Numero opuesto. Números opuestos, definición, ejemplos.

§ 1 El concepto de número positivo.

En esta lección aprenderás qué números se llaman opuestos, cómo encontrar el número opuesto y también qué son los números enteros y racionales.

Empecemos con trabajo practico. En la línea de coordenadas, marque los puntos A(2) y B(-2). Son simétricos y el centro de simetría de estos puntos es el origen de coordenadas O(0), ya que la distancia OA=OB.

Vemos que las coordenadas de puntos simétricos con respecto al origen son números que difieren sólo en el signo. Estos números se llaman opuestos.

Hay otra definición de números opuestos. ¿Cuáles son los valores absolutos de los números 2 y -2? Igual a 2. Por tanto, los números opuestos son números que tienen el mismo módulo, pero difieren en signo.

Para indicar el opuesto de un número determinado, utilice el signo menos, que se escribe delante del número dado. Es decir, el número opuesto de a se escribe como −a. Por ejemplo, el número 0,24 está opuesto al número −0,24, el número -25 es el número opuesto −(−25), pero el número -25 en la línea de coordenadas está opuesto a 25, lo que significa -(-25) = 25. De esto se deduce que -( -a) = a y a = -(-a).

§ 2 Propiedades de los números opuestos

Resaltemos algunas propiedades de los números opuestos.

El opuesto de un número positivo es negativo y el opuesto de un número negativo es positivo. Esto es comprensible, ya que los puntos de la línea de coordenadas correspondientes a números opuestos se encuentran en lados opuestos del origen.

Si el número a es opuesto al número b, entonces b es opuesto a a; esto se desprende de la propiedad de simetría de los puntos en la línea de coordenadas.

Pasemos a la línea de coordenadas. ¿Cuántos puntos se pueden marcar en una línea de coordenadas que sean simétricos al dado con respecto al origen? Sólo uno. Esto significa que para cada número sólo hay un número opuesto.

Solo un número es opuesto a sí mismo: este es el número 0, ya que 0 = -0 (por lo tanto, no es costumbre escribir -0).

Números con característica común Forman un conjunto (o grupo), cada conjunto tiene su propio nombre.

Recordemos que los números que utilizamos al contar se llaman números naturales; forman el conjunto de los números naturales.

Para cada número natural puedes encontrar su número opuesto. Enteros, sus números opuestos y el número 0 se llaman números enteros.

Puede ser positivo o negativo números fraccionarios. Todos los números enteros y todas las fracciones se llaman números racionales. También dicen que juntos forman un conjunto. numeros racionales.

Resaltemos dos grupos más de números. Tomemos una línea de coordenadas. Si eliminas la parte de la línea en la que se encuentran los números negativos, te quedará un rayo con numeros positivos y el número de referencia 0. Los números restantes se llaman no negativos, es decir, números mayores o iguales a 0. Por lo tanto, los números no positivos son todos números negativos y el número 0, es decir, números menores mayor o igual a 0.

Hoy aprendimos qué son los números opuestos, enteros, racionales, no negativos y no positivos, y aprendimos a encontrar el número opuesto de uno determinado.

Lista de literatura usada:

1. Matemáticas 6to grado: planes de lecciones para el libro de texto de I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich //autor-compilador L.A. Topilina. Mnemósine 2009
2. Matemáticas. 6to grado: libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matemáticas. 6to grado: libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhojov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
4. Manual de matemáticas - http://lyudmilanik.com.ua
5. Guía del estudiante para escuela secundaria http://shkolo.ru

En este artículo intentaremos descubrir qué son los números opuestos. Explicaremos qué son en general, mostraremos qué designaciones específicas se utilizan para ellos y veremos algunos ejemplos. En la última parte del material enumeraremos las principales propiedades de los números opuestos.

Para explicar el concepto mismo de opuestos, primero debemos representar una línea de coordenadas. Tomemos el punto M (pero no al comienzo de la cuenta regresiva). Su distancia a cero será igual a un cierto número de segmentos unitarios, que, a su vez, podrán dividirse en décimas y centésimas. Si medimos la misma distancia desde el origen en dirección opuesta a aquella en la que se encuentra M, entonces podemos llegar a otro punto similar. Llamémoslo N. Por ejemplo, de M a cero hay una distancia de 2,4 segmentos unitarios, y de N a cero es la misma. Echa un vistazo a la imagen:

Recordemos que a cada punto de una recta coordenada se le puede asociar un solo número real. En este caso, nuestros puntos M y N corresponden a ciertos números, que se denominan opuestos. Todo número tiene un opuesto, excepto el cero. Dado que este es el comienzo de la cuenta atrás, se considera lo contrario de sí mismo.

