Dominio de definición de funciones. Ejemplos

descubrimos que hay X- un conjunto en el que tiene sentido la fórmula que define la función. En el análisis matemático, este conjunto a menudo se denota como D (dominio de una función ). A su vez, muchos Y denotado como mi (rango de funciones ) y donde D Y mi llamados subconjuntos R(conjunto de números reales).

Si una función se define mediante una fórmula, entonces, en ausencia de reservas especiales, se considera que el dominio de su definición es el conjunto más grande en el que esta fórmula tiene sentido, es decir, el conjunto más grande de valores de argumentos que conduce a valores reales de la función . En otras palabras, el conjunto de valores de argumentos sobre los cuales funciona la “función”.

Para una comprensión general, el ejemplo aún no tiene una fórmula. La función se especifica como pares de relaciones:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Encuentre el dominio de definición de estas funciones.

Respuesta. El primer elemento del par es una variable. X. Dado que la especificación de la función también contiene los segundos elementos de los pares: los valores de la variable y, entonces la función tiene sentido sólo para aquellos valores de X que corresponden a un determinado valor de Y. Es decir, tomamos todas las X de estos pares en orden ascendente y obtenemos de ellas el dominio de definición de la función:

{2, 4, 5, 6, 7} .

La misma lógica funciona si la función viene dada por una fórmula. Sólo los segundos elementos en pares (es decir, los valores de i) se obtienen sustituyendo ciertos valores de x en la fórmula. Sin embargo, para encontrar el dominio de una función, no es necesario recorrer todos los pares de X e Y.

Ejemplo 0.¿Cómo encontrar el dominio de definición de la función i es igual a la raíz cuadrada de x menos cinco (expresión radical x menos cinco) ()? Solo necesitas resolver la desigualdad.

X - 5 ≥ 0 ,

ya que para que podamos obtener el valor real del juego, la expresión radical debe ser mayor o igual a cero. Obtenemos la solución: el dominio de definición de la función son todos los valores de x mayores o iguales a cinco (o x pertenece al intervalo desde cinco inclusive hasta más infinito).

En el dibujo de arriba hay un fragmento del eje numérico. En él, la región de definición de la función considerada está sombreada, mientras que en la dirección "más" el sombreado continúa indefinidamente junto con el propio eje.

Si utiliza programas de computadora que producen una respuesta basada en los datos ingresados, puede notar que para algunos valores de los datos ingresados ​​el programa muestra un mensaje de error, es decir, que la respuesta no se puede calcular con dichos datos. Dicho mensaje lo proporcionan los autores del programa si la expresión para calcular la respuesta es bastante compleja o se refiere a un área temática específica, o lo proporcionan los autores del lenguaje de programación si se trata de normas generalmente aceptadas, por ejemplo, que no se puede dividir por cero.

Pero en ambos casos, la respuesta (el valor de alguna expresión) no se puede calcular porque la expresión no tiene sentido para algunos valores de datos.

Un ejemplo (aún no del todo matemático): si el programa muestra el nombre del mes según el número del mes del año, al ingresar "15" recibirá un mensaje de error.

La mayoría de las veces, la expresión que se calcula es solo una función. Por lo tanto no son valores válidos los datos no están incluidos dominio de una función . Y en los cálculos manuales, es igualmente importante representar el dominio de una función. Por ejemplo, calculas un determinado parámetro de un determinado producto utilizando una fórmula que es una función. Para algunos valores del argumento de entrada, no obtendrá nada en la salida.

Dominio de definición de una constante.

Constante (constante) definida para cualquier valor real X R numeros reales. Esto también se puede escribir así: el dominio de definición de esta función es la recta numérica completa ]- ∞; + ∞[ .

Ejemplo 1. Encuentra el dominio de una función. y = 2 .

Solución. No se indica el dominio de definición de la función, lo que significa que, en virtud de la definición anterior, se entiende el dominio natural de definición. Expresión F(X) = 2 definido para cualquier valor real X, por lo tanto, esta función está definida en todo el conjunto R numeros reales.

