Analicemos dos tipos de soluciones a sistemas de ecuaciones:
1. Resolver el sistema mediante el método de sustitución.
2. Resolver el sistema mediante la suma (resta) término por término de las ecuaciones del sistema.
Para resolver el sistema de ecuaciones. por método de sustitución debes seguir un algoritmo simple:
1. Expresar. De cualquier ecuación expresamos una variable.
2. Sustituto. Sustituimos el valor resultante en otra ecuación en lugar de la variable expresada.
3. Resuelve la ecuación resultante con una variable. Encontramos una solución al sistema.
Resolver sistema por método de suma (resta) término por término Necesitar:
1. Seleccione una variable para la cual haremos coeficientes idénticos.
2. Sumamos o restamos ecuaciones, lo que da como resultado una ecuación con una variable.
3. Resuelve la ecuación lineal resultante. Encontramos una solución al sistema.
La solución del sistema son los puntos de intersección de las gráficas de funciones.
Consideremos en detalle la solución de sistemas usando ejemplos.
Ejemplo 1:
Resolvamos por el método de sustitución.
Resolver un sistema de ecuaciones usando el método de sustitución.2x+5y=1 (1 ecuación)
x-10y=3 (segunda ecuación)
1. expreso
Se puede ver que en la segunda ecuación hay una variable x con un coeficiente de 1, lo que significa que es más fácil expresar la variable x de la segunda ecuación.
x=3+10y
2.Después de haberlo expresado, sustituimos 3+10y en la primera ecuación en lugar de la variable x.
2(3+10y)+5y=1
3. Resuelve la ecuación resultante con una variable.
2(3+10y)+5y=1 (abre los corchetes)
6+20y+5y=1
25 años=1-6
25 años=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
La solución del sistema de ecuaciones son los puntos de intersección de las gráficas, por lo tanto necesitamos encontrar x e y, porque el punto de intersección consta de x e y, encontremos x, en el primer punto donde lo expresamos sustituimos y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Se acostumbra escribir puntos en primer lugar escribimos la variable x, y en segundo lugar la variable y.
Respuesta: (1; -0,2)
Ejemplo #2:
Resolvamos usando el método de suma (resta) término por término.
Resolver un sistema de ecuaciones usando el método de la suma.3x-2y=1 (1 ecuación)
2x-3y=-10 (segunda ecuación)
1. Elegimos una variable, digamos que elegimos x. En la primera ecuación, la variable x tiene un coeficiente de 3, en la segunda - 2. Necesitamos igualar los coeficientes, para ello tenemos derecho a multiplicar las ecuaciones o dividir por cualquier número. Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3 y obtenemos un coeficiente total de 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Resta la segunda de la primera ecuación para eliminar la variable x. Resuelve la ecuación lineal.
__6x-4y=2
5 años=32 | :5
y=6,4
3. Encuentra x. Sustituimos la y encontrada en cualquiera de las ecuaciones, digamos en la primera ecuación.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13,8 |:3
x=4.6
El punto de intersección será x=4,6; y=6,4
Respuesta: (4.6; 6.4)
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Muy a menudo, a los estudiantes les resulta difícil elegir una forma de resolver sistemas de ecuaciones.
En este artículo veremos una de las formas de resolver sistemas: el método de sustitución.
Si se encuentra una solución común a dos ecuaciones, entonces se dice que estas ecuaciones forman un sistema. En un sistema de ecuaciones, cada incógnita representa el mismo número en todas las ecuaciones. Para demostrar que las ecuaciones dadas forman un sistema, generalmente se escriben una debajo de la otra y se unen mediante una llave, por ejemplo
Observamos que para x = 15 e y = 5, ambas ecuaciones del sistema son correctas. Este par de números es la solución del sistema de ecuaciones. Cada par de valores desconocidos que satisface simultáneamente ambas ecuaciones del sistema se llama solución del sistema.
Un sistema puede tener una solución (como en nuestro ejemplo), infinitas soluciones o ninguna solución.
¿Cómo resolver sistemas usando el método de sustitución? Si los coeficientes de alguna incógnita en ambas ecuaciones son iguales en valor absoluto (si no son iguales, entonces igualamos), entonces sumando ambas ecuaciones (o restando una de la otra), puede obtener una ecuación con una incógnita. Luego resolvemos esta ecuación. Determinamos una incógnita. Sustituimos el valor resultante de la incógnita en una de las ecuaciones del sistema (la primera o la segunda). Nos encontramos con otra incógnita. Veamos ejemplos de la aplicación de este método.
Ejemplo 1. Resuelve el sistema de ecuaciones.