Anotemos la definición de qué son los números opuestos:

Definición 1

Opuesto Se llaman números que corresponden a aquellos puntos en la línea de coordenadas a los que llegaremos si marcamos la misma distancia desde el origen en diferentes direcciones (positivas y negativas). El cero está en el origen y es opuesto a sí mismo.

¿Cómo se indican los números opuestos?

En esta sección introduciremos la notación básica para dichos números. Si tenemos un número determinado y necesitamos escribir su opuesto, entonces usamos un signo menos para esto.

Ejemplo 1

Digamos que nuestro número es a, por lo tanto su opuesto es a (menos a). Exactamente de la misma manera, para 0,26 lo contrario es - 0,26, y para 145 será - 145. Si el número original en sí es negativo, por ejemplo, - 9, entonces escribimos lo contrario como – (- 9).

¿Qué otros ejemplos de números opuestos puedes dar? Tomemos los números enteros: 12 y - 12. Los números racionales opuestos son 3 2 11 y - 3 2 11, así como 8, 128 y − 8, 128, 0, (18901) y − 0, (18901), etc. Los números irracionales también pueden ser opuestos, por ejemplo, Los valores expresiones numéricas 2+1 y - 2+1.

Opuesto Numeros irracionales también lo harán e y - e .

Propiedades básicas de los números opuestos.

Estos números tienen ciertas propiedades. A continuación le daremos una lista de ellos con explicaciones.

Definición 2

1. Si el número original es positivo, entonces su opuesto será negativo.

Esta afirmación es obvia y se desprende del gráfico anterior: dichos números están ubicados en lados opuestos de la línea de referencia. Si has olvidado los conceptos de positivo y números negativos, mira el material que publicamos anteriormente.

De esta regla se puede deducir otra afirmación muy importante. En forma literal, su notación se ve así: para cualquier a positiva será verdadera − (− a) = a. Demostremos con un ejemplo por qué esto es importante.

Tomemos el número 5. Usando la línea de coordenadas, puedes ver que el número opuesto es 5 y viceversa. Usando la notación que indicamos anteriormente, escribimos el número opuesto - 5 como – (- 5) . Resulta que – (- 5) = 5. De ahí la conclusión: los números opuestos se diferencian entre sí sólo por la presencia de un signo menos.

2. La siguiente propiedad suele denominarse propiedad de simetría. También se puede derivar de la propia definición de números opuestos. Suena así:

Definición 3

Si algún número a es opuesto a b, entonces b es opuesto a a.

Evidentemente, esta afirmación no necesita pruebas adicionales.

3. La tercera propiedad de los números opuestos dice:

Definición 4

Todo número real tiene sólo un número opuesto.

Esta afirmación se deriva del hecho de que los puntos en una línea de coordenadas no pueden corresponder a muchos números a la vez.

Definición 5

4. Los módulos de números opuestos son iguales.

Esto se desprende de la definición del módulo. Es lógico que los puntos de una recta correspondientes a números opuestos estén a la misma distancia del punto de referencia.

Definición 6

5. Si sumamos números opuestos, obtenemos 0.

Literalmente, esta afirmación parece a + (− a) = 0.

Ejemplo 2

A continuación se muestran ejemplos de dichos cálculos:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Como puede ver, esta regla funciona para todos los números: enteros, racionales, irracionales, etc.

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Interesante concepto de curso escolar aprendizaje son números opuestos, que pueden considerarse tanto matemática como geométricamente. Comprender este tema simplifica el estudio de las matemáticas y le permite resolver rápidamente algunos problemas; por lo tanto, veremos qué números se llaman opuestos y qué reglas funcionan para ellos.

¿Cuál es la esencia del término?

Para entender el significado de los números opuestos, recurramos a la geometría por un momento. Dibujemos una línea de coordenadas y marquemos el punto cero en ella, y luego coloquemos dos marcas más en la línea, por ejemplo, "2" en el lado derecho y "-2" en el lado izquierdo del cero. Por supuesto, desde ambos puntos la distancia al origen será exactamente la misma, y ​​esto se puede verificar fácilmente mediante mediciones. "2" y "-2" están a la misma distancia de cero, pero en diferentes direcciones; en consecuencia, son completamente opuestos entre sí.

Ese es el punto. Los números pueden ser tan grandes o pequeños como se desee, enteros o fraccionarios. Sin embargo, cada uno de ellos tiene un número determinado que conforma su todo lo contrario. La definición se puede dar de la siguiente manera: si en una línea recta las coordenadas de dos puntos ubicados a cada lado del cero se pueden trasladar al origen igual distancia- estos puntos, o mejor dicho, los números correspondientes a ellos, serán opuestos.

