Todo escolar sabe que la hipotenusa es siempre el cuadrado. igual a la suma patas, cada una de las cuales está cuadrada. Este enunciado se llama teorema de Pitágoras. Es uno de los teoremas más famosos de la trigonometría y de las matemáticas en general. Echemos un vistazo más de cerca.

El concepto de triángulo rectángulo.

Antes de pasar a considerar el teorema de Pitágoras, en el que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos que están al cuadrado, debemos considerar el concepto y las propiedades de un triángulo rectángulo para el cual el teorema es válido.

Un triángulo es una figura plana con tres ángulos y tres lados. Un triángulo rectángulo, como su nombre indica, tiene un ángulo recto, es decir, este ángulo es igual a 90º.

De propiedades generales para todos los triángulos se sabe que la suma de los tres ángulos de esta figura es 180 o, lo que significa que para un triángulo rectángulo, la suma de dos ángulos que no son rectos es 180 o - 90 o = 90 o. El último hecho significa que cualquier ángulo en triángulo rectángulo, que no es directo, siempre será inferior a 90º.

El lado que está en contra ángulo recto, generalmente se llama hipotenusa. Los otros dos lados son los catetos del triángulo, pueden ser iguales entre sí o pueden ser diferentes. Por trigonometría sabemos que cuanto mayor es el ángulo contra el cual se encuentra un lado de un triángulo, mayor es la longitud de ese lado. Esto significa que en un triángulo rectángulo la hipotenusa (se encuentra frente al ángulo de 90 o) siempre será mayor que cualquiera de los catetos (se encuentra frente a los ángulos< 90 o).

Notación matemática del teorema de Pitágoras

Este teorema establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos, cada uno de los cuales está previamente elevado al cuadrado. Para escribir esta formulación matemáticamente, considere un triángulo rectángulo en el que los lados a, b y c son los dos catetos y la hipotenusa, respectivamente. En este caso, el teorema, que se formula como el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, se puede representar mediante la siguiente fórmula: c 2 = a 2 + b 2. De aquí se pueden obtener otras fórmulas importantes para la práctica: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) y c = √(a 2 + b 2).

Tenga en cuenta que en el caso de un triángulo equilátero rectángulo, es decir, a = b, la formulación: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos, cada uno de los cuales está al cuadrado, se escribirá matemáticamente de la siguiente manera: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, lo que implica la igualdad: c = a√2.

Referencia histórica

El teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos, cada uno de los cuales está al cuadrado, se conocía mucho antes del famoso filósofo griego. Muchos papiros Antiguo Egipto, así como las tablillas de arcilla de los babilonios confirman que estos pueblos utilizaban la propiedad señalada de los lados de un triángulo rectángulo. Por ejemplo, una de las primeras pirámides egipcias, la pirámide de Kefrén, cuya construcción se remonta al siglo 26 a. C. (2000 años antes de la vida de Pitágoras), se construyó basándose en el conocimiento de la relación de aspecto en un triángulo rectángulo 3x4x5. .

¿Por qué entonces el teorema lleva ahora el nombre griego? La respuesta es sencilla: Pitágoras es el primero en demostrar matemáticamente este teorema. Las fuentes escritas babilónicas y egipcias que se conservan sólo hablan de su uso, pero no aportan ninguna prueba matemática.

Se cree que Pitágoras demostró el teorema en cuestión utilizando las propiedades de triángulos semejantes, que obtuvo trazando la altura de un triángulo rectángulo en un ángulo de 90º con respecto a la hipotenusa.

Un ejemplo de uso del teorema de Pitágoras.

Consideremos Tarea simple: es necesario determinar la longitud de la escalera inclinada L, si se sabe que tiene una altura H = 3 metros, y la distancia desde la pared contra la que apoya la escalera hasta su pie es P = 2,5 metros.

En este caso, H y P son los catetos y L es la hipotenusa. Dado que la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, obtenemos: L 2 = H 2 + P 2, de donde L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2 ) = 3,905 metros o 3 m y 90,5 cm.

Teorema de pitágoras: Suma de áreas de cuadrados que descansan sobre catetos ( a Y b), igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa ( C).

Formulación geométrica:

El teorema se formuló originalmente de la siguiente manera:

Formulación algebraica:

Es decir, denotar la longitud de la hipotenusa del triángulo por C, y las longitudes de las piernas a través de a Y b :

a 2 + b 2 = C 2

Ambas formulaciones del teorema son equivalentes, pero la segunda formulación es más elemental y no requiere el concepto de área. Es decir, la segunda afirmación se puede verificar sin saber nada sobre el área y midiendo sólo las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

Teorema de Pitágoras inverso:

Prueba

En este momento En la literatura científica se han registrado 367 demostraciones de este teorema. Probablemente el teorema de Pitágoras sea el único teorema con un número tan impresionante de demostraciones. Esta diversidad sólo puede explicarse por la importancia fundamental del teorema para la geometría.

Por supuesto, conceptualmente todos ellos se pueden dividir en un pequeño número de clases. Las más famosas: pruebas por el método de áreas, pruebas axiomáticas y exóticas (por ejemplo, mediante ecuaciones diferenciales).

A través de triángulos semejantes

La siguiente prueba de la formulación algebraica es la más simple de las pruebas, construida directamente a partir de los axiomas. En particular, no utiliza el concepto de área de una figura.

Dejar A B C hay un triangulo rectángulo con un ángulo recto C. Dibujemos la altura de C y denotamos su base por h. Triángulo ACH similar a un triangulo A B C en dos esquinas. Asimismo, el triángulo CBH similar A B C. Introduciendo la notación

obtenemos

que es equivalente

Sumandolo obtenemos

Pruebas utilizando el método del área.

Las pruebas siguientes, a pesar de su aparente simplicidad, no lo son en absoluto. Todos utilizan propiedades del área, cuya demostración es más compleja que la del propio teorema de Pitágoras.

