Este artículo explica cómo reducir fracciones a un denominador común y cómo encontrar el mínimo común denominador. Se dan definiciones, se da la regla para reducir fracciones a un denominador común y se consideran ejemplos prácticos.
¿Qué es reducir una fracción a un denominador común?
Las fracciones ordinarias constan de un numerador (la parte superior) y un denominador (la parte inferior). Si las fracciones tienen el mismo denominador, se dice que están reducidas a un denominador común. Por ejemplo, las fracciones 11 14, 17 14, 9 14 tienen el mismo denominador 14. En otras palabras, se reducen a un denominador común.
Si las fracciones tienen diferentes denominadores, entonces siempre se pueden llevar a un denominador común con la ayuda de acciones simples. Para hacer esto, necesitas multiplicar el numerador y el denominador por ciertos factores adicionales.
Es obvio que las fracciones 4 5 y 3 4 no se reducen a un denominador común. Para hacer esto, necesitas usar factores adicionales de 5 y 4 para llevarlos al denominador de 20. ¿Cómo hacer esto exactamente? Multiplica el numerador y denominador de la fracción 4 5 por 4 y multiplica el numerador y denominador de la fracción 3 4 por 5. En lugar de las fracciones 4 5 y 3 4, obtenemos 16 20 y 15 20, respectivamente.
Reducir fracciones a un denominador común
Reducir fracciones a un denominador común es la multiplicación de los numeradores y denominadores de fracciones por factores tales que el resultado son fracciones idénticas con el mismo denominador.
Denominador común: definición, ejemplos.
¿Cuál es el común denominador?
Común denominador
El denominador común de las fracciones es cualquier numero positivo, que es el múltiplo común de todas las fracciones dadas.
Es decir, el denominador común de un conjunto de fracciones será un número natural divisible por todos los denominadores de dichas fracciones sin resto.
Fila números naturales es infinito y, por tanto, por definición, cada conjunto fracciones ordinarias tiene un número infinito de denominadores comunes. En otras palabras, hay infinitos múltiplos comunes de todos los denominadores del conjunto original de fracciones.
El denominador común de varias fracciones es fácil de encontrar utilizando la definición. Sean las fracciones 1 6 y 3 5. El denominador común de las fracciones será cualquier múltiplo común positivo de los números 6 y 5. Estos múltiplos comunes positivos son los números 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, etc.
Veamos un ejemplo.
Ejemplo 1. Denominador común
¿Se pueden llevar las fracciones 1 3, 21 6, 5 12 a un denominador común, que es 150?
Para saber si este es el caso, debes verificar si 150 es un múltiplo común de los denominadores de las fracciones, es decir, de los números 3, 6, 12. En otras palabras, el número 150 debe ser divisible por 3, 6, 12 sin resto. Vamos a revisar:
150 ÷ 3 = 50, 150 ÷ 6 = 25, 150 ÷ 12 = 12,5
Esto significa que 150 no es el denominador común de estas fracciones.
Mínimo común denominador
El número natural más pequeño entre los muchos denominadores comunes de un conjunto de fracciones se llama mínimo común denominador.
Mínimo común denominador
El mínimo común denominador de una fracción es el número más pequeño entre todos los denominadores comunes de esas fracciones.
El mínimo común divisor de un conjunto determinado de números es el mínimo común múltiplo (MCM). El MCM de todos los denominadores de fracciones es el mínimo común denominador de esas fracciones.
¿Cómo encontrar el mínimo común denominador? Encontrarlo se reduce a encontrar el mínimo común múltiplo de las fracciones. Veamos un ejemplo:
Ejemplo 2: encontrar el mínimo común denominador
Necesitamos encontrar el mínimo común denominador de las fracciones 1 10 y 127 28.
Buscamos el MCM de los números 10 y 28. Vamos a factorizarlos en factores simples y obtener:
10 = 2 5 28 = 2 2 7 NO K (15, 28) = 2 2 5 7 = 140
Cómo reducir fracciones al mínimo común denominador.
Existe una regla que explica cómo reducir fracciones a un denominador común. La regla consta de tres puntos.
La regla para reducir fracciones a un denominador común.
- Encuentra el mínimo común denominador de fracciones.
- Encuentra un factor adicional para cada fracción. Para encontrar el factor, divide el mínimo común denominador por el denominador de cada fracción.
- Multiplica el numerador y denominador por el factor adicional encontrado.
Consideremos la aplicación de esta regla usando un ejemplo específico.
Ejemplo 3: Reducir fracciones a un denominador común
Hay fracciones 3 14 y 5 18. Reducámoslos al mínimo común denominador.
Según la regla, primero encontramos el MCM de los denominadores de las fracciones.
14 = 2 7 18 = 2 3 3 NO K (14, 18) = 2 3 3 7 = 126
Calculamos factores adicionales para cada fracción. Para 3 14 el factor adicional es 126 ÷ 14 = 9, y para la fracción 5 18 el factor adicional es 126 ÷ 18 = 7.
