Definición 1. Superficie prismática
Teorema 1. En secciones paralelas de una superficie prismática
Definición 2. Sección perpendicular de una superficie prismática.
Definición 3. Prisma
Definición 4. Altura del prisma
Definición 5. Prisma recto
Teorema 2. El área de la superficie lateral del prisma.

Paralelepípedo:
Definición 6. Paralelepípedo
Teorema 3. En la intersección de las diagonales de un paralelepípedo
Definición 7. Paralelepípedo derecho
Definición 8. Paralelepípedo rectangular
Definición 9. Medidas de un paralelepípedo
Definición 10. Cubo
Definición 11. Romboedro
Teorema 4. En las diagonales de un paralelepípedo rectangular
Teorema 5. Volumen de un prisma
Teorema 6. Volumen de un prisma recto
Teorema 7. Volumen de un paralelepípedo rectangular

Prisma es un poliedro cuyas dos caras (bases) se encuentran en planos paralelos, y las aristas que no se encuentran en estas caras son paralelas entre sí.
Las caras distintas de las bases se llaman lateral.
Los lados de las caras laterales y de las bases se llaman costillas del prisma, los extremos de las aristas se llaman los vértices del prisma. Costillas laterales Se llaman aristas que no pertenecen a las bases. La unión de caras laterales se llama superficie lateral del prisma, y la unión de todas las caras se llama toda la superficie del prisma. altura del prisma llamada perpendicular caída desde el punto de la base superior al plano de la base inferior o la longitud de esta perpendicular. Prisma recto Se llama prisma cuyas nervaduras laterales son perpendiculares a los planos de las bases. Correcto llamado prisma recto (Fig. 3), en cuya base se encuentra un polígono regular.

Designaciones:
yo- costilla lateral;
P - perímetro de la base;
S o - área de base;
H - altura;
P^ - perímetro de la sección perpendicular;
S b - superficie lateral;
V - volumen;
S p es el área de la superficie total del prisma.

V=SH S p = S b + 2S o S b = P ^ l

Definición 1 . Una superficie prismática es una figura formada por partes de varios planos paralelos a una línea recta, limitada por aquellas líneas rectas a lo largo de las cuales estos planos se cortan sucesivamente*; estas rectas son paralelas entre sí y se llaman bordes de la superficie prismática.
*Se supone que cada dos planos sucesivos se cruzan y que el último plano corta al primero.

Teorema 1 . Las secciones de una superficie prismática por planos paralelos entre sí (pero no paralelos a sus bordes) son polígonos iguales.
Sean ABCDE y A"B"C"D"E" secciones de una superficie prismática por dos planos paralelos. Para comprobar que estos dos polígonos son iguales, basta demostrar que los triángulos ABC y A"B"C" son iguales y tienen el mismo sentido de rotación y que lo mismo vale para los triángulos ABD y A"B"D", ABE y A"B"E". Pero los lados correspondientes de estos triángulos son paralelos (por ejemplo, AC es paralelo a AC) como la línea de intersección de un determinado plano con dos planos paralelos; de ello se deduce que estos lados son iguales (por ejemplo, AC es igual a A"C"), como lados opuestos de un paralelogramo, y que los ángulos formados por estos lados son iguales y tienen la misma dirección.

Definición 2 . Una sección perpendicular de una superficie prismática es una sección de esta superficie por un plano perpendicular a sus bordes. Según el teorema anterior, todas las secciones perpendiculares de una misma superficie prismática serán polígonos iguales.

Definición 3 . Un prisma es un poliedro delimitado por una superficie prismática y dos planos paralelos entre sí (pero no paralelos a los bordes de la superficie prismática)
Las caras que se encuentran en estos últimos planos se llaman bases de prisma; caras pertenecientes a la superficie prismática - caras laterales; bordes de la superficie prismática - costillas laterales del prisma. En virtud del teorema anterior, la base del prisma es polígonos iguales. Todo caras laterales prismas - paralelogramos; todas las costillas laterales son iguales entre sí.
Obviamente, si se dan la base del prisma ABCDE y una de las aristas AA" en tamaño y dirección, entonces es posible construir un prisma dibujando las aristas BB", CC", ... iguales y paralelas a la arista AA" .