Prueba vía equicomplementaria

1. Organicemos cuatro triángulos rectángulos iguales como se muestra en la Figura 1.
2. Cuadrilátero con lados C es un cuadrado, ya que la suma de dos ángulos agudos es 90° y el ángulo llano es 180°.
3. El área de toda la figura es igual, por un lado, al área de un cuadrado de lado (a + b), y por otro lado, a la suma de las áreas de cuatro triángulos y dos internos. cuadrícula.

Q.E.D.

Pruebas por equivalencia

Prueba elegante usando permutación

Un ejemplo de una de esas pruebas se muestra en el dibujo de la derecha, donde un cuadrado construido sobre la hipotenusa se reorganiza en dos cuadrados construidos sobre los lados.

La prueba de Euclides

Dibujo para la prueba de Euclides

Ilustración para la prueba de Euclides.

La idea de la prueba de Euclides es la siguiente: intentemos demostrar que la mitad del área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las medias áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, y luego las áreas de los cuadrados grandes y dos pequeños son iguales.

Miremos el dibujo de la izquierda. En él construimos cuadrados en los lados de un triángulo rectángulo y dibujamos un rayo s desde el vértice del ángulo recto C perpendicular a la hipotenusa AB, que corta el cuadrado ABIK, construido sobre la hipotenusa, en dos rectángulos: BHJI y HAKJ, respectivamente. Resulta que las áreas de estos rectángulos son exactamente iguales a las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos correspondientes.

Intentemos demostrar que el área del cuadrado DECA es igual al área del rectángulo AHJK. Para ello usaremos una observación auxiliar: El área de un triángulo con la misma altura y base que. el rectángulo dado es igual a la mitad del área del rectángulo dado. Esto es consecuencia de definir el área de un triángulo como la mitad del producto de la base por la altura. De esta observación se deduce que el área del triángulo ACK es igual al área del triángulo AHK (no mostrado en la figura), que a su vez es igual a la mitad del área del rectángulo AHJK.

Demostremos ahora que el área del triángulo ACK también es igual a la mitad del área del cuadrado DECA. Lo único que hay que hacer para esto es demostrar la igualdad de los triángulos ACK y BDA (ya que el área del triángulo BDA es igual a la mitad del área del cuadrado según la propiedad anterior). Esta igualdad es obvia, los triángulos son iguales en ambos lados y el ángulo entre ellos. Es decir - AB=AK,AD=AC - la igualdad de los ángulos CAK y BAD es fácil de demostrar mediante el método del movimiento: giramos el triángulo CAK 90° en el sentido contrario a las agujas del reloj, entonces es obvio que los lados correspondientes de los dos triángulos en La pregunta coincidirá (debido a que el ángulo en el vértice del cuadrado es de 90°).

El razonamiento para la igualdad de las áreas del cuadrado BCFG y del rectángulo BHJI es completamente similar.

Así, demostramos que el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa se compone de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. La idea detrás de esta prueba se ilustra con más detalle en la animación anterior.

Prueba de Leonardo da Vinci

Prueba de Leonardo da Vinci

Los elementos principales de la prueba son la simetría y el movimiento.

Consideremos el dibujo, como se puede ver por la simetría, un segmento. CI corta el cuadrado ABhj en dos partes idénticas (ya que los triángulos ABC Y jhI igual en construcción). Usando una rotación de 90 grados en sentido antihorario, vemos la igualdad de las figuras sombreadas. CAjI Y GRAMODAB . Ahora queda claro que el área de la figura que hemos sombreado es igual a la suma de la mitad de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos y el área del triángulo original. Por otro lado, es igual a la mitad del área del cuadrado construido sobre la hipotenusa, más el área del triángulo original. El último paso de la prueba queda en manos del lector.

Prueba por el método infinitesimal

La siguiente demostración mediante ecuaciones diferenciales se atribuye a menudo al famoso matemático inglés Hardy, que vivió en la primera mitad del siglo XX.

Mirando el dibujo que se muestra en la figura y observando el cambio de lado. a, podemos escribir la siguiente relación para incrementos laterales infinitesimales Con Y a(usando similitud de triángulos):

Prueba por el método infinitesimal

Usando el método de separación de variables, encontramos

Una expresión más general para el cambio en la hipotenusa en el caso de incrementos en ambos lados.

Integrando esta ecuación y usando condiciones iniciales, obtenemos

C 2 = a 2 + b 2 + constante.

Llegamos así a la respuesta deseada.

C 2 = a 2 + b 2 .

Como es fácil ver, la dependencia cuadrática en la fórmula final aparece debido a la proporcionalidad lineal entre los lados del triángulo y los incrementos, mientras que la suma está asociada con contribuciones independientes del incremento de diferentes catetos.

Se puede obtener una prueba más sencilla si asumimos que uno de los catetos no experimenta un incremento (en este caso, el cateto b). Entonces para la constante de integración obtenemos

Variaciones y generalizaciones.

• Si en lugar de cuadrados construimos otras figuras similares en los lados, entonces la siguiente generalización del teorema de Pitágoras es cierta: En un triángulo rectángulo, la suma de las áreas de figuras semejantes construidas sobre los lados es igual al área de la figura construida sobre la hipotenusa. En particular:
  • La suma de las áreas de triángulos regulares construidos sobre los catetos es igual al área de un triángulo regular construido sobre la hipotenusa.
  • La suma de las áreas de los semicírculos construidos sobre los catetos (así como el diámetro) es igual al área del semicírculo construido sobre la hipotenusa. Este ejemplo se utiliza para demostrar las propiedades de figuras delimitadas por arcos de dos círculos y llamadas lúnulas hipocráticas.

Historia

Chu-pei 500-200 a.C. A la izquierda está la inscripción: la suma de los cuadrados de las longitudes de la altura y la base es el cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

El antiguo libro chino del que habla Chu-pei triángulo pitagórico con lados 3, 4 y 5: En el mismo libro se propone un dibujo que coincide con uno de los dibujos de la geometría hindú de Bashara.