¿Qué reglas se pueden derivar de la definición?

Vale la pena recordar algunas afirmaciones absolutas sobre el tema en consideración:

• El principio de opuestos para dos números funciona en ambos sentidos. Por ejemplo, el número 3 es opuesto al número -3 y, por lo tanto, sólo el número 3 es opuesto al número -3, y ningún otro.
• Un número no puede tener dos opuestos: siempre hay uno solo.
• Los números pueden ser opuestos entre sí. diferentes signos. Si un número es positivo, entonces su número opuesto tendrá un signo menos; por ejemplo, 5 y -5. Lo mismo funciona en la dirección opuesta: para un número con un signo menos, el opuesto siempre será el que tiene un signo más, por ejemplo, -6 y 6.
• Dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto o módulo. En otras palabras, si para el número 4

En este artículo exploraremos números opuestos. Aquí responderemos la pregunta de qué números se llaman opuestos, mostraremos cómo se designa el opuesto de un número dado y daremos ejemplos. También enumeraremos los principales resultados característicos de los números opuestos.

Navegación de páginas.

Determinar números opuestos

Nos ayudará a hacernos una idea de los números opuestos.

Marquemos algún punto M en la recta de coordenadas, diferente del origen. Podemos llegar al punto M colocando secuencialmente un segmento unitario desde el origen en la dirección del punto M, así como sus partes décima, centésima, etc. Si trazamos el mismo número de segmentos unitarios y sus partes en la dirección opuesta, llegaremos a otro punto, denotado por la letra N. Pongamos un ejemplo para ilustrar nuestras acciones (ver figura a continuación). Para llegar al punto M en la recta de coordenadas, despedimos dos segmentos unitarios y 4 segmentos, que constituyen una décima parte de una unidad, en el sentido negativo. Ahora pongamos dos segmentos unitarios y 4 segmentos, que constituyen una décima parte de una unidad, en el sentido positivo. Esto nos dará el punto N.

Ya casi estamos listos para entender la definición de números opuestos; sólo queda discutir un par de matices.

Sabemos que cada punto de la recta coordenada corresponde a un único número real, por lo tanto, tanto el punto M como el punto N corresponden a algunos números reales. Entonces los números correspondientes a los puntos M y N se llaman opuestos.

Por separado, es necesario decir sobre el punto O: el origen. El punto O corresponde al número 0. Se considera que el número cero es lo opuesto a sí mismo.

Ahora podemos expresar determinar números opuestos.

Definición.

Dos números se llaman opuestos si los puntos en la línea de coordenadas correspondientes a estos números se pueden alcanzar desviándose del origen en direcciones opuestas el mismo número de segmentos unitarios, así como fracciones de un segmento unitario, el número 0 es opuesto a sí mismo.

Notación de números opuestos y ejemplos.

es hora de entrar símbolos de números opuestos.

Para indicar el opuesto de un número determinado, utilice el signo menos, que se escribe delante del número dado. Es decir, el número opuesto al número a se escribe como −a. Por ejemplo, el número opuesto 0,24 es −0,24 y el número opuesto −25 es −(−25).

vamos a dar ejemplos de números opuestos. El par de números 17 y −17 (o −17 y 17) es un ejemplo de números enteros opuestos. Los números y son números racionales opuestos. Otros ejemplos de números racionales opuestos son los pares de números 5,126 y −5,126. así como 0,(1201) y −0,(1201) . Queda por dar algunos ejemplos de lo contrario.

Lo opuesto a ti mismo.

Contrario de la realidad

De la definición numero opuesto debería

$norte"\; =\; -norte$

Por tanto, los números opuestos tienen la misma magnitud, pero signos opuestos. Según esto, lo opuesto al número $norte$ denotar $-norte$.

Formas de números complejos	Número $(z)$	Opuesto $(-z)$
Algebraico	$x+iy$	$-x-iy$
Trigonométrico	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$-r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Indicativo	$re^(i\backslash varphi)$	$-re^(i\backslash varphi)$

Lo opuesto a la unidad imaginaria

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Así, obtenemos

$-i\; =\; \backslash frac(1)(i)$ __ o__ $-yo\; =\; yo^(-1)$

Lo mismo para $-i$: __ $yo\; =\; -\; \backslash frac(1)(i)$ __ o __ $yo\; =\; -yo^(-1)$

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Notas

ver también

Extracto que caracteriza el número opuesto.

“En los prados, ah... ¡en los prados!...” - lo escuchó silbidos y ruidos metálicos, a veces ahogados por los gritos de las voces. El oficial se sintió alegre en el alma por estos sonidos, pero al mismo tiempo temía ser el culpable de no transmitir la importante orden que se le había confiado durante tanto tiempo. Ya eran las nueve. Desmontó de su caballo y entró en el porche y el vestíbulo de una gran casa señorial intacta, situada entre los rusos y los franceses. En la despensa y en el pasillo los lacayos trajinaban con vinos y platos. Había cancioneros debajo de las ventanas. El oficial fue conducido a través de la puerta y de repente vio a todos los generales más importantes del ejército juntos, incluida la figura grande y notable de Ermolov. Todos los generales vestían levitas desabrochadas, tenían las caras rojas y animadas y reían a carcajadas, formando un semicírculo. En medio de la sala, un general apuesto y bajo con la cara roja estaba haciendo una paliza con habilidad y destreza.
- ¡Jajaja! ¡Oh, sí, Nikolai Ivanovich! ¡jajaja!..
El oficial sintió que al entrar en ese momento con una orden importante era doblemente culpable y quiso esperar; pero uno de los generales lo vio y, al saber para qué servía, se lo contó a Ermolov. Ermolov, con el ceño fruncido, se acercó al oficial y, después de escucharlo, le quitó el papel sin decirle nada.
- ¿Crees que se fue por accidente? - le dijo un compañero de estado mayor a un oficial de caballería sobre Ermolov esa noche. - Son cosas, todo es intencionado. Lleva a Konovnitsyn a llevar. ¡Mira, qué desastre será mañana!

Al día siguiente, temprano en la mañana, el decrépito Kutuzov se levantó, oró a Dios, se vistió y, con la desagradable conciencia de que tenía que librar una batalla que no aprobaba, se subió a un carruaje y salió de Letashevka. , cinco millas detrás de Tarutin, hasta el lugar donde se debían reunir las columnas que avanzaban. Kutuzov cabalgó, se quedó dormido y se despertó y escuchó para ver si había algún disparo por la derecha, si las cosas empezaban. Pero todo seguía en silencio. Apenas comenzaba el amanecer de un día húmedo y nublado de otoño. Al acercarse a Tarutin, Kutuzov notó que los soldados de caballería llevaban a sus caballos al agua a través del camino por el que circulaba el carruaje. Kutuzov los miró más de cerca, detuvo el carruaje y preguntó qué regimiento. Los soldados de caballería pertenecían a la columna que debería haber estado muy por delante en la emboscada. “Quizás sea un error”, pensó el viejo comandante en jefe. Pero, habiendo conducido aún más lejos, Kutuzov vio regimientos de infantería, armas en sus caballetes, soldados con gachas y leña, en calzoncillos. Se llamó a un oficial. El oficial informó que no había orden de moverse.
"¿Cómo no pudiste?", comenzó Kutuzov, pero inmediatamente guardó silencio y ordenó que llamaran al oficial superior. Después de bajarse del carruaje, con la cabeza gacha y respirando pesadamente, esperando en silencio, caminó de un lado a otro. Cuando apareció el oficial solicitado Staff general Eichen, Kutuzov se puso morado, no porque este oficial fuera culpable de un error, sino porque era un sujeto digno para expresar su ira. Y, temblando, jadeando, un hombre viejo, habiendo alcanzado ese estado de ira en el que podía entrar cuando yacía enojado en el suelo, atacó a Eichen, amenazándolo con las manos, gritando y maldiciendo con palabras vulgares. Otro que apareció, el capitán Brozin, que era inocente de todo, corrió la misma suerte.
- ¿Qué clase de sinvergüenza es este? ¡Dispara a los sinvergüenzas! – gritó con voz ronca, agitando los brazos y tambaleándose. Tenía dolor físico. Él, el comandante en jefe, el más ilustre, a quien todo el mundo asegura que nunca nadie ha tenido en Rusia tanto poder como él, es puesto en esta situación: ridiculizado delante de todo el ejército. “¡En vano me molesté tanto en orar por este día, en vano no dormí por la noche y pensé en todo! - pensó en sí mismo. “Cuando era oficial, cuando era niño, nadie se habría atrevido a burlarse de mí de esa manera... ¡Pero ahora!” Experimentó sufrimiento físico, como por castigo corporal, y no pudo evitar expresarlo con gritos enojados y dolorosos; pero pronto sus fuerzas se debilitaron y él, mirando a su alrededor, sintiendo que había dicho muchas cosas malas, se subió al carruaje y regresó en silencio.