Definición 4 . La altura de un prisma es la distancia entre los planos de sus bases (HH").

Definición 5 . Un prisma se llama recto si sus bases son secciones perpendiculares de la superficie prismática. En este caso, la altura del prisma es, por supuesto, su costilla lateral; los bordes laterales serán rectángulos.
Los prismas se pueden clasificar según el número de caras laterales, numero igual lados del polígono que le sirve de base. Así, los prismas pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.

Teorema 2 . El área de la superficie lateral del prisma es igual al producto del borde lateral por el perímetro de la sección perpendicular.
Sea ABCDEA"B"C"D"E" un prisma dado y abbcde su sección perpendicular, de modo que los segmentos ab, bc, .. sean perpendiculares a sus aristas laterales. La cara ABA"B" es un paralelogramo; su área es igual al producto de la base AA" hasta una altura que coincide con ab; el área de la cara ВСВ "С" es igual al producto de la base ВВ" por la altura bc, etc. En consecuencia, superficie lateral(es decir, la suma de las áreas de las caras laterales) es igual al producto de la arista lateral, es decir, la longitud total de los segmentos AA", BB", .., por la suma ab+bc+cd +de+ea.

La base del prisma puede ser cualquier polígono: triángulo, cuadrilátero, etc. Ambas bases son absolutamente idénticas y, en consecuencia, las esquinas con las que se conectan los bordes paralelos entre sí son siempre paralelas. En la base de un prisma regular se encuentra un polígono regular, es decir, uno en el que todos los lados son iguales. En un prisma recto, las nervaduras entre las caras laterales son perpendiculares a la base. En este caso, la base de un prisma recto puede contener un polígono con cualquier número de ángulos. Un prisma cuya base es un paralelogramo se llama paralelepípedo. Rectángulo - caso especial paralelogramo. Si esta figura se encuentra en la base y las caras laterales están ubicadas en ángulo recto con la base, el paralelepípedo se llama rectangular. El segundo nombre de este cuerpo geométrico es rectangular.

Cómo se ve ella

Prismas rectangulares rodeados. hombre moderno bastante. Se trata, por ejemplo, de cartón normal para zapatos, componentes de ordenadores, etc. Mira alrededor. Incluso en una habitación probablemente verás muchos prismas rectangulares. Esto incluye una carcasa para computadora, una estantería, un refrigerador, un armario y muchos otros artículos. La forma es extremadamente popular principalmente porque le permite aprovechar al máximo su espacio, ya sea para decorar su interior o empacar cosas en cartón antes de mudarse.

Propiedades de un prisma rectangular

Un prisma rectangular tiene una serie de propiedades específicas. Cualquier par de caras puede servir como tal, ya que todas las caras adyacentes están ubicadas en el mismo ángulo entre sí, y este ángulo es de 90°. El volumen y la superficie de un prisma rectangular son más fáciles de calcular que cualquier otro. Toma cualquier objeto que tenga la forma de un prisma rectangular. Mide su largo, ancho y alto. Para encontrar el volumen, simplemente multiplica estas medidas. Es decir, la fórmula queda así: V=a*b*h, donde V es el volumen, a y b son los lados de la base, h es la altura que coincide con el borde lateral de este cuerpo geométrico. El área base se calcula usando la fórmula S1=a*b. Para la superficie lateral, primero debes calcular el perímetro de la base usando la fórmula P=2(a+b), y luego multiplicarlo por la altura. La fórmula resultante es S2=P*h=2(a+b)*h. Para calcular el área de superficie total de un prisma rectangular, suma el doble del área de la base y el área de la superficie lateral. La fórmula es S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Prisma. Paralelepípedo

Prisma es un poliedro cuyas dos caras son n-gonos iguales (bases) , que se encuentran en planos paralelos, y las n caras restantes son paralelogramos (caras laterales) . costilla lateral El lado de un prisma que no pertenece a la base se llama lado del prisma.

Un prisma cuyos bordes laterales son perpendiculares a los planos de las bases se llama derecho prisma (Fig. 1). Si los bordes laterales no son perpendiculares a los planos de las bases, entonces el prisma se llama inclinado . Correcto Un prisma es un prisma recto cuyas bases son polígonos regulares.

Altura prisma es la distancia entre los planos de las bases. Diagonal Un prisma es un segmento que conecta dos vértices que no pertenecen a la misma cara. sección diagonal Se llama sección de un prisma a un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara. sección perpendicular Se llama sección de un prisma por un plano perpendicular al borde lateral del prisma.

Superficie lateral de un prisma es la suma de las áreas de todas las caras laterales. Superficie total se llama suma de las áreas de todas las caras del prisma (es decir, la suma de las áreas de las caras laterales y las áreas de las bases).

Para un prisma arbitrario las siguientes fórmulas son verdaderas::

Dónde yo– longitud de la nervadura lateral;

h- altura;

PAG

q

lado S

S lleno

base S– área de las bases;

V– volumen del prisma.

Para un prisma recto las siguientes fórmulas son correctas:

Dónde pag– perímetro de la base;

yo– longitud de la nervadura lateral;

h- altura.

paralelepípedo Se llama prisma cuya base es un paralelogramo. Un paralelepípedo cuyos bordes laterales son perpendiculares a las bases se llama directo (Figura 2). Si los bordes laterales no son perpendiculares a las bases, entonces el paralelepípedo se llama inclinado . Un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo se llama rectangular. Un paralelepípedo rectangular con todas las aristas iguales se llama cubo

Las caras de un paralelepípedo que no tienen vértices comunes se llaman opuesto . Las longitudes de las aristas que emanan de un vértice se llaman mediciones paralelepípedo. Dado que un paralelepípedo es un prisma, sus elementos principales se definen de la misma manera que se definen para los prismas.

Teoremas.

1. Las diagonales de un paralelepípedo se cruzan en un punto y son atravesadas por él.

2. En un paralelepípedo rectangular, el cuadrado de la longitud de la diagonal igual a la suma cuadrados de sus tres dimensiones:

3. Las cuatro diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales entre sí.

Para un paralelepípedo arbitrario son válidas las siguientes fórmulas:

Dónde yo– longitud de la nervadura lateral;

h- altura;

PAG– perímetro de sección perpendicular;

q– Área de sección transversal perpendicular;

lado S– superficie lateral;

S lleno- superficie total;

base S– área de las bases;

V– volumen del prisma.

Para un paralelepípedo recto las siguientes fórmulas son correctas:

Dónde pag– perímetro de la base;

yo– longitud de la nervadura lateral;

h– altura de un paralelepípedo recto.

Para un paralelepípedo rectangular las siguientes fórmulas son correctas:

(3)

Dónde pag– perímetro de la base;

h- altura;

d– diagonal;

a B C– medidas de un paralelepípedo.

Las siguientes fórmulas son correctas para un cubo:

Dónde a– longitud de las costillas;

d- diagonal del cubo.

Ejemplo 1. La diagonal de un paralelepípedo rectangular es de 33 dm y sus dimensiones están en la proporción 2: 6: 9. Calcula las dimensiones del paralelepípedo.

Solución. Para encontrar las dimensiones del paralelepípedo utilizamos la fórmula (3), es decir por el hecho de que el cuadrado de la hipotenusa de un cuboide es igual a la suma de los cuadrados de sus dimensiones. Denotemos por k factor de proporcionalidad. Entonces las dimensiones del paralelepípedo serán iguales a 2. k, 6k y 9 k. Escribamos la fórmula (3) para los datos del problema:

Resolviendo esta ecuación para k, obtenemos:

Esto quiere decir que las dimensiones del paralelepípedo son 6 dm, 18 dm y 27 dm.

Respuesta: 6dm, 18dm, 27dm.

Ejemplo 2. Encuentra el volumen de un inclinado. prisma triangular, cuya base es un triángulo equilátero con un lado de 8 cm, si el borde lateral es igual al lado de la base y está inclinado en un ángulo de 60º con respecto a la base.

Solución . Hagamos un dibujo (Fig. 3).

Para encontrar el volumen de un prisma inclinado, necesitas saber el área de su base y su altura. El área de la base de este prisma es el área de un triángulo equilátero de 8 cm de lado Calculémoslo:

La altura de un prisma es la distancia entre sus bases. Desde la parte superior A 1 de la base superior, baje la perpendicular al plano de la base inferior A 1 D. Su longitud será la altura del prisma. Considere D A 1 ANUNCIO: ya que este es el ángulo de inclinación del borde lateral A 1 A al plano base, A 1 A= 8 cm. De este triángulo encontramos. A 1 D:

Ahora calculamos el volumen usando la fórmula (1):

Respuesta: 192cm3.

Ejemplo 3. El borde lateral de un prisma hexagonal regular mide 14 cm y el área de la sección diagonal más grande es 168 cm 2. Encuentra el área de superficie total del prisma.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig.4)

La sección diagonal más grande es un rectángulo. AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO. 1 DD 1 desde diagonal ANUNCIO hexágono regular A B C D E F es el más grande. Para calcular el área de la superficie lateral del prisma, es necesario conocer el lado de la base y la longitud del borde lateral.

Conociendo el área de la sección diagonal (rectángulo), encontramos la diagonal de la base.

Desde entonces

Desde entonces AB= 6 cm.

Entonces el perímetro de la base es:

Encontremos el área de la superficie lateral del prisma:

El área de un hexágono regular de 6 cm de lado es:

Encuentra el área de superficie total del prisma:

Respuesta:

Ejemplo 4. La base de un paralelepípedo recto es un rombo. Las áreas de las secciones transversales diagonales son 300 cm2 y 875 cm2. Encuentra el área de la superficie lateral del paralelepípedo.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 5).

Denotemos el lado del rombo por A, diagonales de un rombo d 1 y d 2, altura paralelepípedo h. Para encontrar el área de la superficie lateral de un paralelepípedo recto es necesario multiplicar el perímetro de la base por la altura: (fórmula (2)). Perímetro de la base p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, porque A B C D- rombo norte = aa 1 = h. Eso. Necesito encontrar A Y h.

Consideremos secciones diagonales. Automóvil club británico 1 SS 1 – un rectángulo, uno de cuyos lados es la diagonal de un rombo C.A. = d 1, segundo – borde lateral Automóvil club británico 1 = h, Entonces

Lo mismo para la sección CAMA Y DESAYUNO 1 DD 1 obtenemos:

Usando la propiedad de un paralelogramo tal que la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de todos sus lados, obtenemos la igualdad Obtenemos lo siguiente.

Los diferentes prismas son diferentes entre sí. Al mismo tiempo, tienen mucho en común. Para encontrar el área de la base del prisma, necesitarás entender de qué tipo es.

teoría general

Un prisma es cualquier poliedro cuyos lados tienen forma de paralelogramo. Además, su base puede ser cualquier poliedro, desde un triángulo hasta un n-gón. Además, las bases del prisma son siempre iguales entre sí. Lo que no se aplica a las caras laterales es que pueden variar significativamente de tamaño.

Al resolver problemas, no solo se encuentra el área de la base del prisma. Puede requerir conocimiento de la superficie lateral, es decir, de todas las caras que no son bases. La superficie completa será la unión de todas las caras que forman el prisma.

A veces los problemas tienen que ver con la altura. Es perpendicular a las bases. La diagonal de un poliedro es un segmento que conecta en pares dos vértices cualesquiera que no pertenecen a la misma cara.

Cabe señalar que el área de la base de un prisma recto o inclinado no depende del ángulo entre ellos y las caras laterales. Si tienen las mismas figuras en las caras superior e inferior, entonces sus áreas serán iguales.

Prisma triangular

Tiene en su base una figura de tres vértices, es decir, un triángulo. Como sabes, puede ser diferente. Si es así, basta recordar que su área está determinada por la mitad del producto de las piernas.

La notación matemática se ve así: S = ½ av.

Para averiguar el área de la base en vista general, las fórmulas serán útiles: Garza y ​​aquella en la que la mitad del lado se lleva a la altura que se le dibuja.

La primera fórmula debe escribirse de la siguiente manera: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Esta notación contiene un semiperímetro (p), es decir, la suma de tres lados dividida por dos.

Segundo: S = ½ n a * a.

Si quieres saber el área de la base de un prisma triangular, que es regular, entonces el triángulo resulta ser equilátero. Hay una fórmula para ello: S = ¼ a 2 * √3.

Prisma cuadrangular

Su base es cualquiera de los cuadriláteros conocidos. Puede ser un rectángulo o un cuadrado, un paralelepípedo o un rombo. En cada caso, para calcular el área de la base del prisma, necesitarás tu propia fórmula.

Si la base es un rectángulo, entonces su área se determina de la siguiente manera: S = ab, donde a, b son los lados del rectángulo.

Cuando estamos hablando acerca de sobre un prisma cuadrangular, entonces el área de la base de un prisma regular se calcula usando la fórmula de un cuadrado. Porque es él quien está en el fundamento. S = un 2.

En el caso de que la base sea un paralelepípedo, se necesitará la siguiente igualdad: S = a * n a. Sucede que se dan el lado de un paralelepípedo y uno de los ángulos. Luego, para calcular la altura, necesitarás usar una fórmula adicional: n a = b * sin A. Además, el ángulo A es adyacente al lado "b" y la altura n es opuesta a este ángulo.

Si hay un rombo en la base del prisma, para determinar su área necesitarás la misma fórmula que para un paralelogramo (ya que es un caso especial). Pero también puedes usar esto: S = ½ d 1 d 2. Aquí d 1 y d 2 son dos diagonales del rombo.

Prisma pentagonal regular

Este caso implica dividir el polígono en triángulos, cuyas áreas son más fáciles de encontrar. Aunque sucede que las figuras pueden tener diferente número de vértices.

Como la base del prisma es un pentágono regular, se puede dividir en cinco triángulos equiláteros. Entonces el área de la base del prisma es igual al área de uno de esos triángulos (la fórmula se puede ver arriba), multiplicada por cinco.

Prisma hexagonal regular

Utilizando el principio descrito para un prisma pentagonal, es posible dividir el hexágono de la base en 6 triángulos equiláteros. La fórmula para el área de la base de dicho prisma es similar a la anterior. Sólo hay que multiplicarlo por seis.

La fórmula quedará así: S = 3/2 a 2 * √3.

Tareas

No. 1. Dada una recta regular, su diagonal es de 22 cm, la altura del poliedro es de 14 cm Calcula el área de la base del prisma y toda la superficie.

Solución. La base del prisma es un cuadrado, pero se desconoce su lado. Puedes encontrar su valor a partir de la diagonal del cuadrado (x), que está relacionada con la diagonal del prisma (d) y su altura (h). x 2 = re 2 - norte 2. Por otro lado, este segmento “x” es la hipotenusa en un triángulo cuyos catetos son iguales al lado del cuadrado. Es decir, x 2 = a 2 + a 2. Así resulta que a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Sustituye el número 22 en lugar de d, y reemplaza “n” con su valor - 14, resulta que el lado del cuadrado mide 12 cm. Ahora solo encuentra el área de la base: 12 * 12 = 144 cm. 2.

Para saber el área de toda la superficie, debes sumar el doble del área de la base y cuadriplicar el área lateral. Este último se puede encontrar fácilmente usando la fórmula de un rectángulo: multiplica la altura del poliedro por el lado de la base. Es decir, 14 y 12, este número será igual a 168 cm 2. área total La superficie del prisma resulta ser de 960 cm 2.

Respuesta. El área de la base del prisma es 144 cm 2. La superficie total es de 960 cm 2.

No. 2. Dado En la base hay un triángulo con un lado de 6 cm. En este caso, la diagonal de la cara lateral es de 10 cm Calcula las áreas: la base y la superficie lateral.

Solución. Como el prisma es regular, su base es un triángulo equilátero. Por lo tanto, su área resulta ser igual a 6 al cuadrado, multiplicado por ¼ y la raíz cuadrada de 3. Un cálculo simple lleva al resultado: 9√3 cm 2. Ésta es el área de una base del prisma.

Todas las caras laterales son iguales y son rectángulos con lados de 6 y 10 cm. Para calcular sus áreas basta con multiplicar estos números. Luego multiplícalos por tres, porque el prisma tiene exactamente esa misma cantidad de caras laterales. Entonces el área de la superficie lateral de la herida resulta ser de 180 cm 2.

Respuesta.Áreas: base - 9√3 cm 2, superficie lateral del prisma - 180 cm 2.

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