Cantor (el mayor historiador alemán de las matemáticas) cree que la igualdad 3² + 4² = 5² ya era conocida por los egipcios alrededor del 2300 a.C. e., durante la época del rey Amenemhet I (según el papiro 6619 del Museo de Berlín). Según Cantor, los harpedonaptes, o "tiradores de cuerdas", construían ángulos rectos utilizando triángulos rectángulos con lados de 3, 4 y 5.

Es muy fácil reproducir su método de construcción. Tomemos una cuerda de 12 m de largo y le atemos una tira de color a una distancia de 3 m. de un extremo y a 4 metros del otro. El ángulo recto quedará encerrado entre lados de 3 y 4 metros de largo. A los Harpedonaptios se les podría objetar que su método de construcción se vuelve superfluo si se utiliza, por ejemplo, una escuadra de madera, que utilizan todos los carpinteros. De hecho, se conocen dibujos egipcios en los que se encuentra dicha herramienta, por ejemplo, dibujos que representan el taller de un carpintero.

Se sabe algo más sobre el teorema de Pitágoras entre los babilonios. En un texto que se remonta a la época de Hammurabi, es decir, al año 2000 a.C. e., se da un cálculo aproximado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo. De esto podemos concluir que en Mesopotamia se podían realizar cálculos con triángulos rectángulos, al menos en algunos casos. Basándose, por un lado, en el nivel actual de conocimientos sobre las matemáticas egipcias y babilónicas, y por otro, en un estudio crítico de las fuentes griegas, Van der Waerden (matemático holandés) llegó a la siguiente conclusión:

Literatura

En ruso

• Skopets Z. A. Miniaturas geométricas. M., 1990
• Elensky Shch. Tras los pasos de Pitágoras. Moscú, 1961.
• Van der Waerden B.L. Despertar la ciencia. Matemáticas del Antiguo Egipto, Babilonia y Grecia. Moscú, 1959.
• Glazer G.I. Historia de las matemáticas en la escuela. M., 1982
• W. Litzman, “El teorema de Pitágoras” M., 1960.
  • Un sitio sobre el teorema de Pitágoras con una gran cantidad de demostraciones, material tomado del libro de V. Litzmann, una gran cantidad de dibujos se presentan en forma de archivos gráficos separados.
• El teorema de Pitágoras y el capítulo triple de Pitágoras del libro de D. V. Anosov "Una mirada a las matemáticas y algo de ellas"
• Sobre el teorema de Pitágoras y los métodos para demostrarlo G. Glaser, académico de la Academia Rusa de Educación, Moscú

En Inglés

• Teorema de Pitágoras en WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, sección sobre el teorema de Pitágoras, alrededor de 70 pruebas y amplia información adicional (inglés)

Fundación Wikimedia. 2010.

(según papiro 6619 del Museo de Berlín). Según Cantor, los harpedonaptes, o “tiradores de cuerdas”, construían ángulos rectos utilizando triángulos rectángulos con lados de 3, 4 y 5.

Es muy fácil reproducir su método de construcción. Tomemos una cuerda de 12 m de largo y le atemos una tira de color a una distancia de 3 m de un extremo y 4 metros del otro. El ángulo recto tendrá entre lados 3 y 4 metros de largo. A los Harpedonaptios se les podría objetar que su método de construcción se vuelve superfluo si se utiliza, por ejemplo, una escuadra de madera, que utilizan todos los carpinteros. De hecho, se conocen dibujos egipcios en los que se encuentra dicha herramienta, por ejemplo, dibujos que representan un taller de carpintería.

Se sabe algo más sobre el teorema de Pitágoras entre los babilonios. En un texto que se remonta a la época de Hammurabi, es decir, al año 2000 a.C. mi. , se da un cálculo aproximado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo. De esto podemos concluir que en Mesopotamia se podían realizar cálculos con triángulos rectángulos, al menos en algunos casos. Basándose, por un lado, en el nivel actual de conocimiento sobre las matemáticas egipcias y babilónicas, y por otro, en un estudio crítico de fuentes griegas, Van der Waerden (un matemático holandés) concluyó que existe una alta probabilidad de que El teorema del cuadrado de la hipotenusa ya se conocía en la India alrededor del siglo XVIII a.C. mi.

Alrededor del 400 a.C. Antes de Cristo, según Proclo, Platón dio un método para encontrar tripletes pitagóricos, combinando álgebra y geometría. Alrededor del 300 a.C. mi. La prueba axiomática más antigua del teorema de Pitágoras apareció en los Elementos de Euclides.

Formulaciones

Formulación geométrica:

El teorema se formuló originalmente de la siguiente manera:

Formulación algebraica:

Es decir, denotar la longitud de la hipotenusa del triángulo por , y las longitudes de los catetos por y :

Ambas formulaciones del teorema son equivalentes, pero la segunda formulación es más elemental y no requiere el concepto de área. Es decir, la segunda afirmación se puede verificar sin saber nada sobre el área y midiendo sólo las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

Teorema de Pitágoras inverso:

Prueba

Hasta el momento, en la literatura científica se han registrado 367 demostraciones de este teorema. Probablemente el teorema de Pitágoras sea el único teorema con un número tan impresionante de demostraciones. Esta diversidad sólo puede explicarse por la importancia fundamental del teorema para la geometría.

Por supuesto, conceptualmente todos ellos se pueden dividir en un pequeño número de clases. Las más famosas: pruebas por el método de áreas, pruebas axiomáticas y exóticas (por ejemplo, mediante ecuaciones diferenciales).

A través de triángulos semejantes

La siguiente prueba de la formulación algebraica es la más simple de las pruebas, construida directamente a partir de los axiomas. En particular, no utiliza el concepto de área de una figura.

