Lección y presentación sobre el tema: "Resolución de ecuaciones trigonométricas simples"
Materiales adicionales
Estimados usuarios, ¡no olviden dejar sus comentarios, reseñas, deseos! Todos los materiales han sido revisados por un programa antivirus.
Manuales y simuladores en la tienda online Integral para grado 10 de 1C
Resolvemos problemas de geometría. Tareas interactivas para construir en el espacio.
Entorno de software "1C: Constructor matemático 6.1"
Qué estudiaremos:
1. ¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?
3. Dos métodos principales para resolver ecuaciones trigonométricas.
4. Ecuaciones trigonométricas homogéneas.
5. Ejemplos.
¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?
Chicos, ya hemos estudiado arcoseno, arcocoseno, arcotangente y arcocotangente. Ahora veamos las ecuaciones trigonométricas en general.
Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones en las que una variable está contenida bajo el signo de una función trigonométrica.
Repitamos la forma de resolver las ecuaciones trigonométricas más simples:
1)Si |a|≤ 1, entonces la ecuación cos(x) = a tiene solución:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Si |a|≤ 1, entonces la ecuación sin(x) = a tiene solución:
3) Si |a| > 1, entonces la ecuación sin(x) = a y cos(x) = a no tienen soluciones 4) La ecuación tg(x)=a tiene solución: x=arctg(a)+ πk
5) La ecuación ctg(x)=a tiene solución: x=arcctg(a)+ πk
Para todas las fórmulas k es un número entero
Las ecuaciones trigonométricas más simples tienen la forma: T(kx+m)=a, T es alguna función trigonométrica.
Ejemplo.Resuelve las ecuaciones: a) sin(3x)= √3/2
Solución:
A) Denotemos 3x=t, luego reescribiremos nuestra ecuación en la forma:
La solución a esta ecuación será: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.
De la tabla de valores obtenemos: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Volvamos a nuestra variable: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Entonces x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Respuesta: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, donde n es un número entero. (-1)^n – menos uno elevado a n.
Más ejemplos de ecuaciones trigonométricas.
Resuelve las ecuaciones: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3Solución:
A) Esta vez pasemos directamente al cálculo de las raíces de la ecuación:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Entonces x/5= πk => x=5πk
Respuesta: x=5πk, donde k es un número entero.
B) Lo escribimos de la forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Sabemos que: arctan(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Respuesta: x=2π/9 + πk/3, donde k es un número entero.
Resuelve las ecuaciones: cos(4x)= √2/2. Y encuentra todas las raíces en el segmento.
Solución:
Resolvamos nuestra ecuación en forma general: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Ahora veamos qué raíces caen en nuestro segmento. En k En k=0, x= π/16, estamos en el segmento dado.
Con k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, acertamos de nuevo.
Para k=2, x= π/16+ π=17π/16, pero aquí no acertamos, lo que significa que para k grande obviamente tampoco acertaremos.
Respuesta: x= π/16, x= 9π/16
Dos métodos de solución principales.
Analizamos las ecuaciones trigonométricas más simples, pero también las hay más complejas. Para resolverlos se utiliza el método de introducción de una nueva variable y el método de factorización. Veamos ejemplos.Resolvamos la ecuación:
Solución:
Para resolver nuestra ecuación, usaremos el método de introducir una nueva variable, que denota: t=tg(x).
Como resultado del reemplazo obtenemos: t 2 + 2t -1 = 0
Encontremos las raíces de la ecuación cuadrática: t=-1 y t=1/3
Entonces tg(x)=-1 y tg(x)=1/3, obtenemos la ecuación trigonométrica más simple, encontremos sus raíces.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Respuesta: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Un ejemplo de resolución de una ecuación.
Resolver ecuaciones: 2sen 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Solución:
Usemos la identidad: sen 2 (x) + cos 2 (x)=1
Nuestra ecuación tomará la forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 porque 2 (x) - 3 porque(x) -2 = 0
Introduzcamos el reemplazo t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
La solución a nuestra ecuación cuadrática son las raíces: t=2 y t=-1/2
Entonces cos(x)=2 y cos(x)=-1/2.
