, cuando te preparas para salir de viaje, ir de compras, decidir ganar un dinerito extra durante las vacaciones, etc.

Cuéntanos en los comentarios qué ejemplos de relaciones proporcionales inversas y directas notas a tu alrededor. Que sea un juego así. Verás lo emocionante que es. No olvides compartir este artículo en las redes sociales para que tus amigos y compañeros también puedan jugar.

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Ejemplo

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8, etc.

Factor de proporcionalidad

Una relación constante de cantidades proporcionales se llama factor de proporcionalidad. El coeficiente de proporcionalidad muestra cuántas unidades de una cantidad hay por unidad de otra.

Proporcionalidad directa

Proporcionalidad directa- dependencia funcional, en la que una determinada cantidad depende de otra cantidad de tal manera que su relación permanece constante. En otras palabras, estas variables cambian proporcionalmente, en partes iguales, es decir, si el argumento cambia dos veces en cualquier dirección, entonces la función también cambia dos veces en la misma dirección.

Matemáticamente, la proporcionalidad directa se escribe como una fórmula:

F(X) = aX,a = Cohnortest

Proporcionalidad inversa

Proporcionalidad inversa- se trata de una dependencia funcional, en la que un aumento en el valor independiente (argumento) provoca una disminución proporcional en el valor dependiente (función).

Matemáticamente, la proporcionalidad inversa se escribe como una fórmula:

Propiedades de la función:

Fuentes

Fundación Wikimedia. 2010.

Vea qué es “proporcionalidad directa” en otros diccionarios:

proporcionalidad directa- - [A.S.Goldberg. Diccionario de energía inglés-ruso. 2006] Temas energéticos en general EN ratio directo... Guía del traductor técnico

proporcionalidad directa- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. proporcionalidad directa vok. direkte Proporcionalidad, f rus. proporcionalidad directa, f pranc. proporcionalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

- (del latín proporcionalis proporcional, proporcional). Proporcionalidad. Diccionario palabras extranjeras, incluido en el idioma ruso. Chudinov A.N., 1910. PROPORCIONALIDAD lat. proporcionalis, proporcional. Proporcionalidad. Explicación 25000... ... Diccionario de palabras extranjeras de la lengua rusa.

PROPORCIONALIDAD, proporcionalidad, plural. no, mujer (libro). 1. resumen sustantivo a proporcional. Proporcionalidad de partes. Proporcionalidad corporal. 2. Tal relación entre cantidades cuando son proporcionales (ver proporcional ... Diccionario Ushakova

Dos cantidades mutuamente dependientes se llaman proporcionales si la relación de sus valores permanece sin cambios Contenido 1 Ejemplo 2 Coeficiente de proporcionalidad ... Wikipedia.

PROPORCIONALIDAD, y, femenino. 1. ver proporcional. 2. En matemáticas: relación entre cantidades en la que un aumento en una de ellas implica un cambio en la otra en la misma cantidad. Línea recta (con un corte con un aumento de un valor... ... Diccionario explicativo de Ozhegov

Y; y. 1. a Proporcional (1 valor); proporcionalidad. P. partes. P. físico. P. representación en el parlamento. 2. Matemáticas. Dependencia entre cantidades que cambian proporcionalmente. Factor de proporcionalidad. Línea directa (en la que con... ... diccionario enciclopédico

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