Dejar A B C hay un triangulo rectángulo con un ángulo recto C. Dibujemos la altura de C y denotamos su base por h. Triángulo ACH similar a un triangulo A B C en dos esquinas. Asimismo, el triángulo CBH similar A B C. Introduciendo la notación

obtenemos

que es equivalente

Sumandolo obtenemos

, que es lo que había que demostrar

Pruebas utilizando el método del área.

Las pruebas siguientes, a pesar de su aparente simplicidad, no lo son en absoluto. Todos utilizan propiedades del área, cuya demostración es más compleja que la del propio teorema de Pitágoras.

Prueba vía equicomplementaria

1. Organicemos cuatro triángulos rectángulos iguales como se muestra en la Figura 1.
2. Cuadrilátero con lados C es un cuadrado, ya que la suma de dos ángulos agudos es 90° y el ángulo llano es 180°.
3. El área de toda la figura es igual, por un lado, al área de un cuadrado de lado (a + b), y por otro lado, a la suma de las áreas de los cuatro triángulos y el Área de la plaza interior.

Q.E.D.

La prueba de Euclides

La idea de la prueba de Euclides es la siguiente: intentemos demostrar que la mitad del área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las medias áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, y luego las áreas de los cuadrados grandes y dos pequeños son iguales.

Miremos el dibujo de la izquierda. En él construimos cuadrados en los lados de un triángulo rectángulo y dibujamos un rayo s desde el vértice del ángulo recto C perpendicular a la hipotenusa AB, que corta el cuadrado ABIK, construido sobre la hipotenusa, en dos rectángulos: BHJI y HAKJ, respectivamente. Resulta que las áreas de estos rectángulos son exactamente iguales a las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos correspondientes.

Intentemos demostrar que el área del cuadrado DECA es igual al área del rectángulo AHJK. Para ello usaremos una observación auxiliar: El área de un triángulo con la misma altura y base que. el rectángulo dado es igual a la mitad del área del rectángulo dado. Esto es consecuencia de definir el área de un triángulo como la mitad del producto de la base por la altura. De esta observación se deduce que el área del triángulo ACK es igual al área del triángulo AHK (no mostrado en la figura), que a su vez es igual a la mitad del área del rectángulo AHJK.

Demostremos ahora que el área del triángulo ACK también es igual a la mitad del área del cuadrado DECA. Lo único que hay que hacer para esto es demostrar la igualdad de los triángulos ACK y BDA (ya que el área del triángulo BDA es igual a la mitad del área del cuadrado según la propiedad anterior). Esta igualdad es obvia: los triángulos son iguales en ambos lados y el ángulo entre ellos. Es decir - AB=AK, AD=AC - la igualdad de los ángulos CAK y BAD es fácil de demostrar mediante el método del movimiento: rotamos el triángulo CAK 90° en el sentido contrario a las agujas del reloj, entonces es obvio que los lados correspondientes de los dos triángulos en La pregunta coincidirá (debido a que el ángulo en el vértice del cuadrado es de 90°).

El razonamiento para la igualdad de las áreas del cuadrado BCFG y del rectángulo BHJI es completamente similar.

Así, demostramos que el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa se compone de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. La idea detrás de esta prueba se ilustra con más detalle en la animación anterior.

Prueba de Leonardo da Vinci

Los elementos principales de la prueba son la simetría y el movimiento.

Consideremos el dibujo, como se puede ver en la simetría, el segmento corta el cuadrado en dos partes idénticas (ya que los triángulos son iguales en construcción).

Usando una rotación de 90 grados en sentido antihorario alrededor del punto, vemos la igualdad de las figuras sombreadas y.

Ahora queda claro que el área de la figura que hemos sombreado es igual a la suma de la mitad de las áreas de los cuadrados pequeños (construidos sobre los catetos) y el área del triángulo original. Por otro lado, es igual a la mitad del área del cuadrado grande (construido sobre la hipotenusa) más el área del triángulo original. Así, la mitad de la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual a la mitad del área del cuadrado grande y, por tanto, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre los hipotenusa.

Prueba por el método infinitesimal

La siguiente demostración mediante ecuaciones diferenciales se atribuye a menudo al famoso matemático inglés Hardy, que vivió en la primera mitad del siglo XX.

Mirando el dibujo que se muestra en la figura y observando el cambio de lado. a, podemos escribir la siguiente relación para incrementos laterales infinitesimales Con Y a(usando similitud de triángulos):

Usando el método de separación de variables, encontramos

Una expresión más general para el cambio en la hipotenusa en el caso de incrementos en ambos lados.

Integrando esta ecuación y usando las condiciones iniciales, obtenemos

Llegamos así a la respuesta deseada.

Como es fácil ver, la dependencia cuadrática en la fórmula final aparece debido a la proporcionalidad lineal entre los lados del triángulo y los incrementos, mientras que la suma está asociada con contribuciones independientes del incremento de diferentes catetos.

Se puede obtener una prueba más sencilla si asumimos que uno de los catetos no experimenta un incremento (en este caso el cateto). Entonces para la constante de integración obtenemos

Variaciones y generalizaciones.

Formas geométricas similares en tres lados.

Generalización para triángulos semejantes, área de las formas verdes A + B = área de la azul C

Teorema de Pitágoras usando triángulos rectángulos semejantes

Euclides generalizó el teorema de Pitágoras en su obra. Principios, expandiendo las áreas de los cuadrados de los lados a áreas de similar formas geométricas :

Si construimos figuras geométricas similares (ver geometría euclidiana) en los lados de un triángulo rectángulo, entonces la suma de las dos figuras más pequeñas será igual al área de la figura más grande.

La idea principal de esta generalización es que el área de tal figura geométrica es proporcional al cuadrado de cualquiera de sus dimensiones lineales y, en particular, al cuadrado de la longitud de cualquier lado. Por lo tanto, para figuras similares con áreas A, B Y C construido en lados con longitud a, b Y C, tenemos:

Pero, según el teorema de Pitágoras, a 2 + b 2 = C 2 entonces A + B = C.