Porque el coseno no puede tomar valores mayores que uno, entonces cos(x)=2 no tiene raíces.
Para cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Respuesta: x= ±2π/3 + 2πk
Ecuaciones trigonométricas homogéneas.
Definición: Las ecuaciones de la forma a sin(x)+b cos(x) se denominan ecuaciones trigonométricas homogéneas de primer grado.Ecuaciones de la forma
ecuaciones trigonométricas homogéneas de segundo grado.
Para resolver una ecuación trigonométrica homogénea de primer grado, divídela por cos(x): 
No se puede dividir por el coseno si es igual a cero, asegurémonos de que no sea así:
Sea cos(x)=0, entonces asin(x)+0=0 => sin(x)=0, pero el seno y el coseno no son iguales a cero al mismo tiempo, obtenemos una contradicción, por lo que podemos dividir con seguridad por cero.
Resuelve la ecuación:
Ejemplo: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
Solución:
Saquemos el factor común: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Entonces necesitamos resolver dos ecuaciones:
Cos(x)=0 y cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 en x= π/2 + πk;
Considere la ecuación cos(x)+sin(x)=0 Divida nuestra ecuación por cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Respuesta: x= π/2 + πk y x= -π/4+πk
¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas homogéneas de segundo grado?
¡Chicos, sigan siempre estas reglas!
1. Vea a qué es igual el coeficiente a, si a=0 entonces nuestra ecuación tomará la forma cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), cuyo ejemplo de solución se encuentra en la diapositiva anterior.
2. Si a≠0, entonces necesitas dividir ambos lados de la ecuación por el coseno al cuadrado, obtenemos:
Cambiamos la variable t=tg(x) y obtenemos la ecuación:
Resolver ejemplo No.:3
Resuelve la ecuación:Solución:
Dividamos ambos lados de la ecuación por el coseno cuadrado: 
Cambiamos la variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Encontremos las raíces de la ecuación cuadrática: t=-3 y t=1
Entonces: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Respuesta: x=-arctg(3) + πk y x= π/4+ πk
Resolver ejemplo No.:4
Resuelve la ecuación:Solución:
Transformemos nuestra expresión:
Podemos resolver tales ecuaciones: x= - π/4 + 2πk y x=5π/4 + 2πk
Respuesta: x= - π/4 + 2πk y x=5π/4 + 2πk
Resolver ejemplo nº:5
Resuelve la ecuación:Solución:
Transformemos nuestra expresión:
Introduzcamos el reemplazo tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
La solución de nuestra ecuación cuadrática serán las raíces: t=-2 y t=1/2
Entonces obtenemos: tg(2x)=-2 y tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Respuesta: x=-arctg(2)/2 + πk/2 y x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Problemas para solución independiente.
1) Resuelve la ecuaciónA) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7
2) Resuelve las ecuaciones: sin(3x)= √3/2. Y encuentre todas las raíces en el segmento [π/2; π].
3) Resuelve la ecuación: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0
4) Resuelve la ecuación: 3 sen 2 (x) + √3sen (x) cos(x) = 0
5) Resuelve la ecuación: 3sen 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6) Resuelve la ecuación: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sen 2 (2x)
Mantener su privacidad es importante para nosotros. Por este motivo, hemos desarrollado una Política de Privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Revise nuestras prácticas de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta.
Recopilación y uso de información personal.
La información personal se refiere a datos que pueden usarse para identificar o contactar a una persona específica.
Es posible que se le solicite que proporcione su información personal en cualquier momento cuando se comunique con nosotros.
A continuación se muestran algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información.
Qué información personal recopilamos:
- Cuando envía una solicitud en el sitio, podemos recopilar diversa información, incluido su nombre, número de teléfono, dirección de correo electrónico, etc.
Cómo usamos tu información personal:
- La información personal que recopilamos nos permite comunicarnos con usted con ofertas únicas, promociones y otros eventos y próximos eventos.
- De vez en cuando, podemos utilizar su información personal para enviar avisos y comunicaciones importantes.
- También podemos utilizar información personal para fines internos, como realizar auditorías, análisis de datos e investigaciones diversas para mejorar los servicios que brindamos y brindarle recomendaciones sobre nuestros servicios.
- Si participa en un sorteo de premios, concurso o promoción similar, podremos utilizar la información que proporcione para administrar dichos programas.
Divulgación de información a terceros
No revelamos la información que recibimos de usted a terceros.
Excepciones:
- Si es necesario, de conformidad con la ley, un procedimiento judicial, en procedimientos legales y/o en base a solicitudes públicas o solicitudes de autoridades gubernamentales en el territorio de la Federación de Rusia, revelar su información personal. También podemos divulgar información sobre usted si determinamos que dicha divulgación es necesaria o apropiada para fines de seguridad, cumplimiento de la ley u otros fines de importancia pública.
- En caso de una reorganización, fusión o venta, podemos transferir la información personal que recopilamos al tercero sucesor correspondiente.
Protección de información personal
Tomamos precauciones, incluidas las administrativas, técnicas y físicas, para proteger su información personal contra pérdida, robo y uso indebido, así como acceso no autorizado, divulgación, alteración y destrucción.
Respetando su privacidad a nivel de empresa
Para garantizar que su información personal esté segura, comunicamos estándares de privacidad y seguridad a nuestros empleados y aplicamos estrictamente las prácticas de privacidad.
Resolver ecuaciones trigonométricas simples.
Resolver ecuaciones trigonométricas de cualquier nivel de complejidad se reduce en última instancia a resolver las ecuaciones trigonométricas más simples. Y en esto el círculo trigonométrico vuelve a ser el mejor asistente.
Recordemos las definiciones de coseno y seno.
El coseno de un ángulo es la abscisa (es decir, la coordenada a lo largo del eje) de un punto en el círculo unitario correspondiente a una rotación a través de un ángulo dado.
El seno de un ángulo es la ordenada (es decir, la coordenada a lo largo del eje) de un punto en el círculo unitario correspondiente a una rotación a través de un ángulo dado.
La dirección positiva del movimiento en el círculo trigonométrico es en sentido antihorario. Una rotación de 0 grados (o 0 radianes) corresponde a un punto con coordenadas (1;0)
Usamos estas definiciones para resolver ecuaciones trigonométricas simples.
1. Resuelve la ecuación
Esta ecuación se satisface con todos los valores del ángulo de rotación que corresponden a puntos del círculo cuya ordenada es igual a .
Marquemos un punto con ordenada en el eje de ordenadas:
Dibuja una línea horizontal paralela al eje x hasta que se cruce con el círculo. Obtenemos dos puntos que se encuentran en el círculo y que tienen una ordenada. Estos puntos corresponden a ángulos de rotación en y radianes:
Si, saliendo del punto correspondiente al ángulo de rotación por radianes, damos la vuelta a un círculo completo, llegaremos a un punto correspondiente al ángulo de rotación por radianes y que tiene la misma ordenada. Es decir, este ángulo de rotación también satisface nuestra ecuación. Podemos hacer tantas revoluciones “inactivas” como queramos, volviendo al mismo punto, y todos estos valores de ángulos satisfarán nuestra ecuación. El número de revoluciones "inactivas" se indicará con la letra (o). Dado que podemos hacer estas revoluciones tanto en dirección positiva como negativa, (o) podemos tomar cualquier valor entero.
Es decir, la primera serie de soluciones de la ecuación original tiene la forma:
, , - conjunto de números enteros (1)
De manera similar, la segunda serie de soluciones tiene la forma:
, Dónde , . (2)
Como habrás adivinado, esta serie de soluciones se basa en el punto del círculo correspondiente al ángulo de rotación de .
Estas dos series de soluciones se pueden combinar en una sola entrada:
Si tomamos (es decir, incluso) en esta entrada, obtendremos la primera serie de soluciones.
Si tomamos (es decir, impar) en esta entrada, obtenemos la segunda serie de soluciones.
2. Ahora resolvamos la ecuación.
Como esta es la abscisa de un punto del círculo unitario obtenido al rotar un ángulo, marcamos el punto con la abscisa en el eje:
Dibuja una línea vertical paralela al eje hasta que se cruce con el círculo. Obtendremos dos puntos que se encuentran en el círculo y tienen una abscisa. Estos puntos corresponden a ángulos de rotación en y radianes. Recordemos que al movernos en el sentido de las agujas del reloj obtenemos un ángulo de rotación negativo:
Anotemos dos series de soluciones:
,
,
(Llegamos al punto deseado yendo desde el círculo completo principal, es decir.
Combinemos estas dos series en una sola entrada:
3. Resuelve la ecuación
La recta tangente pasa por el punto de coordenadas (1,0) del círculo unitario paralelo al eje OY
Marquemos un punto con una ordenada igual a 1 (buscamos la tangente de qué ángulos es igual a 1):
Conectemos este punto al origen de coordenadas con una línea recta y marquemos los puntos de intersección de la línea con el círculo unitario. Los puntos de intersección de la recta y el círculo corresponden a los ángulos de rotación en y :
Dado que los puntos correspondientes a los ángulos de rotación que satisfacen nuestra ecuación se encuentran a una distancia de radianes entre sí, podemos escribir la solución de esta manera:
4. Resuelve la ecuación
La recta de cotangentes pasa por el punto cuyas coordenadas del círculo unitario son paralelas al eje.
Marquemos un punto con abscisa -1 en la recta de cotangentes:
Conectemos este punto con el origen de la línea recta y continúemos hasta que se cruce con el círculo. Esta línea recta cruzará el círculo en puntos correspondientes a los ángulos de rotación en y radianes:
Como estos puntos están separados entre sí por una distancia igual a , podemos escribir la solución general de esta ecuación de la siguiente manera:
En los ejemplos dados que ilustran la solución de las ecuaciones trigonométricas más simples, se utilizaron valores tabulares de funciones trigonométricas.
Sin embargo, si el lado derecho de la ecuación contiene un valor no tabular, entonces sustituimos el valor en la solución general de la ecuación:
SOLUCIONES ESPECIALES:
Marquemos los puntos de la circunferencia cuya ordenada es 0:
Marquemos un solo punto en la circunferencia cuya ordenada es 1:
Marquemos un solo punto en el círculo cuya ordenada es igual a -1:
Como se acostumbra indicar valores más cercanos a cero, escribimos la solución de la siguiente manera:
Marquemos los puntos de la circunferencia cuya abscisa es igual a 0:
5.
Marquemos un único punto en la circunferencia cuya abscisa sea igual a 1:
Marquemos un único punto en la circunferencia cuya abscisa sea igual a -1:
Y ejemplos un poco más complejos:
1.
El seno es igual a uno si el argumento es igual a
El argumento de nuestro seno es igual, entonces obtenemos:
Dividamos ambos lados de la igualdad entre 3:
Respuesta:
2.
El coseno es cero si el argumento del coseno es
El argumento de nuestro coseno es igual a , entonces obtenemos:
Expresemos, para ello primero nos desplazamos hacia la derecha con el signo contrario:
Simplifiquemos el lado derecho:
Divide ambos lados por -2:
Tenga en cuenta que el signo delante del término no cambia, ya que k puede tomar cualquier valor entero.
Respuesta:
Y finalmente, mire la lección en video “Seleccionar raíces en una ecuación trigonométrica usando un círculo trigonométrico”
Con esto concluye nuestra conversación sobre la resolución de ecuaciones trigonométricas simples. La próxima vez hablaremos de cómo decidir.
Al resolver muchos problemas matemáticos, especialmente aquellos que ocurren antes del grado 10, el orden de las acciones realizadas que conducirán a la meta está claramente definido. Dichos problemas incluyen, por ejemplo, ecuaciones lineales y cuadráticas, desigualdades lineales y cuadráticas, ecuaciones fraccionarias y ecuaciones que se reducen a cuadráticas. El principio para resolver con éxito cada uno de los problemas mencionados es el siguiente: debe establecer qué tipo de problema está resolviendo, recordar la secuencia necesaria de acciones que conducirán al resultado deseado, es decir Responde y sigue estos pasos.
Es obvio que el éxito o el fracaso en la resolución de un problema en particular depende principalmente de qué tan correctamente se determina el tipo de ecuación que se resuelve y de qué tan correctamente se reproduce la secuencia de todas las etapas de su solución. Por supuesto, en este caso es necesario tener la habilidad de realizar transformaciones y cálculos idénticos.
La situación es diferente con ecuaciones trigonométricas. No es nada difícil establecer que la ecuación es trigonométrica. Surgen dificultades a la hora de determinar la secuencia de acciones que conducirían a la respuesta correcta.
A veces es difícil determinar su tipo basándose en la apariencia de una ecuación. Y sin conocer el tipo de ecuación, es casi imposible elegir la correcta entre varias docenas de fórmulas trigonométricas.
Para resolver una ecuación trigonométrica, debes intentar:
1. llevar todas las funciones incluidas en la ecuación a "los mismos ángulos";
2. llevar la ecuación a “funciones idénticas”;
3. factorizar el lado izquierdo de la ecuación, etc.
Consideremos Métodos básicos para resolver ecuaciones trigonométricas.
I. Reducción a las ecuaciones trigonométricas más simples.
Diagrama de solución
Paso 1. Expresar una función trigonométrica en términos de componentes conocidos.
Paso 2. Encuentre el argumento de la función usando las fórmulas:
porque x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
pecado x = a; x = (-1) n arcosen a + πn, n Є Z.
tanx = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Paso 3. Encuentra la variable desconocida.
Ejemplo.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Solución.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Respuesta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Reemplazo de variables
Diagrama de solución
Paso 1. Reducir la ecuación a forma algebraica con respecto a una de las funciones trigonométricas.
Paso 2. Denota la función resultante por la variable t (si es necesario, introduce restricciones sobre t).
Paso 3. Escribe y resuelve la ecuación algebraica resultante.
Etapa 4. Haga un reemplazo inverso.
Paso 5. Resuelve la ecuación trigonométrica más simple.
Ejemplo.
2cos 2 (x/2) – 5sen (x/2) – 5 = 0.
Solución.
1) 2(1 – sen 2 (x/2)) – 5sen (x/2) – 5 = 0;
2sen 2 (x/2) + 5sen (x/2) + 3 = 0.
2) Sea sen (x/2) = t, donde |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 o e = -3/2, no cumple la condición |t| ≤ 1.
4) pecado(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Respuesta: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Método de reducción del orden de las ecuaciones
Diagrama de solución
Paso 1. Reemplace esta ecuación por una lineal, usando la fórmula para reducir el grado:
sen 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
porque 2 x = 1/2 · (1 + porque 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Paso 2. Resuelva la ecuación resultante usando los métodos I y II.
Ejemplo.
porque 2x + porque 2x = 5/4.
Solución.
1) porque 2x + 1/2 · (1 + porque 2x) = 5/4.
2) porque 2x + 1/2 + 1/2 · porque 2x = 5/4;
3/2 porque 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Respuesta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Ecuaciones homogéneas
Diagrama de solución
Paso 1. Reduzca esta ecuación a la forma
a) a sin x + b cos x = 0 (ecuación homogénea de primer grado)
o a la vista
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuación homogénea de segundo grado).
Paso 2. Divide ambos lados de la ecuación por
a) porque x ≠ 0;
b) porque 2 x ≠ 0;
y obtenga la ecuación para tan x:
a) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Paso 3. Resuelve la ecuación usando métodos conocidos.
Ejemplo.
5sen 2 x + 3sen x porque x – 4 = 0.
Solución.
1) 5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;
5sen 2 x + 3sen x · cos x – 4sen² x – 4cos 2 x = 0;
sen 2 x + 3sen x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Sea tg x = t, entonces
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 o t = -4, lo que significa
tg x = 1 o tg x = -4.
De la primera ecuación x = π/4 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Respuesta: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Método de transformación de una ecuación mediante fórmulas trigonométricas.
Diagrama de solución
Paso 1. Usando todas las fórmulas trigonométricas posibles, reduzca esta ecuación a una ecuación resuelta por los métodos I, II, III, IV.
Paso 2. Resuelva la ecuación resultante usando métodos conocidos.
Ejemplo.
sen x + sen 2x + sen 3x = 0.
Solución.
1) (sen x + pecado 3x) + pecado 2x = 0;
2sen 2x porque x + pecado 2x = 0.
2) pecado 2x (2cos x + 1) = 0;
sen 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;
De la primera ecuación 2x = π/2 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación cos x = -1/2.
Tenemos x = π/4 + πn/2, n Є Z; de la segunda ecuación x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Como resultado, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Respuesta: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
La capacidad y habilidad para resolver ecuaciones trigonométricas es muy 
Es importante destacar que su desarrollo requiere un importante esfuerzo, tanto por parte del alumno como por parte del docente.
Muchos problemas de estereometría, física, etc. están asociados con la solución de ecuaciones trigonométricas. El proceso de resolución de dichos problemas incorpora muchos de los conocimientos y habilidades que se adquieren al estudiar los elementos de la trigonometría.
Las ecuaciones trigonométricas ocupan un lugar importante en el proceso de aprendizaje de las matemáticas y del desarrollo personal en general.
¿Aún tienes preguntas? ¿No sabes cómo resolver ecuaciones trigonométricas?
Para obtener ayuda de un tutor -.
¡La primera lección es gratis!
blog.site, al copiar material total o parcialmente, se requiere un enlace a la fuente original.
El curso en video “Obtén una A” incluye todos los temas necesarios para aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado de Matemáticas con 60-65 puntos. Completar todas las tareas 1-13 del Examen Estatal Unificado de Perfil en matemáticas. También apto para aprobar el Examen Estatal Unificado Básico de Matemáticas. Si quieres aprobar el Examen Estatal Unificado con 90-100 puntos, ¡debes resolver la parte 1 en 30 minutos y sin errores!
Curso de preparación para el Examen del Estado Unificado para los grados 10-11, así como para docentes. Todo lo que necesitas para resolver la Parte 1 del Examen Estatal Unificado de Matemáticas (los primeros 12 problemas) y el Problema 13 (trigonometría). Y esto son más de 70 puntos en el Examen Estatal Unificado, y ni un estudiante de 100 puntos ni un estudiante de humanidades pueden prescindir de ellos.
Toda la teoría necesaria. Soluciones rápidas, trampas y secretos del Examen Estatal Unificado. Se han analizado todas las tareas actuales de la parte 1 del Banco de tareas FIPI. El curso cumple plenamente con los requisitos del Examen Estatal Unificado 2018.
El curso contiene 5 grandes temas, de 2,5 horas cada uno. Cada tema se da desde cero, de forma sencilla y clara.
Cientos de tareas del Examen Estatal Unificado. Problemas verbales y teoría de la probabilidad. Algoritmos simples y fáciles de recordar para la resolución de problemas. Geometría. Teoría, material de referencia, análisis de todo tipo de tareas del Examen Estatal Unificado. Estereometría. Soluciones complicadas, trucos útiles, desarrollo de la imaginación espacial. Trigonometría desde cero hasta el problema 13. Comprender en lugar de abarrotar. Explicaciones claras de conceptos complejos. Álgebra. Raíces, potencias y logaritmos, función y derivada. Una base para resolver problemas complejos de la Parte 2 del Examen Estatal Unificado.