Aquí los coeficientes para y son iguales en valor absoluto, pero de signo opuesto. Intentemos sumar las ecuaciones del sistema término por término.
Sustituimos el valor resultante x = 4 en alguna ecuación del sistema (por ejemplo, en la primera) y encontramos el valor de y:
2 *4 +y = 11, y = 11 – 8, y = 3.
Nuestro sistema tiene una solución x = 4, y = 3. O la respuesta se puede escribir entre paréntesis como las coordenadas de un punto, x en primer lugar, y en segundo.
Respuesta: (4; 3)
Ejemplo 2. Resolver sistema de ecuaciones.
Igualamos los coeficientes de la variable x, para ello multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por (-2), obtenemos
Tenga cuidado al sumar ecuaciones
Entonces y = - 2. Sustituimos el número (-2) en lugar de y en la primera ecuación y obtenemos
4x + 3(-2) = - 4. Resuelve esta ecuación 4x = - 4 + 6, 4x = 2, x = ½.
Respuesta: (1/2; - 2)
Ejemplo 3. Resuelve el sistema de ecuaciones.
Multiplica la primera ecuación por (-2)
resolviendo el sistema
obtenemos 0 = - 13.
El sistema no tiene soluciones, ya que 0 no es igual a (-13).
Respuesta: no hay soluciones.
Ejemplo 4. Resuelve el sistema de ecuaciones.
Notamos que todos los coeficientes de la segunda ecuación son divisibles por 3,
dividimos la segunda ecuación por tres y obtenemos un sistema que consta de dos ecuaciones idénticas.
Este sistema tiene infinitas soluciones, ya que la primera y la segunda ecuaciones son iguales (obtuvimos solo una ecuación con dos variables). ¿Cómo podemos imaginar la solución a este sistema? Expresemos la variable y a partir de la ecuación x + y = 5. Obtenemos y = 5 – x.
Entonces respuesta se escribirá así: (x; 5-x), x – cualquier número.
Analizamos la resolución de sistemas de ecuaciones utilizando el método de la suma. Si tienes alguna duda o algo no te queda claro, apúntate a una lección y solucionaremos todos los problemas contigo.
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Los sistemas de ecuaciones se utilizan ampliamente en el sector económico para la modelización matemática de diversos procesos. Por ejemplo, a la hora de resolver problemas de gestión y planificación de la producción, rutas logísticas (problema de transporte) o colocación de equipos.
Los sistemas de ecuaciones se utilizan no sólo en matemáticas, sino también en física, química y biología, para resolver problemas de búsqueda del tamaño de una población.
Un sistema de ecuaciones lineales son dos o más ecuaciones con varias variables para las cuales es necesario encontrar una solución común. Tal secuencia de números para la cual todas las ecuaciones se convierten en verdaderas igualdades o prueban que la secuencia no existe.
Ecuación lineal
Las ecuaciones de la forma ax+by=c se llaman lineales. Las designaciones x, y son las incógnitas cuyo valor se debe encontrar, b, a son los coeficientes de las variables, c es el término libre de la ecuación.
Resolver una ecuación graficandola se verá como una línea recta, cuyos puntos son soluciones del polinomio.
Tipos de sistemas de ecuaciones lineales.
Se considera que los ejemplos más simples son sistemas de ecuaciones lineales con dos variables X e Y.
F1(x, y) = 0 y F2(x, y) = 0, donde F1,2 son funciones y (x, y) son variables de función.
Resolver sistema de ecuaciones. - esto significa encontrar valores (x, y) en los que el sistema se convierte en una verdadera igualdad o establecer que no existen valores adecuados de xey.
Un par de valores (x, y), escritos como las coordenadas de un punto, se denomina solución de un sistema de ecuaciones lineales.
Si los sistemas tienen una solución común o no existe ninguna solución, se llaman equivalentes.
Los sistemas homogéneos de ecuaciones lineales son sistemas. parte derecha que es igual a cero. Si la parte derecha después del signo igual tiene un valor o se expresa mediante una función, dicho sistema es heterogéneo.
El número de variables puede ser mucho mayor que dos, entonces deberíamos hablar de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales con tres o más variables.
Ante los sistemas, los escolares suponen que el número de ecuaciones debe coincidir necesariamente con el número de incógnitas, pero no es así. El número de ecuaciones en el sistema no depende de las variables; puede haber tantas como se desee.
Métodos simples y complejos para resolver sistemas de ecuaciones.
No existe un método analítico general para resolver tales sistemas; todos los métodos se basan en soluciones numéricas. EN curso escolar En matemáticas se describen en detalle métodos como la permutación, la suma algebraica, la sustitución, así como los métodos gráficos y matriciales y la solución mediante el método gaussiano.
La tarea principal al enseñar métodos de solución es enseñar cómo analizar correctamente el sistema y encontrar el algoritmo de solución óptimo para cada ejemplo. Lo principal no es memorizar un sistema de reglas y acciones para cada método, sino comprender los principios del uso de un método en particular.
Resolver ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales en el plan de estudios de educación general de séptimo grado es bastante simple y se explica con gran detalle. En cualquier libro de texto de matemáticas, esta sección recibe suficiente atención. La resolución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss y Cramer se estudia con más detalle en los primeros años de educación superior.
Resolver sistemas mediante el método de sustitución.
Las acciones del método de sustitución tienen como objetivo expresar el valor de una variable en términos de la segunda. La expresión se sustituye en la ecuación restante y luego se reduce a una forma con una variable. La acción se repite dependiendo del número de incógnitas en el sistema.
Demos una solución a un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales de clase 7 usando el método de sustitución:
Como puede verse en el ejemplo, la variable x se expresó mediante F(X) = 7 + Y. La expresión resultante, sustituida en la segunda ecuación del sistema en lugar de X, ayudó a obtener una variable Y en la segunda ecuación. . Solución este ejemplo no causa dificultades y permite obtener el valor Y. El último paso es comprobar los valores obtenidos.
No siempre es posible resolver un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales mediante sustitución. Las ecuaciones pueden ser complejas y expresar la variable en términos de la segunda incógnita será demasiado engorroso para realizar más cálculos. Cuando hay más de 3 incógnitas en el sistema, resolver por sustitución tampoco es apropiado.
Solución de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneas:
Solución usando suma algebraica
Cuando buscan soluciones a sistemas utilizando el método de la suma, realizan sumas y multiplicaciones término por término de ecuaciones por diferentes numeros. El objetivo final de las operaciones matemáticas es una ecuación en una variable.
Para aplicaciones este método Se requiere práctica y observación. Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de la suma cuando hay 3 o más variables no es fácil. La suma algebraica es conveniente cuando las ecuaciones contienen fracciones y decimales.
Algoritmo de solución:
- Multiplica ambos lados de la ecuación por un número determinado. Como resultado de la operación aritmética, uno de los coeficientes de la variable debería ser igual a 1.
- Suma la expresión resultante término por término y encuentra una de las incógnitas.
- Sustituye el valor resultante en la segunda ecuación del sistema para encontrar la variable restante.
Método de solución introduciendo una nueva variable.
Se puede introducir una nueva variable si el sistema requiere encontrar una solución para no más de dos ecuaciones; el número de incógnitas tampoco debe ser superior a dos.
El método se utiliza para simplificar una de las ecuaciones introduciendo una nueva variable. La nueva ecuación se resuelve para la incógnita introducida y el valor resultante se utiliza para determinar la variable original.
El ejemplo muestra que al introducir una nueva variable t, fue posible reducir la primera ecuación del sistema a la estándar. trinomio cuadrático. Puedes resolver un polinomio encontrando el discriminante.
Es necesario encontrar el valor del discriminante utilizando la conocida fórmula: D = b2 - 4*a*c, donde D es el discriminante deseado, b, a, c son los factores del polinomio. En el ejemplo dado, a=1, b=16, c=39, por lo tanto D=100. Si el discriminante Por encima de cero, entonces hay dos soluciones: t = -b±√D / 2*a, si el discriminante es menor que cero, entonces hay una solución: x = -b / 2*a.
La solución de los sistemas resultantes se encuentra mediante el método de la suma.
Método visual para resolver sistemas.
Adecuado para sistemas de 3 ecuaciones. El método consiste en construir gráficas de cada ecuación incluida en el sistema sobre el eje de coordenadas. Las coordenadas de los puntos de intersección de las curvas serán la solución general del sistema.
El método gráfico tiene varios matices. Veamos varios ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales de forma visual.
Como se puede ver en el ejemplo, para cada línea se construyeron dos puntos, los valores de la variable x se eligieron arbitrariamente: 0 y 3. Con base en los valores de x, se encontraron los valores de y: 3 y 0. Los puntos con coordenadas (0, 3) y (3, 0) se marcaron en el gráfico y se conectaron mediante una línea.
Los pasos deben repetirse para la segunda ecuación. El punto de intersección de las rectas es la solución del sistema.
El siguiente ejemplo requiere encontrar solución gráfica sistemas de ecuaciones lineales: 0.5x-y+2=0 y 0.5x-y-1=0.
Como se puede ver en el ejemplo, el sistema no tiene solución, porque las gráficas son paralelas y no se cruzan en toda su longitud.
Los sistemas de los ejemplos 2 y 3 son similares, pero cuando se construyen resulta obvio que sus soluciones son diferentes. Cabe recordar que no siempre es posible decir si un sistema tiene solución o no; siempre es necesario construir una gráfica.
La matriz y sus variedades.
Las matrices se utilizan para escribir de forma concisa un sistema de ecuaciones lineales. Una matriz es una tabla. tipo especial lleno de números. n*m tiene n - filas ym - columnas.
Una matriz es cuadrada cuando el número de columnas y filas es igual. Una matriz-vector es una matriz de una columna con un número infinito de filas. Una matriz con unos a lo largo de una de las diagonales y otros elementos cero se llama identidad.
Una matriz inversa es una matriz que, cuando se multiplica, la original se convierte en una matriz unitaria; dicha matriz existe sólo para la matriz cuadrada original;
Reglas para convertir un sistema de ecuaciones en una matriz.
En relación con los sistemas de ecuaciones, los coeficientes y los términos libres de las ecuaciones se escriben como números matriciales; una ecuación es una fila de la matriz.
Se dice que una fila de una matriz es distinta de cero si al menos un elemento de la fila no es cero. Por lo tanto, si en alguna de las ecuaciones el número de variables difiere, entonces es necesario ingresar cero en lugar de la incógnita que falta.
Las columnas de la matriz deben corresponder estrictamente a las variables. Esto significa que los coeficientes de la variable x se pueden escribir solo en una columna, por ejemplo en la primera, el coeficiente de la desconocida y solo en la segunda.
Al multiplicar una matriz, todos los elementos de la matriz se multiplican secuencialmente por un número.
Opciones para encontrar la matriz inversa.
La fórmula para encontrar la matriz inversa es bastante simple: K -1 = 1 / |K|, donde K -1 es la matriz inversa y |K| es el determinante de la matriz. |K| no debe ser igual a cero, entonces el sistema tiene solución.
El determinante se calcula fácilmente para una matriz de dos por dos; sólo necesitas multiplicar los elementos de la diagonal entre sí. Para la opción “tres por tres”, existe una fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 segundo 2 do 1 . Puede usar la fórmula o recordar que debe tomar un elemento de cada fila y de cada columna para que los números de columnas y filas de elementos no se repitan en el trabajo.
Resolver ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales usando el método matricial.
El método matricial para encontrar una solución le permite reducir las entradas engorrosas al resolver sistemas con gran cantidad variables y ecuaciones.
En el ejemplo, a nm son los coeficientes de las ecuaciones, la matriz es un vector x n son variables y b n son términos libres.
Resolver sistemas mediante el método gaussiano.
En matemáticas superiores, el método gaussiano se estudia junto con el método de Cramer, y el proceso de encontrar soluciones a sistemas se denomina método de solución de Gauss-Cramer. Estos métodos se utilizan para encontrar variables de sistemas con una gran cantidad de ecuaciones lineales.
El método de Gauss es muy similar a las soluciones que utilizan sustituciones y suma algebraica, pero más sistemático. En el curso escolar se utiliza la solución por el método gaussiano para sistemas de 3 y 4 ecuaciones. El objetivo del método es reducir el sistema a la forma de un trapezoide invertido. Por transformaciones algebraicas y sustituciones, el valor de una variable se encuentra en una de las ecuaciones del sistema. La segunda ecuación es una expresión con 2 incógnitas, mientras que 3 y 4 son, respectivamente, con 3 y 4 variables.
Después de llevar el sistema a la forma descrita, la solución adicional se reduce a la sustitución secuencial de variables conocidas en las ecuaciones del sistema.
En los libros de texto escolares para el séptimo grado, un ejemplo de una solución mediante el método de Gauss se describe a continuación:
Como se puede ver en el ejemplo, en el paso (3) se obtuvieron dos ecuaciones: 3x 3 -2x 4 =11 y 3x 3 +2x 4 =7. Resolver cualquiera de las ecuaciones te permitirá encontrar una de las variables x n.
El teorema 5, que se menciona en el texto, establece que si una de las ecuaciones del sistema se reemplaza por una equivalente, entonces el sistema resultante también será equivalente al original.
El método Gauss es difícil de entender para los estudiantes. escuela secundaria, pero es uno de los más maneras interesantes Desarrollar el ingenio de los niños matriculados en programas de estudios avanzados en clases de matemáticas y física.