Por el contrario, si podemos demostrar que A + B = C para tres figuras geométricas similares sin usar el teorema de Pitágoras, entonces podemos probar el teorema mismo, moviéndonos en la dirección opuesta. Por ejemplo, el triángulo central inicial se puede reutilizar como triángulo. C en la hipotenusa y dos triángulos rectángulos semejantes ( A Y B), construido sobre los otros dos lados, que se forman dividiendo el triángulo central por su altura. La suma de las áreas de los dos triángulos más pequeños es obviamente igual al área del tercero, por lo tanto A + B = C y, realizando la demostración anterior en orden inverso, obtenemos el teorema de Pitágoras a 2 + b 2 = c 2 .

Teorema del coseno

El teorema de Pitágoras es caso especial un teorema más general de los cosenos, que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo arbitrario:

donde θ es el ángulo entre los lados a Y b.

Si θ es de 90 grados entonces cos θ = 0 y la fórmula se simplifica al teorema de Pitágoras habitual.

Triángulo libre

A cualquier esquina seleccionada de un triángulo arbitrario con lados a B C inscribe un triángulo isósceles de tal manera que ángulos iguales en su base θ era igual al ángulo seleccionado. Supongamos que el ángulo seleccionado θ se encuentra opuesto al lado designado C. Como resultado, obtuvimos el triángulo ABD con un ángulo θ, que se encuentra opuesto al lado a y fiestas r. El segundo triángulo está formado por el ángulo θ, que se encuentra opuesto al lado b y fiestas Con longitud s, como se muestra en la imagen. Thabit Ibn Qurra argumentó que los lados de estos tres triángulos están relacionados de la siguiente manera:

A medida que el ángulo θ se acerca a π/2, la base del triángulo isósceles se vuelve más pequeña y los dos lados r y s se superponen cada vez menos. Cuando θ = π/2, ADB se convierte en un triángulo rectángulo, r + s = C y obtenemos el teorema de Pitágoras inicial.

Consideremos uno de los argumentos. El triángulo ABC tiene los mismos ángulos que el triángulo ABD, pero en orden inverso. (Los dos triángulos tienen un ángulo común en el vértice B, ambos tienen un ángulo θ y también tienen el mismo tercer ángulo, basado en la suma de los ángulos del triángulo) En consecuencia, ABC es similar a la reflexión ABD del triángulo DBA, como se muestra en la figura inferior. Anotemos la relación entre los lados opuestos y los adyacentes al ángulo θ,

También un reflejo de otro triángulo,

Multipliquemos las fracciones y sumemos estas dos razones:

Q.E.D.

Generalización para triángulos arbitrarios mediante paralelogramos.

Generalización para triángulos arbitrarios,
Area verde parcela = área azul

Prueba de la tesis de que en la figura anterior

Hagamos una generalización adicional para triángulos no rectángulos usando paralelogramos en tres lados en lugar de cuadrados. (Los cuadrados son un caso especial). La figura superior demuestra que para triángulo agudo El área del paralelogramo del lado largo es igual a la suma de los paralelogramos de los otros dos lados, siempre que el paralelogramo del lado largo se construya como se muestra en la figura (las dimensiones marcadas por las flechas son las mismas y determine los lados del paralelogramo inferior). Esta sustitución de cuadrados por paralelogramos guarda un claro parecido con el teorema inicial de Pitágoras, que se cree que fue formulado por Pappus de Alejandría en el año 4 d.C. mi.

La figura inferior muestra el progreso de la prueba. Miremos el lado izquierdo del triángulo. El paralelogramo verde izquierdo tiene la misma área que el lado izquierdo del paralelogramo azul porque tienen la misma base. b y altura h. Además, el paralelogramo verde izquierdo tiene la misma área que el paralelogramo verde izquierdo en la imagen superior porque comparten una base común (el lado superior izquierdo del triángulo) y altura total, perpendicular a este lado del triángulo. Usando un razonamiento similar para el lado derecho del triángulo, demostraremos que el paralelogramo inferior tiene la misma área que los dos paralelogramos verdes.

Números complejos

El teorema de Pitágoras se utiliza para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas cartesiano y este teorema es válido para todas las coordenadas verdaderas: distancia s entre dos puntos ( a, b) Y ( cd) es igual

No hay problemas con la fórmula si los números complejos se tratan como vectores con componentes reales X + yo y = (X, y). . Por ejemplo, distancia s entre 0 + 1 i y 1 + 0 i calculado como el módulo del vector (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), o

Sin embargo, para operaciones con vectores de coordenadas complejas, es necesario realizar algunas mejoras a la fórmula pitagórica. Distancia entre puntos con números complejos ( a, b) Y ( C, d); a, b, C, Y d todo complejo, lo formulamos usando valores absolutos. Distancia s basado en la diferencia de vectores (a − C, b − d) de la siguiente forma: deja la diferencia a − C = pag+yo q, Dónde pag- parte real de la diferencia, q es la parte imaginaria, y i = √(−1). De la misma manera, dejemos b − d = r+yo s. Entonces:

¿Dónde está el número complejo conjugado de ? Por ejemplo, la distancia entre puntos. (a, b) = (0, 1) Y (C, d) = (i, 0) , calculemos la diferencia (a − C, b − d) = (−i, 1) y el resultado sería 0 si no se utilizaran conjugados complejos. Por lo tanto, usando la fórmula mejorada, obtenemos

El módulo se define de la siguiente manera:

Estereometría

Una generalización significativa del teorema de Pitágoras para el espacio tridimensional es el teorema de De Goy, que lleva el nombre de J.-P. de Gois: si un tetraedro tiene un ángulo recto (como en un cubo), entonces el cuadrado del área de la cara opuesta al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de las otras tres caras. Esta conclusión se puede resumir como " norte-Teorema de Pitágoras dimensional":

Teorema de pitágoras espacio tridimensional conecta la diagonal AD con tres lados.