Por lo tanto, en el dibujo de arriba, la recta numérica está sombreada desde menos infinito hasta más infinito.

Área de definición de raíz norte grado

En el caso de que la función esté dada por la fórmula y norte- número natural:

Ejemplo 2. Encuentra el dominio de una función. .

Solución. Como se desprende de la definición, una raíz de grado par tiene sentido si la expresión radical no es negativa, es decir, si - 1 ≤ X≤ 1. Por tanto, el dominio de definición de esta función es [- 1; 1] .

El área sombreada de la recta numérica en el dibujo de arriba es el dominio de definición de esta función.

Dominio de la función de potencia.

Dominio de una función de potencia con exponente entero.

Si a- positivo, entonces el dominio de definición de la función es el conjunto de todos los números reales, es decir ]- ∞; + ∞[ ;

Si a- negativo, entonces el dominio de definición de la función es el conjunto ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , es decir, toda la recta numérica excepto cero.

En el dibujo correspondiente de arriba, toda la recta numérica está sombreada y el punto correspondiente al cero está perforado (no está incluido en el dominio de definición de la función).

Ejemplo 3. Encuentra el dominio de una función. .

Solución. Primer periodo grado completo x es igual a 3, y el grado de x en el segundo término se puede representar como uno, también un número entero. En consecuencia, el dominio de definición de esta función es la recta numérica completa, es decir ]- ∞; + ∞[ .

Dominio de una función de potencia con exponente fraccionario

En el caso de que la función esté dada por la fórmula:

si es positivo, entonces el dominio de definición de la función es el conjunto 0; + ∞[ .

Ejemplo 4. Encuentra el dominio de una función. .

Solución. Ambos términos en la expresión de la función son funciones potencia con exponentes fraccionarios positivos. En consecuencia, el dominio de definición de esta función es el conjunto - ∞; + ∞[ .

Dominio de funciones exponenciales y logarítmicas.

Dominio de la función exponencial

En el caso de que una función esté dada por una fórmula, el dominio de definición de la función es la recta numérica completa, es decir ] - ∞; + ∞[ .

Dominio de la función logarítmica

La función logarítmica se define siempre que su argumento sea positivo, es decir, su dominio de definición es el conjunto ]0; + ∞[ .

Encuentra el dominio de la función tú mismo y luego mira la solución.

Dominio de funciones trigonométricas

Dominio de funciones y= porque( X) - también muchos R numeros reales.

Dominio de funciones y= tg( X) - un montón de R números reales distintos de los números .

Dominio de funciones y= ctg( X) - un montón de R números reales, excepto números.

Ejemplo 8. Encuentra el dominio de una función. .

Solución. Función externa - logaritmo decimal y el dominio de su definición está sujeto a las condiciones del dominio de definición de la función logarítmica en general. Es decir, su argumento debe ser positivo. El argumento aquí es el seno de "x". Al girar un compás imaginario alrededor de un círculo, vemos que la condición pecado X> Se viola 0 cuando "x" es igual a cero, "pi", dos, multiplicado por "pi" y en general igual al producto pi y cualquier número entero par o impar.

Por tanto, el dominio de definición de esta función viene dado por la expresión

,

Dónde k- un número entero.

Dominio de definición de funciones trigonométricas inversas.

Dominio de funciones y= arcosen( X) - serie 1; 1] .

Dominio de funciones y= arccos( X) - también el conjunto [-1; 1] .

Dominio de funciones y= arctán( X) - un montón de R numeros reales.

Dominio de funciones y= arcctg( X) - también muchos R numeros reales.

Ejemplo 9. Encuentra el dominio de una función. .

Solución. Resolvamos la desigualdad:

Así, obtenemos el dominio de definición de esta función: el segmento [- 4; 4] .

Ejemplo 10. Encuentra el dominio de una función. .

Solución. Resolvamos dos desigualdades:

Solución a la primera desigualdad:

Solución a la segunda desigualdad:

Así, obtenemos el dominio de definición de esta función: el segmento.

Alcance de la fracción

Si una función está dada por una expresión fraccionaria en la que la variable está en el denominador de la fracción, entonces el dominio de definición de la función es el conjunto R números reales, excepto estos X, en el que el denominador de la fracción se vuelve cero.

Ejemplo 11. Encuentra el dominio de una función. .

Solución. Resolviendo la igualdad del denominador de la fracción a cero, encontramos el dominio de definición de esta función: el conjunto ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Función y=f(x) es una dependencia de la variable y de la variable x, cuando cada valor válido de la variable x corresponde a un único valor de la variable y.

Dominio de definición de funciones D(f) es el conjunto de todos los valores posibles de la variable x.

Rango de funciones E(f) es el conjunto de todos los valores admisibles de la variable y.

Gráfica de una función y=f(x) es un conjunto de puntos en el plano cuyas coordenadas satisfacen una dependencia funcional dada, es decir, puntos de la forma M (x; f(x)). La gráfica de una función es una determinada recta en un plano.

Si b=0, entonces la función tomará la forma y=kx y será llamada proporcionalidad directa.

D(f) : x \en R;\enspace E(f) : y \en R

La gráfica de una función lineal es una línea recta.

La pendiente k de la recta y=kx+b se calcula mediante la siguiente fórmula:

k= tan \alpha, donde \alpha es el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto a la dirección positiva del eje Ox.

1) La función aumenta monótonamente para k > 0.

Por ejemplo: y=x+1

2) La función disminuye monótonamente cuando k< 0 .

Por ejemplo: y=-x+1

3) Si k=0, entonces dando b valores arbitrarios, obtenemos una familia de rectas paralelas al eje Ox.

Por ejemplo: y=-1

Proporcionalidad inversa

Proporcionalidad inversa llamada función de la forma y=\frac (k)(x), donde k es un número real distinto de cero

D(f) : x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \in \left \(R/y \neq 0 \right \).

Gráfico de funciones y=\frac (k)(x) es una hipérbole.

1) Si k > 0, entonces la gráfica de la función se ubicará en el primer y tercer cuarto del plano coordenado.

Por ejemplo: y=\frac(1)(x)

2) Si k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Por ejemplo: y=-\frac(1)(x)

Función de potencia

Función de potencia es una función de la forma y=x^n, donde n es un número real distinto de cero

1) Si n=2, entonces y=x^2. D(f) : x \en R; \: E(f) : y \en; periodo principal de la función T=2 \pi

Primero, aprendamos cómo encontrar dominio de definición de la suma de funciones. Está claro que dicha función tiene sentido para todos los valores de la variable para los cuales todas las funciones que componen la suma tienen sentido. Por tanto, no hay duda sobre la validez de la siguiente afirmación:

Si la función f es la suma de n funciones f 1, f 2,…, f n, es decir, la función f viene dada por la fórmula y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ), entonces el dominio de definición de la función f es la intersección de los dominios de definición de las funciones f 1, f 2, ..., f n. Escribamos esto como .

Aceptemos seguir utilizando entradas similares a la anterior, es decir, escritas entre llaves, o el cumplimiento simultáneo de cualquier condición. Esto es conveniente y, naturalmente, resuena con el significado de los sistemas.

Ejemplo.

Se da la función y=x 7 +x+5+tgx y necesitamos encontrar su dominio de definición.

Solución.

La función f está representada por la suma de cuatro funciones: f 1 - función potencia con exponente 7, f 2 - función potencia con exponente 1, f 3 - función constante y f 4 - función tangente.

Mirando la tabla de dominios de definición de funciones elementales básicas, encontramos que D(f 1)=(−∞, +∞), D(f 2)=(−∞, +∞), D(f 3)= (−∞, +∞), y el dominio de definición de la tangente es el conjunto de todos los números reales excepto los números .

El dominio de definición de la función f es la intersección de los dominios de definición de las funciones f 1, f 2, f 3 y f 4. Es bastante obvio que este es el conjunto de todos los números reales, a excepción de los números .

Respuesta:

el conjunto de todos los números reales excepto .

Pasemos a encontrar dominio de definición de un producto de funciones. Para este caso se aplica una regla similar:

Si la función f es producto de n funciones f 1, f 2, ..., f n, es decir, la función f viene dada por la fórmula y=f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), entonces el dominio de definición de la función f es la intersección de los dominios de definición de las funciones f 1, f 2, ..., f n. Entonces, .

Esto es comprensible, en el área indicada se definen todas las funciones del producto y, por tanto, la propia función f.

Ejemplo.

Y=3·arctgx·lnx .

Solución.

La estructura del lado derecho de la fórmula que define la función se puede considerar como f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x), donde f 1 es una función constante, f 2 es la función arcotangente y f 3 es una función logarítmica con base e.

Sabemos que D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) y D(f 3)=(0, +∞) . Entonces .

Respuesta:

El dominio de definición de la función y=3·arctgx·lnx es el conjunto de todos los números reales positivos.

Centrémonos por separado en encontrar el dominio de definición de una función dada por la fórmula y=C·f(x), donde C es algún número real. Es fácil demostrar que el dominio de definición de esta función y el dominio de definición de la función f coinciden. De hecho, la función y=C·f(x) es el producto de una función constante y una función f. El dominio de una función constante es el conjunto de todos los números reales y el dominio de una función f es D(f). Entonces el dominio de definición de la función y=C f(x) es , que es lo que había que mostrar.

Entonces, los dominios de definición de las funciones y=f(x) e y=C·f(x), donde C es algún número real, coinciden. Por ejemplo, el dominio de la raíz es , queda claro que D(f) es el conjunto de todos los x del dominio de la función f 2 para los cuales f 2 (x) está incluido en el dominio de la función f 1.

De este modo, dominio de definición de una función compleja y=f 1 (f 2 (x)) es la intersección de dos conjuntos: el conjunto de todos los x que x∈D(f 2) y el conjunto de todos los x para los cuales f 2 (x)∈D(f 1). Es decir, en la notación que hemos adoptado (Esto es esencialmente un sistema de desigualdades).

Veamos algunas soluciones de ejemplo. No describiremos el proceso en detalle, ya que está más allá del alcance de este artículo.

Ejemplo.

Encuentra el dominio de definición de la función y=lnx 2 .

Solución.

La función original se puede representar como y=f 1 (f 2 (x)), donde f 1 es un logaritmo con base e y f 2 es una función potencia con exponente 2.

Pasando a los dominios conocidos de definición de las principales funciones elementales, tenemos D(f 1)=(0, +∞) y D(f 2)=(−∞, +∞) .

Entonces

Entonces encontramos el dominio de definición de la función que necesitábamos, es el conjunto de todos los números reales excepto el cero.

Respuesta:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Ejemplo.

¿Cuál es el dominio de una función? ?

Solución.

Esta función es compleja, se puede considerar como y=f 1 (f 2 (x)), donde f 1 es una función potencia con exponente y f 2 es la función arcoseno, y necesitamos encontrar su dominio de definición.

Veamos lo que sabemos: D(f 1)=(0, +∞) y D(f 2)=[−1, 1] . Queda por encontrar la intersección de conjuntos de valores x tales que x∈D(f 2) y f 2 (x)∈D(f 1) :

Para arcsinx>0, recuerde las propiedades de la función arcoseno. El arcoseno aumenta en todo el dominio de definición [−1, 1] y llega a cero en x=0, por lo tanto, arcsenx>0 para cualquier x del intervalo (0, 1] .

Volvamos al sistema:

Por tanto, el dominio requerido para la definición de la función es el medio intervalo (0, 1].

Respuesta:

(0, 1] .

Ahora pasemos a funciones complejas. vista general y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . El dominio de definición de la función f en este caso se encuentra como .

Ejemplo.

Encuentra el dominio de una función. .

Solución.

Una función compleja dada se puede escribir como y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), donde f 1 – sin, f 2 – función raíz de cuarto grado, f 3 – log.

Sabemos que D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=.

Finalmente, si se da una combinación de diferentes funciones, entonces el dominio de definición es la intersección de los dominios de definición de todas estas funciones. Por ejemplo, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+log(x−6). Primero, encuentre el dominio de definición de todos los términos. Sin(2*x) se define en toda la recta numérica. Para la función x/√(x+2), resuelve la desigualdad x+2>0 y el dominio de definición será (-2; +∞). El dominio de definición de la función arcsin(x−6) viene dado por la doble desigualdad -1≤x-6≤1, es decir, se obtiene el segmento. Para el logaritmo, se cumple la desigualdad x−6>0, y este es el intervalo (6; +∞). Así, el dominio de definición de la función será el conjunto (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), es decir, (6; 7].

Vídeo sobre el tema.

Fuentes:

• dominio de una función con logaritmo

Una función es un concepto que refleja la relación entre elementos de conjuntos, o en otras palabras, es una "ley" según la cual cada elemento de un conjunto (llamado dominio de definición) está asociado con algún elemento de otro conjunto (llamado el dominio de los valores).

Cada función tiene dos variables: una variable independiente y una variable dependiente, cuyos valores dependen de los valores de la variable independiente. Por ejemplo, en la función y = F(X) = 2X + y La variable independiente es "x" y la variable dependiente es "y" (en otras palabras, "y" es una función de "x"). Los valores válidos de la variable independiente "x" se denominan dominio de la función y los valores válidos de la variable dependiente "y" se denominan dominio de la función.

Pasos

Parte 1

Encontrar el dominio de una función

Determine el tipo de función que se le asigna. El rango de valores de la función son todos los valores "x" válidos (dispuestos a lo largo del eje horizontal), que corresponden a valores "y" válidos. La función puede ser cuadrática o contener fracciones o raíces. Para encontrar el dominio de una función, primero debes determinar el tipo de función.

1. Seleccione la entrada adecuada para el alcance de la función. El alcance de la definición está escrito en cuadrados y/o paréntesis. El corchete se utiliza cuando el valor está dentro del alcance de la función; si el valor no está dentro del alcance de la definición, se utiliza un paréntesis. Si una función tiene varios dominios no adyacentes, se coloca un símbolo "U" entre ellos.

   • Por ejemplo, el alcance de [-2,10)U(10,2] incluye los valores -2 y 2, pero no incluye el valor 10.

2. Grafica la función cuadrática. La gráfica de dicha función es una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba o hacia abajo. Dado que la parábola aumenta o disminuye a lo largo de todo el eje X, el dominio de definición de la función cuadrática son todos los números reales. En otras palabras, el dominio de dicha función es el conjunto R (R representa todos los números reales).

   • Para comprender mejor el concepto de función, seleccione cualquier valor de "x", sustitúyalo en la función y encuentre el valor de "y". Un par de valores “x” e “y” representan un punto con coordenadas (x,y) que se encuentra en la gráfica de la función.
   • Traza este punto en el plano de coordenadas y haz el mismo proceso con un valor de x diferente.
   • Al trazar varios puntos en el plano de coordenadas, obtendrá una idea general de la forma de la gráfica de la función.

3. Si la función contiene una fracción, establezca su denominador en cero. Recuerda que no puedes dividir por cero. Por lo tanto, al establecer el denominador en cero, encontrará valores de "x" que no están dentro del dominio de la función.

   • Por ejemplo, encuentre el dominio de la función f(x) = (x + 1) / (x - 1).
   • Aquí el denominador es: (x - 1).
   • Iguala el denominador a cero y encuentra “x”: x - 1 = 0; x = 1.
   • Escribe el dominio de la función. El dominio de definición no incluye 1, es decir, incluye todos los números reales excepto 1. Así, el dominio de definición de la función es: (-∞,1) U (1,∞).
   • La notación (-∞,1) U (1,∞) se lee así: el conjunto de todos los números reales excepto 1. El símbolo de infinito ∞ significa todos los números reales. En nuestro ejemplo, todos los números reales mayores que 1 y menores que 1 están incluidos en el dominio.

4. Si la función contiene Raíz cuadrada, entonces la expresión radical debe ser mayor o igual a cero. Recuerda que la raíz cuadrada de números negativos no extraído. Por lo tanto, cualquier valor de “x” en el que la expresión radical se vuelva negativa debe excluirse del dominio de definición de la función.

   • Por ejemplo, encuentre el dominio de la función f(x) = √(x + 3).
   • Expresión radical: (x + 3).
   • La expresión radical debe ser mayor o igual a cero: (x + 3) ≥ 0.
   • Encuentre "x": x ≥ -3.
   • El dominio de esta función incluye el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a -3. Por tanto, el dominio de definición es [-3,∞).

   Parte 2

   Encontrar el rango de una función cuadrática

   1. Asegúrate de tener una función cuadrática. La función cuadrática tiene la forma: ax 2 + bx + c: f(x) = 2x 2 + 3x + 4. La gráfica de dicha función es una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba o hacia abajo. Existir varios métodos encontrar el rango de valores de una función cuadrática.

      • La forma más sencilla de encontrar el rango de una función que contiene una raíz o una fracción es graficar la función usando una calculadora gráfica.

   2. Encuentra la coordenada x del vértice de la gráfica de la función. Para una función cuadrática, encuentra la coordenada x del vértice de la parábola. Recuerda que la función cuadrática es: ax 2 + bx + c. Para calcular la coordenada x, use la siguiente ecuación: x = -b/2a. Esta ecuación es una derivada de la función cuadrática básica y describe una tangente cuya pendiente es cero (la tangente al vértice de la parábola es paralela al eje X).

      • Por ejemplo, encuentra el rango de la función 3x 2 + 6x -2.
      • Calcula la coordenada x del vértice de la parábola: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1

   3. Encuentra la coordenada y del vértice de la gráfica de funciones. Para hacer esto, sustituya la coordenada "x" encontrada en la función. La coordenada deseada “y” representa el valor límite del rango de función.

      • Calcula la coordenada y: y = 3x 2 + 6x – 2 = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = -5
      • Las coordenadas del vértice de la parábola de esta función son (-1,-5).

   4. Determine la dirección de la parábola ingresando al menos un valor de x en la función. Elija cualquier otro valor de x y conéctelo a la función para calcular el valor de y correspondiente. Si el valor "y" encontrado es mayor que la coordenada "y" del vértice de la parábola, entonces la parábola está dirigida hacia arriba. Si el valor "y" encontrado es menor que la coordenada "y" del vértice de la parábola, entonces la parábola está dirigida hacia abajo.

      • Sustituye en la función x = -2: y = 3x 2 + 6x – 2 = y = 3(-2) 2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
      • Coordenadas de un punto que se encuentra en la parábola: (-2,-2).
      • Las coordenadas encontradas indican que las ramas de la parábola están dirigidas hacia arriba. Así, el rango de la función incluye todos los valores de "y" que sean mayores o iguales a -5.
      • Rango de valores de esta función: [-5, ∞)

   5. El dominio de una función se escribe de manera similar al dominio de una función. El corchete se utiliza cuando el valor está dentro del rango de la función; si el valor no está dentro del rango, se utiliza un paréntesis. Si una función tiene varios rangos de valores no adyacentes, se coloca un símbolo "U" entre ellos.

      • Por ejemplo, el rango [-2,10)U(10,2] incluye los valores -2 y 2, pero no incluye el valor 10.
      • Con el símbolo de infinito ∞ siempre se utilizan paréntesis.