Para facilitar el registro, los cálculos generalmente se realizan de la siguiente manera:
Los coeficientes de las ecuaciones y términos libres se escriben en forma de matriz, donde cada fila de la matriz corresponde a una de las ecuaciones del sistema. separa el lado izquierdo de la ecuación del derecho. Los números romanos indican el número de ecuaciones del sistema.
Primero se escribe la matriz a trabajar, luego todas las acciones realizadas con una de las filas. La matriz resultante se escribe después del signo de "flecha" y se continúan las operaciones algebraicas necesarias hasta lograr el resultado.
El resultado debe ser una matriz en la que una de las diagonales sea igual a 1 y todos los demás coeficientes sean iguales a cero, es decir, la matriz se reduce a una forma unitaria. No debemos olvidarnos de realizar cálculos con números a ambos lados de la ecuación.
Este método de grabación es menos engorroso y permite no distraerse enumerando numerosas incógnitas.
El uso gratuito de cualquier método de solución requerirá cuidado y cierta experiencia. No todos los métodos son de naturaleza aplicada. Algunos métodos para encontrar soluciones son más preferibles en un área particular de la actividad humana, mientras que otros existen con fines educativos.
Con este vídeo comienzo una serie de lecciones dedicadas a sistemas de ecuaciones. Hoy hablaremos de resolver sistemas de ecuaciones lineales. método de suma- este es uno de los más maneras simples, pero al mismo tiempo uno de los más efectivos.
El método de la suma consiste en tres simples pasos:
- Mire el sistema y elija una variable que tenga los mismos (u opuestos) coeficientes en cada ecuación;
- Realice una resta algebraica (para números opuestos, suma) de ecuaciones entre sí y luego proporcione términos similares;
- Resuelve la nueva ecuación obtenida después del segundo paso.
Si todo se hace correctamente, en la salida obtendremos una única ecuación. con una variable— No será difícil solucionarlo. Entonces todo lo que queda es sustituir la raíz encontrada en el sistema original y obtener la respuesta final.
Sin embargo, en la práctica no todo es tan sencillo. Hay varias razones para esto:
- Resolver ecuaciones usando el método de la suma implica que todas las líneas deben contener variables con coeficientes iguales/opuestos. ¿Qué hacer si no se cumple este requisito?
- No siempre después de sumar/restar ecuaciones de la forma indicada obtenemos bonito diseño, que se soluciona fácilmente. ¿Es posible simplificar de alguna manera los cálculos y acelerarlos?
Para obtener la respuesta a estas preguntas y, al mismo tiempo, comprender algunas sutilezas adicionales en las que muchos estudiantes fallan, mire mi lección en video:
Con esta lección comenzamos una serie de conferencias dedicadas a sistemas de ecuaciones. Y partiremos de los más simples, es decir, aquellos que contienen dos ecuaciones y dos variables. Cada uno de ellos será lineal.
Sistemas es material de séptimo grado, pero esta lección también será útil para estudiantes de secundaria que quieran repasar sus conocimientos sobre este tema.
En general, existen dos métodos para resolver este tipo de sistemas:
- Método de suma;
- Un método para expresar una variable en términos de otra.
Hoy nos ocuparemos del primer método: utilizaremos el método de resta y suma. Pero para hacer esto, debes comprender el siguiente hecho: una vez que tengas dos o más ecuaciones, puedes tomar dos de ellas y sumarlas entre sí. Se añaden miembro por miembro, es decir. Se suman “X” a las “X” y se dan similares, “Y” con “Y” se vuelven a similar, y lo que está a la derecha del signo igual también se suma entre sí, y allí también se dan similares .
El resultado de tales maquinaciones será una nueva ecuación que, si tiene raíces, seguramente estará entre las raíces de la ecuación original. Por lo tanto, nuestra tarea es hacer la resta o suma de tal manera que $x$ o $y$ desaparezcan.
Cómo lograrlo y qué herramienta utilizar para ello; hablaremos de esto ahora.
Resolver problemas sencillos usando la suma
Entonces, aprendemos a usar el método de la suma usando el ejemplo de dos expresiones simples.
Tarea número 1
\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]
Tenga en cuenta que $y$ tiene un coeficiente de $-4$ en la primera ecuación y $+4$ en la segunda. Son mutuamente opuestos, por lo que es lógico suponer que si los sumamos, en la suma resultante los "juegos" se destruirán mutuamente. Súmalo y obtén:
Resolvamos la construcción más simple:
Genial, encontramos la "x". ¿Qué debemos hacer con él ahora? Tenemos derecho a sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones. Sustituyamos en el primero:
\[-4y=12\izquierda| :\izquierda(-4 \derecha) \derecha.\]
Respuesta: $\izquierda(2;-3 \derecha)$.
Problema número 2
\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]
La situación aquí es completamente similar, sólo que con las "X". Sumemos:
Tenemos la ecuación lineal más simple, resolvámosla:
Ahora encontremos $x$:
Respuesta: $\izquierda(-3;3 \derecha)$.
Puntos importantes
Entonces, acabamos de resolver dos sistemas simples de ecuaciones lineales usando el método de la suma. Puntos clave nuevamente:
- Si hay coeficientes opuestos para una de las variables, entonces es necesario sumar todas las variables de la ecuación. En este caso, uno de ellos será destruido.
- Sustituimos la variable encontrada en cualquiera de las ecuaciones del sistema para encontrar la segunda.
- El registro de respuesta final se puede presentar de diferentes formas. Por ejemplo, así - $x=...,y=...$, o en forma de coordenadas de puntos - $\left(...;... \right)$. Es preferible la segunda opción. Lo principal que hay que recordar es que la primera coordenada es $x$ y la segunda es $y$.
- La regla de escribir la respuesta en forma de coordenadas de puntos no siempre es aplicable. Por ejemplo, no se puede utilizar cuando las variables no son $x$ e $y$, sino, por ejemplo, $a$ y $b$.
En los siguientes problemas consideraremos la técnica de la resta cuando los coeficientes no son opuestos.
Resolver problemas fáciles usando el método de resta.
Tarea número 1
\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]
Tenga en cuenta que aquí no hay coeficientes opuestos, pero sí idénticos. Por tanto, restamos la segunda de la primera ecuación:
Ahora sustituimos el valor $x$ en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Vamos primero:
Respuesta: $\izquierda(2;5\derecha)$.
Problema número 2
\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]
Nuevamente vemos el mismo coeficiente de $5$ para $x$ en la primera y segunda ecuación. Por lo tanto, es lógico suponer que es necesario restar la segunda de la primera ecuación:
Hemos calculado una variable. Ahora encontremos el segundo, por ejemplo, sustituyendo el valor $y$ en la segunda construcción:
Respuesta: $\izquierda(-3;-2 \derecha)$.
Matices de la solución.
Entonces ¿Qué vemos? En esencia, el esquema no difiere de la solución de los sistemas anteriores. La única diferencia es que no sumamos ecuaciones, sino que las restamos. Estamos haciendo resta algebraica.
En otras palabras, tan pronto como veas un sistema que consta de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo primero que debes mirar son los coeficientes. Si son iguales en cualquier parte, se restan las ecuaciones, y si son opuestas, se utiliza el método de la suma. Esto siempre se hace para que una de ellas desaparezca, y en la ecuación final, que queda después de la resta, solo queda una variable.
Por supuesto, eso no es todo. Ahora consideraremos sistemas en los que las ecuaciones son generalmente inconsistentes. Aquellos. No hay en ellos variables iguales ni opuestas. En este caso, para resolver dichos sistemas, utilizamos dosis adicional, es decir, multiplicar cada una de las ecuaciones por un coeficiente especial. Cómo encontrarlo y cómo resolver dichos sistemas en general, hablaremos de esto ahora.
Resolver problemas multiplicando por un coeficiente
Ejemplo 1
\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]
Vemos que ni para $x$ ni para $y$ los coeficientes no sólo son mutuamente opuestos, sino que tampoco están correlacionados de ninguna manera con la otra ecuación. Estos coeficientes no desaparecerán de ninguna manera, incluso si sumamos o restamos las ecuaciones entre sí. Por tanto, es necesario aplicar la multiplicación. Intentemos deshacernos de la variable $y$. Para ello multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente $y$ de la segunda ecuación, y la segunda ecuación por el coeficiente $y$ de la primera ecuación, sin tocar el signo. Multiplicamos y obtenemos un nuevo sistema:
\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]
Veámoslo: en $y$ los coeficientes son opuestos. En tal situación, es necesario utilizar el método de la suma. Agreguemos:
Ahora necesitamos encontrar $y$. Para hacer esto, sustituya $x$ en la primera expresión:
\[-9y=18\izquierda| :\izquierda(-9 \derecha) \derecha.\]
Respuesta: $\izquierda(4;-2 \derecha)$.
Ejemplo No. 2
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]
Nuevamente, los coeficientes de ninguna de las variables son consistentes. Multipliquemos por los coeficientes de $y$:
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]
\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]
Nuestro nuevo sistema es equivalente al anterior, sin embargo, los coeficientes de $y$ son mutuamente opuestos, por lo que es fácil aplicar aquí el método de la suma:
Ahora encontremos $y$ sustituyendo $x$ en la primera ecuación:
Respuesta: $\izquierda(-2;1 \derecha)$.
Matices de la solución.
La regla clave aquí es la siguiente: siempre multiplicamos sólo por numeros positivos- Esto le evitará errores estúpidos y ofensivos asociados con el cambio de signos. En general, el esquema de solución es bastante sencillo:
- Observamos el sistema y analizamos cada ecuación.
- Si vemos que ni $y$ ni $x$ los coeficientes son consistentes, es decir no son iguales ni opuestos, luego hacemos lo siguiente: seleccionamos la variable de la que necesitamos deshacernos y luego miramos los coeficientes de estas ecuaciones. Si multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de la segunda, y la segunda, respectivamente, la multiplicamos por el coeficiente de la primera, al final obtendremos un sistema que es completamente equivalente al anterior, y los coeficientes de $ y$ será consistente. Todas nuestras acciones o transformaciones tienen como objetivo únicamente conseguir una variable en una ecuación.
- Encontramos una variable.
- Sustituimos la variable encontrada en una de las dos ecuaciones del sistema y encontramos la segunda.
- Escribimos la respuesta en forma de coordenadas de puntos si tenemos las variables $x$ e $y$.
Pero incluso un algoritmo tan simple tiene sus propias sutilezas, por ejemplo, los coeficientes $x$ o $y$ pueden ser fracciones y otros números "feos". Ahora consideraremos estos casos por separado, porque en ellos puede actuar de manera algo diferente que según el algoritmo estándar.
Resolver problemas con fracciones
Ejemplo 1
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]
Primero, observa que la segunda ecuación contiene fracciones. Pero tenga en cuenta que puede dividir $4$ por $0,8$. Recibiremos $5$. Multipliquemos la segunda ecuación por $5$:
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]
Restamos las ecuaciones entre sí:
Encontramos $n$, ahora contemos $m$:
Respuesta: $n=-4;m=5$
Ejemplo No. 2
\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ bien.\]
Aquí, como en el sistema anterior, hay coeficientes fraccionarios, pero para ninguna de las variables los coeficientes encajan entre sí un número entero de veces. Por lo tanto usamos algoritmo estándar. Deshazte de $p$:
\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]
Usamos el método de resta:
Encontremos $p$ sustituyendo $k$ en la segunda construcción:
Respuesta: $p=-4;k=-2$.
Matices de la solución.
Eso es todo optimización. En la primera ecuación, no multiplicamos por nada en absoluto, sino que multiplicamos la segunda ecuación por $5$. Como resultado, obtuvimos una ecuación consistente e incluso idéntica para la primera variable. En el segundo sistema seguimos un algoritmo estándar.
Pero, ¿cómo encuentras los números por los cuales multiplicar las ecuaciones? Después de todo, si multiplicas por números fraccionarios, obtendremos nuevas fracciones. Por lo tanto, las fracciones deben multiplicarse por un número que daría un nuevo número entero, y luego las variables deben multiplicarse por coeficientes, siguiendo el algoritmo estándar.
Para concluir, me gustaría llamar su atención sobre el formato de registro de la respuesta. Como ya dije, como aquí no tenemos $x$ e $y$, sino otros valores, usamos una notación no estándar de la forma:
Resolver sistemas complejos de ecuaciones.
Como nota final al vídeo tutorial de hoy, veamos un par de realmente sistemas complejos. Su complejidad consistirá en que tendrán variables tanto a izquierda como a derecha. Por tanto, para solucionarlos tendremos que aplicar preprocesamiento.
Sistema nº 1
\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]
Cada ecuación conlleva una cierta complejidad. Por lo tanto, tratemos cada expresión como si fuera una construcción lineal regular.
En total obtenemos el sistema final, que es equivalente al original:
\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
Veamos los coeficientes de $y$: $3$ cabe en $6$ dos veces, así que multipliquemos la primera ecuación por $2$:
\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
Los coeficientes de $y$ ahora son iguales, por lo que restamos el segundo de la primera ecuación: $$
Ahora encontremos $y$:
Respuesta: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$
Sistema nº 2
\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]
Transformemos la primera expresión:
Ocupémonos del segundo:
\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
En total, nuestro sistema inicial tomará la siguiente forma:
\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
Al observar los coeficientes de $a$, vemos que la primera ecuación debe multiplicarse por $2$:
\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
Resta la segunda de la primera construcción:
Ahora encontremos $a$:
Respuesta: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.
Eso es todo. Espero que este video tutorial te ayude a comprender este difícil tema, es decir, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales simples. Habrá muchas más lecciones sobre este tema: veremos más ejemplos complejos, donde habrá más variables y las ecuaciones mismas ya serán no lineales. ¡Hasta luego!
Método de suma algebraica
Puedes resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. diferentes caminos- método gráfico o método de sustitución de variables.
En esta lección nos familiarizaremos con otro método para resolver sistemas que probablemente le gustará: este es el método de suma algebraica.
¿De dónde surgió la idea de poner algo en los sistemas? A la hora de resolver sistemas, el principal problema es la presencia de dos variables, porque no sabemos resolver ecuaciones con dos variables. Esto significa que uno de ellos debe ser excluido de alguna forma legal. Y esas formas legítimas son las reglas y propiedades matemáticas.
Una de estas propiedades es: la suma de los números opuestos es cero. Esto significa que si una de las variables tiene coeficientes opuestos, entonces su suma será igual a cero y podremos excluir esta variable de la ecuación. Está claro que no tenemos derecho a agregar solo términos con la variable que necesitamos. Necesitas sumar las ecuaciones completas, es decir agregue por separado términos similares en el lado izquierdo y luego en el derecho. Como resultado, obtenemos una nueva ecuación que contiene solo una variable. Veamos lo dicho con ejemplos concretos.
Vemos que en la primera ecuación hay una variable y, y en la segunda numero opuesto-y. Esto significa que esta ecuación se puede resolver mediante la suma.
Una de las ecuaciones se deja como está. Cualquiera que te guste más.
Pero la segunda ecuación se obtendrá sumando estas dos ecuaciones término por término. Aquellos. Sumamos 3x con 2x, sumamos y con -y, sumamos 8 con 7.
Obtenemos un sistema de ecuaciones.
La segunda ecuación de este sistema es una ecuación simple con una variable. A partir de ahí encontramos x = 3. Sustituyendo el valor encontrado en la primera ecuación, encontramos y = -1.
Respuesta: (3; - 1).
Diseño de muestra:
Resolver un sistema de ecuaciones usando el método de suma algebraica.
En este sistema no existen variables con coeficientes opuestos. Pero sabemos que ambos lados de la ecuación se pueden multiplicar por el mismo número. Multipliquemos la primera ecuación del sistema por 2.
Entonces la primera ecuación tomará la forma:
Ahora vemos que la variable x tiene coeficientes opuestos. Esto significa que haremos lo mismo que en el primer ejemplo: dejaremos una de las ecuaciones sin cambios. Por ejemplo, 2y + 2x = 10. Y obtenemos el segundo por suma.
Ahora tenemos un sistema de ecuaciones:
Hallamos fácilmente a partir de la segunda ecuación y = 1, y luego a partir de la primera ecuación x = 4.
Diseño de muestra:
Resumamos:
Aprendimos a resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas usando el método de la suma algebraica. Por lo tanto, ahora conocemos tres métodos principales para resolver dichos sistemas: gráfico, método de reemplazo de variables y método de suma. Casi cualquier sistema se puede resolver utilizando estos métodos. En casos más complejos, se utiliza una combinación de estas técnicas.
Lista de literatura usada:
- Mordkovich A.G., Álgebra de séptimo grado en 2 partes, Parte 1, Libro de texto para instituciones de educación general / A.G. Mordkovich. – 10ª ed., revisada – Moscú, “Mnemosyne”, 2007.
- Mordkovich A.G., Álgebra de séptimo grado en 2 partes, Parte 2, Libro de problemas para instituciones educativas / [A.G. Mordkovich y otros]; editado por A.G. Mordkovich - 10ª edición, revisada - Moscú, “Mnemosyne”, 2007.
- SU. Tulchinskaya, Álgebra de séptimo grado. Encuesta Blitz: manual para estudiantes de instituciones de educación general, cuarta edición, revisada y ampliada, Moscú, Mnemosyne, 2008.
- Alexandrova L.A., Álgebra 7mo grado. Temático trabajo de prueba V nueva forma para estudiantes de instituciones de educación general, editado por A.G. Mordkovich, Moscú, “Mnemosyne”, 2011.
- Alexandrova L.A. Álgebra 7mo grado. Trabajo independiente para estudiantes de instituciones de educación general, editado por A.G. Mordkovich - 6ª edición, estereotipado, Moscú, “Mnemosyne”, 2010.