Otra generalización: el teorema de Pitágoras se puede aplicar a la estereometría de la siguiente forma. Considere un paralelepípedo rectangular como se muestra en la figura. Encontremos la longitud de la diagonal BD usando el teorema de Pitágoras:

donde los tres lados forman un triángulo rectángulo. Usamos la diagonal horizontal BD y el borde vertical AB para encontrar la longitud de la diagonal AD, para esto usamos nuevamente el teorema de Pitágoras:

o, si escribimos todo en una ecuación:

Este resultado es una expresión tridimensional para determinar la magnitud del vector. v(diagonal AD), expresada en términos de sus componentes perpendiculares ( v k ) (tres lados mutuamente perpendiculares):

Esta ecuación puede considerarse como una generalización del teorema de Pitágoras para el espacio multidimensional. Sin embargo, el resultado en realidad no es más que la aplicación repetida del teorema de Pitágoras a una secuencia de triángulos rectángulos en planos sucesivamente perpendiculares.

Espacio vectorial

En el caso de un sistema ortogonal de vectores, existe una igualdad, que también se llama teorema de Pitágoras:

Si estas son proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas, entonces esta fórmula coincide con la distancia euclidiana y significa que la longitud del vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

El análogo de esta igualdad en el caso de un sistema infinito de vectores se llama igualdad de Parseval.

Geometría no euclidiana

El teorema de Pitágoras se deriva de los axiomas de la geometría euclidiana y, de hecho, no es válido para la geometría no euclidiana, en la forma en que está escrito anteriormente. (Es decir, el teorema de Pitágoras resulta ser una especie de equivalente al postulado de paralelismo de Euclides). En otras palabras, en geometría no euclidiana la relación entre los lados de un triángulo necesariamente tendrá una forma diferente a la del teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en geometría esférica, los tres lados de un triángulo rectángulo (digamos a, b Y C), que limitan el octante (octava parte) de la esfera unitaria, tienen una longitud de π/2, lo que contradice el teorema de Pitágoras, porque a 2 + b 2 ≠ C 2 .

Consideremos aquí dos casos de geometría no euclidiana: la geometría esférica y la hiperbólica; en ambos casos, como en el espacio euclidiano para triángulos rectángulos, el resultado, que reemplaza al teorema de Pitágoras, se deriva del teorema del coseno.

Sin embargo, el teorema de Pitágoras sigue siendo válido para la geometría hiperbólica y elíptica si el requisito de que el triángulo sea rectangular se reemplaza por la condición de que la suma de dos ángulos del triángulo debe ser igual al tercero, digamos A+B = C. Entonces la relación entre los lados se ve así: la suma de las áreas de círculos con diámetros a Y b igual al área de un círculo con diámetro C.

Geometría esférica

Para cualquier triángulo rectángulo en una esfera con radio R(por ejemplo, si el ángulo γ en un triángulo es recto) con lados a, b, C La relación entre las partes quedará así:

Esta igualdad se puede derivar como un caso especial del teorema del coseno esférico, que es válido para todos los triángulos esféricos:

donde cosh es el coseno hiperbólico. Esta fórmula es un caso especial del teorema del coseno hiperbólico, que es válido para todos los triángulos:

donde γ es el ángulo cuyo vértice es opuesto al lado C.

Dónde gramo yo se llama tensor métrico. Puede ser una función de la posición. Dichos espacios curvilíneos incluyen la geometría de Riemann como ejemplo general. Esta formulación también es adecuada para el espacio euclidiano cuando se utilizan coordenadas curvilíneas. Por ejemplo, para coordenadas polares:

Ilustraciones vectoriales

El teorema de Pitágoras conecta dos expresiones para la magnitud de un producto vectorial. Un enfoque para definir un producto cruzado requiere que satisfaga la ecuación:

esta fórmula utiliza el producto escalar. El lado derecho de la ecuación se llama determinante de Gram para a Y b, que es igual al área del paralelogramo formado por estos dos vectores. Basado en este requisito, así como en el requisito de que el producto vectorial sea perpendicular a sus componentes a Y b de ello se deduce que, excepto en casos triviales del espacio de 0 y 1 dimensión, el producto cruzado se define sólo en tres y siete dimensiones. Usamos la definición del ángulo en norte-espacio dimensional:

Esta propiedad de un producto cruzado da su magnitud de la siguiente manera:

A través de fundamentales identidad trigonométrica Pitágoras obtenemos otra forma de escribir su valor:

Un enfoque alternativo para definir un producto cruzado es utilizar una expresión para su magnitud. Luego, razonando en orden inverso, obtenemos una conexión con el producto escalar:

ver también

Notas

1. Tema de historia: el teorema de Pitágoras en las matemáticas babilónicas
2. ( , pág. 351) pág.
3. ( , Tomo I, pág. 144)
4. Discusión hechos históricos dado en (, p. 351) p.
5. Kurt Von Fritz (abril de 1945). "El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hipasus de Metapontum". Los Anales de las Matemáticas, Segunda Serie(Anales de las Matemáticas) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, “La historia con nudos”, M., Mir, 1985, p. 7
7. Asger Aaboe Episodios de la historia temprana de las matemáticas. - Asociación Matemática de América, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
8. Proposición de Python por Eliseo Scott Loomis
9. Euclides Elementos: Libro VI, Proposición VI 31: “En los triángulos rectángulos, la figura del lado que subtiende el ángulo recto es igual a las figuras similares y descritas de manera similar en los lados que contienen el ángulo recto”.
10. Lawrence Leff trabajo citado. - Serie educativa de Barron - P. 326. - ISBN 0764128922.
11. Howard Whitley Evas§4.8:...generalización del teorema de Pitágoras // Grandes momentos de las matemáticas (antes de 1650). - Asociación Matemática de América, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (nombre completo Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 d.C.) fue un médico que vivió en Bagdad y escribió extensamente sobre los Elementos de Euclides y otros temas matemáticos.
13. Aydin Sayili (marzo de 1960). "Generalización del teorema de Pitágoras de Thâbit ibn Qurra". Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Ejercicio 2.10 (ii) // Trabajo citado. - Pág. 62. - ISBN 0821844032
15. Para conocer los detalles de dicha construcción, consulte George Jennings Figura 1.32: El teorema de Pitágoras generalizado // Geometría moderna con aplicaciones: con 150 figuras. - 3º. - Springer, 1997. - Pág. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy Artículo C: Norma para un arbitrario norte-tuple... // Una introducción al análisis. - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Ver también las páginas 47-50.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simón Salamón Geometría diferencial moderna de curvas y superficies con Mathematica. - 3º. - Prensa CRC, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia Análisis matricial. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking trabajo citado. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
20. Eric Weisstein Enciclopedia concisa de matemáticas CRC. - 2do. - 2003. - Pág. 2147. - ISBN 1584883472
21. Alejandro R. Pruss