Multiplicamos el numerador y denominador de las fracciones por factores adicionales y obtenemos:
3 · 9 14 · 9 = 27,126, 5 · 7 18 · 7 = 35,126.
Reducir múltiples fracciones a su mínimo común denominador
Según la regla considerada, no sólo los pares de fracciones, sino también un número mayor de ellas, pueden reducirse a un denominador común.
Pongamos otro ejemplo.
Ejemplo 4: Reducir fracciones a un denominador común
Reduce las fracciones 3 2 , 5 6 , 3 8 y 17 18 a su mínimo común denominador.
Calculemos el MCM de los denominadores. Hallamos el MCM de tres y más números:
NOK (2, 6) = 6 NOK (6, 8) = 24 NOK (24, 18) = 72 NOK (2, 6, 8, 18) = 72
Para 3 2 el factor adicional es 72 ÷ 2 = 36, para 5 6 el factor adicional es 72 ÷ 6 = 12, para 3 8 el factor adicional es 72 ÷ 8 = 9, finalmente, para 17 18 el factor adicional es 72 ÷ 18 = 4.
Multiplicamos las fracciones por factores adicionales y nos vamos al mínimo común denominador:
3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72
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Originalmente quería incluir técnicas de denominador común en la sección Sumar y restar fracciones. Pero había tanta información y su importancia era tan grande (después de todo, no solo fracciones numéricas), que es mejor estudiar este tema por separado.
Entonces, digamos que tenemos dos fracciones con diferentes denominadores. Y queremos asegurarnos de que los denominadores sean los mismos. La propiedad básica de una fracción viene al rescate, que, permítanme recordarles, suena así:
Una fracción no cambiará si su numerador y denominador se multiplican por el mismo número distinto de cero.
Por lo tanto, si elige los factores correctamente, los denominadores de las fracciones serán iguales; este proceso se llama reducción a un denominador común. Y los números requeridos, que "igualan" los denominadores, se denominan factores adicionales.
¿Por qué necesitamos reducir fracciones a un denominador común? Estas son sólo algunas de las razones:
- Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores. No existe otra forma de realizar esta operación;
- Comparar fracciones. A veces, la reducción a un denominador común simplifica enormemente esta tarea;
- Resolver problemas con fracciones y porcentajes. Los porcentajes son esencialmente expresiones ordinarias que contienen fracciones.
Hay muchas formas de encontrar números que, al multiplicarlos por ellos, igualarán los denominadores de las fracciones. Consideraremos sólo tres de ellos, en orden creciente de complejidad y, en cierto sentido, eficacia.
Multiplicación cruzada
El más simple y manera confiable, que garantiza igualar los denominadores. Actuaremos “de manera precipitada”: multiplicamos la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y la segunda por el denominador de la primera. Como resultado, los denominadores de ambas fracciones serán igual al producto denominadores originales. Echar un vistazo:
Como factores adicionales, considere los denominadores de fracciones vecinas. Obtenemos:
Sí, es así de simple. Si recién está comenzando a estudiar fracciones, es mejor trabajar con este método; de esta manera se asegurará contra muchos errores y tendrá la garantía de obtener el resultado.
El único inconveniente este método- hay que contar mucho, porque los denominadores se multiplican “en todas partes” y el resultado puede ser muy números grandes. Este es el precio a pagar por la confiabilidad.
Método divisor común
Esta técnica ayuda a reducir significativamente los cálculos, pero, desafortunadamente, se utiliza muy raramente. El método es como sigue:
- Antes de seguir adelante (es decir, usar el método entrecruzado), eche un vistazo a los denominadores. Quizás uno de ellos (el que es más grande) esté dividido en el otro.
- El número resultante de esta división será un factor adicional para la fracción con menor denominador.
- En este caso, no es necesario multiplicar una fracción con un denominador grande por nada; aquí es donde reside el ahorro. Al mismo tiempo, la probabilidad de error se reduce drásticamente.
Tarea. Encuentra el significado de las expresiones:
Tenga en cuenta que 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Como en ambos casos un denominador se divide sin resto por el otro, utilizamos el método de los factores comunes. Tenemos:
Tenga en cuenta que la segunda fracción no se multiplicó por nada en absoluto. De hecho, ¡reducimos la cantidad de cálculo a la mitad!
Por cierto, no tomé las fracciones de este ejemplo por casualidad. Si está interesado, intente contarlos usando el método entrecruzado. Después de la reducción, las respuestas serán las mismas, pero habrá mucho más trabajo.
Esta es la fuerza del método. divisores comunes, pero, repito, solo se puede utilizar en el caso de que uno de los denominadores se divida por el otro sin resto. Lo cual sucede muy raramente.
Método múltiplo menos común
Cuando reducimos fracciones a un denominador común, básicamente estamos tratando de encontrar un número que sea divisible por cada denominador. Luego llevamos los denominadores de ambas fracciones a este número.
Hay muchos de estos números, y el más pequeño de ellos no necesariamente será igual al producto directo de los denominadores de las fracciones originales, como se supone en el método "entrecruzado".
Por ejemplo, para los denominadores 8 y 12, el número 24 es bastante adecuado, ya que 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Este número es mucho menor que el producto 8 · 12 = 96.
Número más pequeño, que es divisible por cada uno de los denominadores, se llama mínimo común múltiplo (MCM).
Notación: El mínimo común múltiplo de a y b se denota por MCM(a; b). Por ejemplo, MCM(16, 24) = 48; MCM(8; 12) = 24 .
Si logra encontrar ese número, la cantidad total de cálculos será mínima. Mira los ejemplos:
Tarea. Encuentra el significado de las expresiones:
Tenga en cuenta que 234 = 117 2; 351 = 117 3. Los factores 2 y 3 son coprimos (no tienen más factores comunes que 1) y el factor 117 es común. Por lo tanto MCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Asimismo, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Los factores 3 y 4 son coprimos y el factor 5 es común. Por lo tanto, MCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Ahora llevemos las fracciones a denominadores comunes:
Observa lo útil que fue factorizar los denominadores originales:
- Habiendo descubierto factores idénticos, llegamos inmediatamente al mínimo común múltiplo, que, en términos generales, no es un problema trivial;
- A partir de la expansión resultante puedes descubrir qué factores “faltan” en cada fracción. Por ejemplo, 234 · 3 = 702, por lo tanto, para la primera fracción el factor adicional es 3.
Para apreciar la diferencia que supone el método del mínimo común múltiplo, intente calcular estos mismos ejemplos utilizando el método entrecruzado. Por supuesto, sin calculadora. Creo que después de esto los comentarios serán innecesarios.
No creas que no habrá fracciones tan complejas en los ejemplos reales. ¡Se reúnen todo el tiempo y las tareas anteriores no son el límite!
El único problema es cómo encontrar este mismo NOC. A veces todo se encuentra en unos segundos, literalmente "a simple vista", pero en general se trata de una tarea computacional compleja que requiere una consideración aparte. No tocaremos eso aquí.
Reducir fracciones a un denominador común
Las fracciones tengo los mismos denominadores. dicen que tienen común denominador 25. Las fracciones tienen diferentes denominadores, pero se pueden reducir a un denominador común usando la propiedad básica de las fracciones. Para ello buscaremos un número que sea divisible entre 8 y 3, por ejemplo, 24. Llevemos las fracciones al denominador 24, para ello multiplicamos el numerador y denominador de la fracción por multiplicador adicional 3. El factor adicional generalmente se escribe a la izquierda encima del numerador:
Multiplica el numerador y denominador de la fracción por un factor adicional de 8:
Llevemos las fracciones a un denominador común. La mayoría de las veces, las fracciones se reducen al mínimo común denominador, que es el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones dadas. Como MCM (8, 12) = 24, entonces las fracciones se pueden reducir a un denominador de 24. Encontremos factores adicionales de las fracciones: 24:8 = 3, 24:12 = 2. Entonces
Varias fracciones se pueden reducir a un denominador común.
Ejemplo. Llevemos las fracciones a un denominador común. Dado que 25 = 5 2, 10 = 2 5, 6 = 2 3, entonces MCM (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.
Encontremos factores adicionales de fracciones y llevémoslos al denominador 150:
Comparación de fracciones
En la Fig. La figura 4.7 muestra un segmento AB de longitud 1. Está dividido en 7 partes iguales. El segmento AC tiene longitud y el segmento AD tiene longitud.
La longitud del segmento AD es mayor que la longitud del segmento AC, es decir, la fracción es mayor que la fracción
De dos fracciones con denominador común, la que tiene el numerador mayor es mayor, es decir
Por ejemplo, o
Para comparar dos fracciones cualesquiera, redúzcalas a un denominador común y luego aplique la regla para comparar fracciones con un denominador común.
Ejemplo. Comparar fracciones
Solución. MCM (8, 14) = 56. Entonces, como 21 > 20, entonces
Si la primera fracción es menor que la segunda y la segunda es menor que la tercera, entonces la primera es menor que la tercera.
Prueba. Se dan tres fracciones. Llevémoslos a un denominador común. Entonces déjalos lucir como Dado que la primera fracción es más pequeña
segundo, entonces r< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для натуральных чисел следует, что r < t, тогда первая дробь меньше третьей.
La fracción se llama correcto, si su numerador es menor que su denominador.
La fracción se llama equivocado, si su numerador es mayor o igual que el denominador.
Por ejemplo, las fracciones son propias y las fracciones son impropias.
Una fracción propia es menor que 1 y una fracción impropia es mayor o igual a 1.