Teorema de pitágoras- uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclidiana, que establece la relación

entre los lados de un triángulo rectángulo.

Se cree que fue demostrado por el matemático griego Pitágoras, de quien recibió su nombre.

Formulación geométrica del teorema de Pitágoras.

El teorema se formuló originalmente de la siguiente manera:

En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados,

construido sobre piernas.

Formulación algebraica del teorema de Pitágoras.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Es decir, denotar la longitud de la hipotenusa del triángulo por C, y las longitudes de las piernas a través de a Y b:

Ambas formulaciones Teorema de pitágoras son equivalentes, pero la segunda formulación es más elemental, no

Requiere el concepto de área. Es decir, la segunda afirmación se puede verificar sin saber nada sobre el área y

midiendo solo las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

Teorema de Pitágoras inverso.

Si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces

triángulo rectángulo.

O, en otras palabras:

Por cada tres numeros positivos a, b Y C, tal que

hay un triangulo rectángulo con catetos a Y b y hipotenusa C.

Teorema de Pitágoras para un triángulo isósceles.

Teorema de Pitágoras para un triángulo equilátero.

Pruebas del teorema de Pitágoras.

Actualmente, se han registrado en la literatura científica 367 demostraciones de este teorema. Probablemente el teorema

Pitágoras es el único teorema con un número tan impresionante de demostraciones. Tal diversidad

Sólo puede explicarse por el significado fundamental del teorema para la geometría.

Por supuesto, conceptualmente todos ellos se pueden dividir en un pequeño número de clases. El más famoso de ellos:

prueba método de área, axiomático Y evidencia exótica(Por ejemplo,

mediante el uso ecuaciones diferenciales).

1. Demostración del teorema de Pitágoras utilizando triángulos semejantes.

La siguiente prueba de la formulación algebraica es la más simple de las pruebas construidas.

directamente de los axiomas. En particular, no utiliza el concepto de área de una figura.

Dejar A B C hay un triangulo rectángulo con un ángulo recto C. Dibujemos la altura de C y denotar

su fundación a través de h.

Triángulo ACH similar a un triangulo AB C en dos esquinas. Asimismo, el triángulo CBH similar A B C.

Introduciendo la notación:

obtenemos:

,

que corresponde a -

Doblada a 2 y b 2, obtenemos:

o , que es lo que había que demostrar.

2. Demostración del teorema de Pitágoras mediante el método del área.

Las pruebas siguientes, a pesar de su aparente simplicidad, no lo son en absoluto. Todos ellos

Utilice propiedades del área, cuyas pruebas son más complejas que la prueba del propio teorema de Pitágoras.

• Prueba por equicomplementariedad.

Organicemos cuatro rectangulares iguales.

triangulo como se muestra en la figura

a la derecha.

Cuadrilátero con lados C- cuadrado,

ya que la suma de dos ángulos agudos es 90°, y

ángulo desplegado - 180°.

El área de toda la figura es igual, por un lado,

área de un cuadrado con lado ( a+b), y por otro lado, la suma de las áreas de cuatro triángulos y

Q.E.D.

3. Demostración del teorema de Pitágoras por el método infinitesimal.

​

Mirando el dibujo que se muestra en la figura y

viendo el cambio de ladoa, podemos

escribe la siguiente relación para infinitamente

pequeño incrementos lateralesCon Y a(usando similitud

triangulos):

Usando el método de separación de variables, encontramos:

Una expresión más general para el cambio en la hipotenusa en el caso de incrementos en ambos lados:

Integrando esta ecuación y usando las condiciones iniciales, obtenemos:

Así llegamos a la respuesta deseada:

Como es fácil de ver, la dependencia cuadrática en la fórmula final aparece debido a la relación lineal

proporcionalidad entre los lados del triángulo y los incrementos, mientras que la suma está relacionada con los independientes

contribuciones del incremento de diferentes tramos.

Se puede obtener una prueba más sencilla si asumimos que una de las piernas no experimenta un aumento.

(en este caso la pierna b). Entonces para la constante de integración obtenemos:

Nivel promedio

Triángulo rectángulo. La guía ilustrada completa (2019)

TRIÁNGULO RECTÁNGULO. PRIMER NIVEL.

En los problemas, el ángulo recto no es en absoluto necesario: el inferior izquierdo, por lo que debes aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma.

y en esto

y en esto

¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno... antes que nada, hay especiales. hermosos nombres por sus costados.

¡Atención al dibujo!

Recuerda y no confundas: hay dos catetos y solo hay una hipotenusa(único, único y más largo)!

Bueno, ya hemos comentado los nombres, ahora lo más importante: el Teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras.

Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Fue demostrado por Pitágoras en tiempos absolutamente inmemoriales y desde entonces ha aportado muchos beneficios a quienes lo conocen. Y lo mejor es que es sencillo.

Entonces, Teorema de pitágoras:

¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales por todos lados!”?

Dibujemos estos mismos pantalones pitagóricos y mirémoslos.

¿No parece una especie de pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde surgió el chiste? Y este chiste está relacionado precisamente con el teorema de Pitágoras, o más precisamente con la forma en que el propio Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:

"Suma áreas de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada, construido sobre la hipotenusa."

¿Realmente suena un poco diferente? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, esta es exactamente la imagen que surgió.

En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, a alguien ingenioso se le ocurrió este chiste sobre los pantalones pitagóricos.

¿Por qué formulamos ahora el teorema de Pitágoras?

¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?

Verás, en la antigüedad no existía... ¡álgebra! No había señales y demás. No hubo inscripciones. ¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes de la antigüedad recordar todo con palabras? Y podemos alegrarnos de tener una formulación sencilla del teorema de Pitágoras. Repetimos de nuevo para recordarlo mejor:

Debería ser fácil ahora:

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Bueno, ya se ha discutido el teorema más importante sobre los triángulos rectángulos. Si te interesa cómo se demuestra, lee los siguientes niveles de teoría, y ahora pasemos... a bosque oscuro... trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.

De hecho, no todo da tanto miedo. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debería examinarse en el artículo. Pero realmente no quiero, ¿verdad? Podemos alegrarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:

¿Por qué todo está a la vuelta de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben en palabras las declaraciones 1 a 4. ¡Mira, comprende y recuerda!

1.
En realidad suena así:

¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay un cateto opuesto a la esquina, es decir, un cateto opuesto (para un ángulo)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es una pierna!

¿Qué pasa con el ángulo? Mira cuidadosamente. ¿Qué cateto está adyacente a la esquina? Por supuesto, la pierna. Esto significa que para el ángulo el cateto es adyacente, y

¡Ahora presta atención! Mira lo que tenemos:

Mira lo genial que es:

Ahora pasemos a tangente y cotangente.

¿Cómo puedo escribir esto con palabras ahora? ¿Cuál es el cateto en relación con el ángulo? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Qué pasa con la pierna? Adyacente a la esquina. Entonces, ¿qué tenemos?

¿Ves cómo el numerador y el denominador han intercambiado lugares?

Y ahora las esquinas nuevamente e hicieron un intercambio:

Resumen

Anotemos brevemente todo lo que hemos aprendido.

Teorema de pitágoras:

El teorema principal sobre los triángulos rectángulos es el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras

Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no es muy bueno, mire la imagen y actualice sus conocimientos.

Es muy posible que ya hayas utilizado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo puedo probarlo? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.

¡Mira con qué habilidad dividimos sus lados en segmentos de longitudes y!

Ahora conectemos los puntos marcados.

Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira el dibujo y piensa por qué es así.

¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Bien, . ¿Qué pasa con un área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imaginemos que los tomamos de dos en dos y los apoyamos uno contra otro con sus hipotenusas. ¿Qué pasó? Dos rectángulos. Esto significa que el área de los “cortes” es igual.

Juntémoslo todo ahora.

Transformemos:

Entonces visitamos a Pitágoras y demostramos su teorema de una manera antigua.

Triángulo rectángulo y trigonometría.

Para un triángulo rectángulo se cumplen las siguientes relaciones:

El seno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.

El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente.

La cotangente de un ángulo agudo es igual a la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.

Y una vez más todo esto en forma de tablet:

¡Es muy cómodo!

Signos de igualdad de triángulos rectángulos.

I. En dos lados

II. Por cateto e hipotenusa

III. Por hipotenusa y ángulo agudo

IV. A lo largo de la pierna y ángulo agudo.

a)

b)

¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean “apropiadas”. Por ejemplo, si dice así:

ENTONCES LOS TRIÁNGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.

Necesitar en ambos triángulos el cateto era adyacente, o en ambos era opuesto.

¿Has notado en qué los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Eche un vistazo al tema “y preste atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, tres de sus elementos deben ser iguales: dos lados y el ángulo entre ellos, dos ángulos y el lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de triángulos rectángulos sólo bastan dos elementos correspondientes. Genial, ¿verdad?

La situación es aproximadamente la misma con los signos de semejanza de triángulos rectángulos.

Signos de similitud de triángulos rectángulos.

I. A lo largo de un ángulo agudo

II. en dos lados

III. Por cateto e hipotenusa

Mediana en un triángulo rectángulo

¿Por qué esto es tan?

En lugar de un triángulo rectángulo, considere un rectángulo completo.

Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué se sabe sobre las diagonales de un rectángulo?

¿Y qué se sigue de esto?

Entonces resultó que

1. - mediana:

¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!

Lo que es aún más sorprendente es que también ocurre lo contrario.

¿Qué beneficio se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hasta la hipotenusa sea igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la foto

Mira cuidadosamente. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto a los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero solo hay un punto en el triángulo, cuyas distancias desde los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO. ¿Entonces qué pasó?

Así que comencemos con este “además…”.

Miremos y.

¡Pero los triángulos semejantes tienen todos los ángulos iguales!

Lo mismo puede decirse de y

Ahora dibujémoslo juntos:

¿Qué beneficio se puede derivar de esta “triple” similitud?

Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.

Anotemos las relaciones de las partes correspondientes:

Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos la primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":

Entonces, apliquemos la similitud: .

¿Que pasará ahora?

Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:

Debe recordar muy bien ambas fórmulas y utilizar la que le resulte más conveniente. Escribámoslos de nuevo

Teorema de pitágoras:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: .

Signos de igualdad de triángulos rectángulos:

• en dos lados:
• por cateto e hipotenusa: o
• a lo largo de la pierna y el ángulo agudo adyacente: o
• a lo largo de la pierna y el ángulo agudo opuesto: o
• por hipotenusa y ángulo agudo: o.

Signos de similitud de triángulos rectángulos:

• una esquina aguda: o
• de la proporcionalidad de dos catetos:
• de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.

• El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
• El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
• La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente:
• La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado adyacente y el lado opuesto: .

Altura de un triángulo rectángulo: o.

En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa: .

Área de un triángulo rectángulo:

• a través de las piernas: