En el último video tutorial, aprendimos que el grado de una base determinada es una expresión que es el producto de la base por sí misma, tomado en una cantidad igual al exponente. Estudiemos ahora algunas de las propiedades y operaciones eléctricas más importantes.

Por ejemplo, multipliquemos dos potencias diferentes con la misma base:

Presentamos este trabajo en su totalidad:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Habiendo calculado el valor de esta expresión, obtenemos el número 32. Por otro lado, como se puede ver en el mismo ejemplo, 32 se puede representar como el producto de la misma base (dos) tomada 5 veces. Y de hecho, si contamos, entonces:

Por lo tanto, podemos concluir con confianza que:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Una regla similar funciona bien para cualquier indicador y por cualquier motivo. Esta propiedad de multiplicar el grado se deriva de la regla de conservación del valor de las expresiones durante las transformaciones en el producto. Para cualquier base a, el producto de dos expresiones (a) x y (a) y es igual a a (x + y). En otras palabras, cuando se producen expresiones con la misma base, el monomio final tiene un grado total formado por la suma del grado de la primera y segunda expresión.

La regla presentada también funciona muy bien al multiplicar varias expresiones. La condición principal es que los motivos para todos sean los mismos. Por ejemplo:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Es imposible sumar grados, y de hecho realizar acciones conjuntas de grado-ley con dos elementos de expresión, si sus bases son diferentes.
Como muestra nuestro video, debido a la similitud de los procesos de multiplicación y división, las reglas para sumar potencias en el producto se transfieren perfectamente al procedimiento de división. Considere este ejemplo:

Hagamos una transformación término por término de la expresión a su forma completa y reduzcamos los mismos elementos en el dividendo y el divisor:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

El resultado final de este ejemplo no es tan interesante, porque ya en el transcurso de su solución está claro que el valor de la expresión es igual al cuadrado de dos. Y son los dos los que se obtienen restando la potencia de la segunda expresión a la potencia de la primera.

Para determinar el grado del cociente, es necesario restar el grado del divisor del grado del dividendo. La regla trabaja con la misma base para todos sus valores y para todos los grados naturales. Como abstracción, tenemos:

(a) x / (a) y = (a) x - y

La definición del grado cero se deriva de la regla para dividir las mismas bases con grados. Obviamente, la siguiente expresión es:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Por otro lado, si hacemos la división de una forma más visual, obtenemos:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Al reducir todos los elementos visibles de la fracción, siempre se obtiene la expresión 1/1, es decir, uno. Por lo tanto, generalmente se acepta que cualquier base elevada a la potencia cero es igual a uno:

Independientemente del valor de a.

Sin embargo, sería absurdo si 0 (para cualquier multiplicación, el dador sigue siendo 0) es de alguna manera igual a uno, por lo tanto, una expresión de la forma (0) 0 (cero al grado cero) simplemente no tiene sentido, y al fórmula (a) 0 = 1 agregue la condición: "si a no es igual a 0".

Resolvamos el ejercicio. Busquemos el valor de la expresión:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Dado que la base es la misma en todas partes y es igual a 34, el valor total tendrá la misma base que el grado (de acuerdo con las reglas anteriores):

En otras palabras:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Respuesta: la expresión es igual a uno.

Lección sobre el tema: "Las reglas de multiplicación y división de grados con los mismos y diferentes indicadores. Ejemplos"

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El propósito de la lección: aprender a realizar acciones con poderes numéricos.

Para empezar, recordemos el concepto de "grado de número". Una expresión como $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $ se puede representar como $ a ^ n $.

Lo contrario también es cierto: $ a ^ n = \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $.

Esta igualdad se denomina "notación del grado como producto". Nos ayudará a determinar cómo multiplicar y dividir grados.
Recordar:
a Es la base del título.
norte- exponente.
Si n = 1, por lo tanto, el número a tomó una vez y en consecuencia: $ a ^ n = 1 $.
Si n = 0, entonces $ a ^ 0 = 1 $.

Por qué sucede esto, podemos averiguarlo cuando nos familiaricemos con las reglas de multiplicación y división de potencias.

Reglas de multiplicación

a) Si se multiplican las potencias con la misma base.
Para $ a ^ n * a ^ m $, escribimos las potencias como un producto: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (m) $.
La figura muestra que el número a han tomado n + m veces, entonces $ a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m) $.

Ejemplo.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Esta propiedad es conveniente de usar para simplificar el trabajo al elevar un número a una gran potencia.
Ejemplo.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Si los grados se multiplican con diferentes bases, pero con el mismo exponente.
Para $ a ^ n * b ^ n $, escriba los grados como un producto: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ ( m) $.
Si intercambiamos los factores y contamos los pares resultantes, obtenemos: $ \ underbrace ((a * b) * (a * b) * \ ldots * (a * b)) _ (n) $.

Por lo tanto, $ a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n $.

Ejemplo.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Reglas de división

a) La base de la titulación es la misma, los indicadores son diferentes.
Considere dividir un exponente con un exponente más grande dividiendo un exponente con un exponente más pequeño.

Por lo que es necesaria $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) $, dónde n> m.

Escribamos las potencias como una fracción:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (m)) $.

Por conveniencia, escribiremos la división como una fracción simple.

Ahora cancelemos la fracción.

Resulta: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n-m) = a ^ (n-m) $.
Medio, $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) = a ^ (n-m) $.

Esta propiedad ayudará a explicar la situación al elevar un número a una potencia cero. Asumamos que n = m, entonces $ a ^ 0 = a ^ (n-n) = \ frac (a ^ n) (a ^ n) = 1 $.

Ejemplos.
$ \ frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) = 3 ^ (3-2) = 3 ^ 1 = 3 $.

$ \ frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) = 2 ^ (2-2) = 2 ^ 0 = 1 $.

b) Las bases de la titulación son diferentes, los indicadores son los mismos.
Digamos que necesitas $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) $. Escribamos las potencias de los números como fracción:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ (n)) $.

Por conveniencia, imaginemos.

Usando la propiedad de las fracciones, dividimos la fracción grande en el producto de las pequeñas, obtenemos.
$ \ underbrace (\ frac (a) (b) * \ frac (a) (b) * \ ldots * \ frac (a) (b)) _ (n) $.
En consecuencia: $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) = (\ frac (a) (b)) ^ n $.

Ejemplo.
$ \ frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) = (\ frac (4) (2)) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8 $.

Primer nivel

El grado y sus propiedades. Guía completa (2019)

¿Por qué se necesitan títulos? ¿Dónde te serán útiles? ¿Por qué necesita tomarse el tiempo para estudiarlos?

Para saber todo sobre los títulos, para qué sirven y cómo utilizar sus conocimientos en la vida cotidiana, lea este artículo.

Y, por supuesto, el conocimiento de las titulaciones te acercará a superar con éxito la OGE o USE y a entrar en la universidad de tus sueños.

¡Vamos vamos!)

¡Nota IMPORTANTE! Si en lugar de fórmulas ve un galimatías, borre el caché. Para hacer esto, presione CTRL + F5 (en Windows) o Cmd + R (en Mac).

PRIMER NIVEL

La exponenciación es la misma operación matemática que la suma, resta, multiplicación o división.

Ahora lo explicaré todo en lenguaje humano usando ejemplos muy simples. Presta atención. Los ejemplos son elementales, pero explican cosas importantes.

Comencemos con la suma.

No hay nada que explicar. Ya lo sabes todo: somos ocho. Cada uno tiene dos botellas de cola. ¿Cuánta cola hay? Así es, 16 botellas.

Ahora multiplicación.

El mismo ejemplo de cola se puede escribir de manera diferente :. Los matemáticos son gente astuta y perezosa. Primero notan algunos patrones y luego se les ocurre una manera de "contarlos" rápidamente. En nuestro caso, notaron que cada una de las ocho personas tenía la misma cantidad de botellas de cola y se les ocurrió una técnica llamada multiplicación. De acuerdo, se considera más fácil y rápido que.

Entonces, para contar más rápido, más fácil y sin errores, solo necesita recordar tabla de multiplicación... ¡Por supuesto, puedes hacer todo más lento, más difícil y con errores! Pero…

Aquí está la tabla de multiplicar. Repetir.

Y otro, más bonito:

¿Qué otros ingeniosos trucos para contar se les han ocurrido a los matemáticos perezosos? Derecha - elevar un número a una potencia.

Elevando un número a una potencia

Si necesita multiplicar un número por sí mismo cinco veces, los matemáticos dicen que debe aumentar este número a la quinta potencia. Por ejemplo, . Los matemáticos recuerdan que dos al quinto grado es. Y resuelven estos problemas en sus cabezas, más rápido, más fácil y sin errores.

Todo lo que necesitas hacer es recuerda lo que se destaca en la tabla de potencias de los números... Créame, esto le facilitará la vida.

Por cierto, ¿por qué el segundo grado se llama cuadrado números, y el tercero - cubo? ¿Qué significa? Esa es una muy buena pregunta. Ahora tendrás tanto cuadrados como cubos.

Ejemplo de vida n. ° 1

Comencemos con un cuadrado o la segunda potencia de un número.

Imagínese una piscina de metro a metro cuadrado. La piscina está en tu casa de campo. Hace calor y tengo muchas ganas de nadar. Pero ... ¡una piscina sin fondo! Es necesario cubrir el fondo de la piscina con baldosas. ¿Cuántos mosaicos necesitas? Para determinar esto, necesita conocer el área del fondo de la piscina.

Simplemente puede contar, tocando con el dedo, que el fondo de la piscina está formado por cubos de metro por metro. Si tiene una baldosa metro a metro, necesitará piezas. Es fácil ... ¿Pero dónde has visto estos azulejos? Es más probable que el azulejo sea cm por cm, y luego serás torturado por el "conteo de dedos". Entonces tienes que multiplicar. Entonces, en un lado del fondo de la piscina, colocaremos mosaicos (piezas) y en el otro, también, mosaicos. Multiplicando por, obtienes mosaicos ().

¿Ha notado que multiplicamos el mismo número por nosotros mismos para determinar el área del fondo de la piscina? ¿Qué significa? Una vez que se multiplica el mismo número, podemos usar la técnica de "exponenciación". (Por supuesto, cuando solo tienes dos números, aún los multiplicas o los elevas a una potencia. Pero si tienes muchos, entonces elevar a una potencia es mucho más fácil y también hay menos errores en los cálculos. examen, esto es muy importante).
Entonces, treinta en segundo grado serán (). O puedes decir que treinta al cuadrado serán. En otras palabras, la segunda potencia de un número siempre se puede representar como un cuadrado. Por el contrario, si ve un cuadrado, SIEMPRE es la segunda potencia de un número. Un cuadrado es una representación de la segunda potencia de un número.

Ejemplo de la vida real n. ° 2

Aquí hay una tarea para ti, cuenta cuántos cuadrados hay en el tablero de ajedrez usando el cuadrado del número ... En un lado de las celdas y en el otro también. Para contar su número, debes multiplicar ocho por ocho o ... si notas que el tablero de ajedrez es un cuadrado con un lado, entonces puedes cuadrar ocho. Obtendrá células. () ¿Entonces?

Ejemplo de vida n. ° 3

Ahora el cubo o la tercera potencia del número. La misma piscina. Pero ahora necesita saber cuánta agua tendrá que verter en esta piscina. Necesitas calcular el volumen. (Los volúmenes y líquidos, por cierto, se miden en metros cúbicos. Sorprendentemente, ¿no?) Dibuja una piscina: el fondo tiene un metro de tamaño y un metro de profundidad e intenta calcular cuántos metros cúbicos por metro entrarán en tu piscina.

¡Señale con el dedo y cuente! Uno, dos, tres, cuatro ... veintidós, veintitrés ... ¿Cuánto resultó? ¿No perdido? ¿Es difícil contar con el dedo? ¡Así que eso! Tome un ejemplo de matemáticos. Son perezosos, por lo que notaron que para calcular el volumen de la piscina, debe multiplicar su longitud, ancho y altura entre sí. En nuestro caso, el volumen de la piscina será igual a cubos ... Más fácil, ¿verdad?

Ahora imagina lo perezosos y astutos que son los matemáticos si también simplificaran esto. Redujeron todo a una sola acción. Se dieron cuenta de que el largo, ancho y alto son iguales y que el mismo número se multiplica por sí mismo ... ¿Qué significa eso? Esto significa que puedes aprovechar el título. Entonces, lo que una vez contó con el dedo, lo hacen en una sola acción: tres en un cubo es igual. Está escrito así:

Solo queda recuerda la tabla de grados... A menos, por supuesto, que seas tan vago y astuto como los matemáticos. Si te gusta trabajar duro y cometer errores, puedes seguir contando con el dedo.

Bueno, para finalmente convencerte de que los títulos fueron inventados por holgazanes y personas astutas para resolver sus problemas de vida, y no para crearte problemas, aquí hay un par de ejemplos más de la vida.

Ejemplo de vida n. ° 4

Tienes un millón de rublos. Al comienzo de cada año, gana otro millón de cada millón. Es decir, cada millón de los suyos al comienzo de cada año se duplica. ¿Cuánto dinero tendrás en años? Si ahora está sentado y “contando con el dedo”, entonces es una persona muy trabajadora y ... estúpida. Pero lo más probable es que dé una respuesta en un par de segundos, ¡porque es inteligente! Entonces, en el primer año - dos veces dos ... en el segundo año - lo que pasó fueron dos más, en el tercer año ... ¡Alto! Notaste que el número se multiplica por sí mismo una vez. ¡Así que dos elevado a la quinta potencia son un millón! Ahora imagina que tienes una competencia y esos millones los recibirá el que calcule más rápido ... ¿Vale la pena recordar los grados de los números, qué te parece?

Ejemplo de la vida real n. ° 5

Tienes un millón. Al comienzo de cada año, gana dos más por cada millón. Genial, ¿no es así? Cada millón de triples. ¿Cuánto dinero tendrás en años? Contemos. El primer año, multiplica por, luego el resultado por otro ... Ya es aburrido, porque ya entendiste todo: tres veces se multiplica por sí mismo. Entonces, la cuarta potencia es igual a un millón. Solo necesita recordar que tres elevado a la cuarta potencia es o.

Ahora sabes que al elevar un número a una potencia, facilitarás enormemente tu vida. Echemos un vistazo a lo que puede hacer con los títulos y lo que necesita saber sobre ellos.

Términos y conceptos ... para no confundirse

Entonces, primero, definamos los conceptos. Qué opinas, que es exponente? Es muy simple: este es el número que está "en la parte superior" de la potencia del número. No científico, pero comprensible y fácil de recordar ...

Bueno, al mismo tiempo que tal base de grado? Es aún más simple: este es el número que está debajo, en la base.

Aquí hay un dibujo para estar seguro.

Bueno, en términos generales, para poder generalizar y recordar mejor ... Un título con una base "" y un indicador "" se lee como "en grado" y se escribe de la siguiente manera:

Grado de número con exponente natural

Probablemente ya lo hayas adivinado: porque el exponente es un número natural. Si, pero que es número natural? ¡Elemental! Los números naturales son los que se utilizan para contar al enumerar objetos: uno, dos, tres ... Cuando contamos objetos, no decimos: “menos cinco”, “menos seis”, “menos siete”. Tampoco decimos: "un tercio", o "punto cero, cinco décimas". Estos no son números naturales. ¿Qué números crees que son?

Números como "menos cinco", "menos seis", "menos siete" se refieren a números enteros. En general, los números enteros incluyen todos los números naturales, los números opuestos a los números naturales (es decir, tomados con un signo menos) y un número. El cero es fácil de entender, esto es cuando no hay nada. ¿Qué significan los números negativos ("menos")? Pero fueron inventados principalmente para indicar deudas: si tiene rublos en su teléfono, significa que le debe rublos al operador.

Todas las fracciones son números racionales. ¿Cómo crees que surgieron? Muy simple. Hace varios miles de años, nuestros antepasados ​​descubrieron que carecían de números naturales para medir la longitud, el peso, el área, etc. Y se les ocurrió numeros racionales... Interesante, ¿no?

También hay números irracionales. ¿Cuáles son estos números? En resumen, una fracción decimal infinita. Por ejemplo, si divide la circunferencia de un círculo por su diámetro, obtiene un número irracional.

Resumen:

Definamos el concepto de grado, cuyo exponente es un número natural (es decir, un número entero y positivo).

1. Cualquier número de la primera potencia es igual a sí mismo:
2. Cuadrar un número es multiplicarlo por sí mismo:
3. Cubrir un número es multiplicarlo por sí mismo tres veces:

Definición. Elevar un número a una potencia natural significa multiplicar el número por sí mismo por:
.

Propiedades de poder

¿De dónde vienen estas propiedades? Te lo mostraré ahora.

Veamos: que es y ?

Priorato:

¿Cuántos factores hay en total?

Es muy simple: agregamos multiplicadores a los multiplicadores, y el total es multiplicadores.

Pero, por definición, es el grado de un número con exponente, es decir, como se requiere para demostrarlo.

Ejemplo: Simplifica la expresión.

Solución:

Ejemplo: Simplifica la expresión.

Solución: Es importante señalar que en nuestra regla necesariamente debe tener las mismas bases!
Por lo tanto, combinamos los grados con la base, pero sigue siendo un factor separado:

solo por el producto de grados!

En ningún caso puedes escribir eso.

2.Eso es -ésima potencia de un número

Al igual que con la propiedad anterior, pasemos a la definición del grado:

Resulta que la expresión se multiplica por sí misma una vez, es decir, según la definición, esta es la enésima potencia del número:

En esencia, esto se puede llamar "poner entre corchetes el indicador". Pero nunca debes hacer esto en total:

Recordemos las fórmulas de multiplicación abreviadas: ¿cuántas veces quisimos escribir?

Pero esto no es cierto, después de todo.

Grado con base negativa

Hasta este punto, solo hemos discutido cuál debería ser el exponente.

Pero, ¿cuál debería ser la base?

En grados con tasa natural la base puede ser cualquier número... De hecho, podemos multiplicar cualquier número entre sí, ya sea positivo, negativo o incluso.

Pensemos en qué signos ("" o "") tendrán poderes de números positivos y negativos.

Por ejemplo, ¿el número será positivo o negativo? ¿A? ? Con el primero, todo está claro: no importa cuántos números positivos multipliquemos entre sí, el resultado será positivo.

Pero lo negativo es un poco más interesante. Después de todo, recordamos una regla simple del sexto grado: "menos por menos da un más". Eso es, o. Pero si multiplicamos por, funciona.

Decide por tu cuenta qué signo tendrán las siguientes expresiones:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

¿Lograste?

Aquí están las respuestas: En los primeros cuatro ejemplos, ¿con suerte todo está claro? Solo miramos la base y el exponente y aplicamos la regla apropiada.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

En el ejemplo 5), tampoco todo es tan aterrador como parece: no importa a qué sea igual la base, el grado es par, lo que significa que el resultado siempre será positivo.

Bueno, a menos que la base sea cero. La base no es igual, ¿verdad? Obviamente no, ya que (porque).

¡El ejemplo 6) ya no es tan fácil!

6 ejemplos para entrenar

Analizando la solución 6 ejemplos

Si ignoramos el octavo grado, ¿qué vemos aquí? Recordamos el programa de séptimo grado. ¿Así que recuerda? ¡Esta es la fórmula para la multiplicación abreviada, es decir, la diferencia de cuadrados! Obtenemos:

Echemos un vistazo de cerca al denominador. Se parece mucho a uno de los multiplicadores del numerador, pero ¿qué pasa? Orden de términos incorrecto. Si fueran revertidos, la regla podría aplicarse.

¿Pero cómo hacer eso? Resulta muy fácil: aquí nos ayuda el grado par del denominador.

Los términos se invierten mágicamente. Este "fenómeno" es aplicable a cualquier expresión en un grado uniforme: podemos cambiar libremente los signos entre paréntesis.

Pero es importante recordar: todos los signos cambian al mismo tiempo!

Volvamos al ejemplo:

Y nuevamente la fórmula:

Entero llamamos a los números naturales opuestos a ellos (es decir, tomados con el signo "") y el número.

entero positivo, pero no es diferente de lo natural, entonces todo se ve exactamente como en la sección anterior.

Ahora veamos algunos casos nuevos. Comencemos con un indicador igual a.

Cualquier número en el grado cero es igual a uno:

Como siempre, hagámonos la pregunta: ¿por qué es así?

Considere un título con una base. Tomemos, por ejemplo, y multipliquemos por:

Entonces, multiplicamos el número por, y obtuvimos lo mismo que era -. ¿Y qué número deberías multiplicar para que nada cambie? Eso es correcto. Medio.

Podemos hacer lo mismo con un número arbitrario:

Repitamos la regla:

Cualquier número en el grado cero es igual a uno.

Pero hay excepciones a muchas reglas. Y aquí también está allí: este es un número (como base).

Por un lado, debe ser igual en cualquier grado; no importa cuánto multipliques por ti mismo, obtendrás cero, esto está claro. Pero por otro lado, como cualquier número en el grado cero, debe ser igual. Entonces, ¿cuál de esto es cierto? Los matemáticos decidieron no involucrarse y se negaron a subir de cero a cero. Es decir, ahora no solo podemos dividir por cero, sino también elevarlo a una potencia cero.

Vayamos más lejos. Además de los números naturales y los números, los números negativos pertenecen a los enteros. Para entender qué es una potencia negativa, hagamos lo mismo que la última vez: multiplique un número normal por la misma potencia negativa:

Desde aquí ya es fácil expresar lo que buscas:

Ahora extenderemos la regla resultante a un grado arbitrario:

Entonces, formulemos una regla:

Un número en potencia negativa es inverso al mismo número en potencia positiva. Pero al mismo tiempo la base no puede ser nula:(porque no se puede dividir entre).

Resumamos:

I. Expresión no especificada en caso. Si, entonces.

II. Cualquier número hasta el grado cero es igual a uno :.

III. Un número que no es igual a cero está en potencia negativa inversa al mismo número en potencia positiva :.

Tareas para una solución independiente:

Bueno, y, como de costumbre, ejemplos para una solución independiente:

Análisis de tareas para solución independiente:

Lo sé, lo sé, los números son terribles, ¡pero en el examen tienes que estar preparado para cualquier cosa! ¡Resuelva estos ejemplos o analice su solución si no pudo resolverlos y aprenderá cómo enfrentarlos fácilmente en el examen!

Sigamos ampliando el círculo de números "adecuados" como exponente.

Ahora considera numeros racionales.¿Qué números se llaman racionales?

Respuesta: todo eso se puede representar como una fracción, donde y además son números enteros.

Para entender lo que es Grado fraccional, considere la fracción:

Elevemos ambos lados de la ecuación a la potencia:

Ahora recordemos la regla sobre "Grado a grado":

¿Qué número debe elevarse a una potencia para obtener?

Esta formulación es la definición de la raíz th.

Permítame recordarle: la raíz de la potencia ésima de un número () es un número que, cuando se eleva a una potencia, es igual a.

Es decir, la raíz de la ésima potencia es la operación inversa de la exponenciación :.

Resulta que. Evidentemente, este caso particular se puede ampliar :.

Ahora sumamos el numerador: ¿qué es? La respuesta se obtiene fácilmente usando la regla de grado a grado:

Pero, ¿puede la base ser cualquier número? Después de todo, la raíz no se puede extraer de todos los números.

¡Ninguno!

Recuerde la regla: cualquier número elevado a una potencia par es un número positivo. Es decir, ¡no se pueden extraer raíces de un grado par a partir de números negativos!

Y esto significa que tales números no se pueden elevar a una potencia fraccionaria con un denominador par, es decir, la expresión no tiene sentido.

¿Qué pasa con la expresión?

Pero aquí es donde surge el problema.

El número puede representarse como otras fracciones cancelables, por ejemplo, o.

Y resulta que existe, pero no existe, pero estos son solo dos registros diferentes del mismo número.

O otro ejemplo: una vez, luego puedes escribir. Pero si escribimos el indicador de una manera diferente, y nuevamente obtenemos una molestia: (es decir, ¡obtenemos un resultado completamente diferente!).

Para evitar tales paradojas, consideramos solo raíz positiva con exponente fraccionario.

Así que si:

• - número natural;
• - un número entero;

Ejemplos:

Los exponentes racionales son muy útiles para convertir expresiones con raíz, por ejemplo:

5 ejemplos para entrenar

Análisis de 5 ejemplos de formación

Y ahora la parte más difícil. Ahora analizaremos grado irracional.

Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente las mismas que para un grado con un exponente racional, con la excepción de

De hecho, por definición, los números irracionales son números que no se pueden representar como una fracción, donde y son números enteros (es decir, los números irracionales son todos números reales excepto los racionales).

Al estudiar títulos con un indicador natural, total y racional, cada vez inventamos una especie de "imagen", "analogía" o descripción en términos más familiares.

Por ejemplo, un exponente natural es un número multiplicado por sí mismo varias veces;

...número de cero grados- es, por así decirlo, un número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no ha comenzado a multiplicarse, lo que significa que el número en sí ni siquiera ha aparecido - por lo tanto, el resultado es solo una especie de "número en blanco ", a saber, el número;

...exponente entero negativo- era como si se produjera una especie de "proceso inverso", es decir, el número no se multiplicaba por sí mismo, sino que se dividía.

Por cierto, en ciencia, a menudo se usa un título con un indicador complejo, es decir, el indicador ni siquiera es un número real.

Pero en la escuela no pensamos en tales dificultades, tendrás la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el instituto.

¡DONDE ESTAMOS SEGUROS DE QUE IRÁS! (si aprende a resolver tales ejemplos :))

Por ejemplo:

Decide por ti mismo:

Análisis de soluciones:

1. Comencemos con la regla ya habitual para elevar una potencia a una potencia:

Ahora mira el indicador. ¿Te recuerda a algo? Recordamos la fórmula de la multiplicación abreviada, la diferencia de cuadrados:

En este caso,

Resulta que:

Respuesta: .

2. Llevamos las fracciones en exponentes a la misma forma: ambas decimales o ambas ordinarias. Consigamos, por ejemplo:

Respuesta: 16

3. Nada especial, aplicamos las propiedades habituales de las titulaciones:

NIVEL AVANZADO

Determinación de la titulación

Un título es una expresión de la forma :, donde:

• — base de grado;
• - exponente.

Grado con exponente natural (n = 1, 2, 3, ...)

Elevar un número a una potencia natural n significa multiplicar el número por sí mismo por:

Grado entero (0, ± 1, ± 2, ...)

Si el exponente es totalmente positivo número:

Erección a cero grados:

La expresión es indefinida, porque, por un lado, en cualquier grado - esto, y por el otro - cualquier número en el grado - esto.

Si el exponente es totalmente negativo número:

(porque no se puede dividir entre).

Una vez más sobre ceros: la expresión no está definida en caso de que sea necesario. Si, entonces.

Ejemplos:

Grado racional

• - número natural;
• - un número entero;

Ejemplos:

Propiedades de poder

Para facilitar la resolución de problemas, intentemos entender: ¿de dónde vienen estas propiedades? Probémoslos.

Veamos: ¿qué es y?

Priorato:

Entonces, en el lado derecho de esta expresión, obtenemos el siguiente producto:

Pero por definición, es la potencia de un número con exponente, es decir:

Q.E.D.

Ejemplo : Simplifica la expresión.

Solución : .

Ejemplo : Simplifica la expresión.

Solución : Es importante tener en cuenta que en nuestra regla necesariamente debe tener las mismas bases. Por lo tanto, combinamos los grados con la base, pero sigue siendo un factor separado:

Una nota más importante: esta regla es: solo para el producto de grados!

De ninguna manera debería escribir eso.

Al igual que con la propiedad anterior, pasemos a la definición del grado:

Reorganicemos esta pieza de esta manera:

Resulta que la expresión se multiplica por sí misma una vez, es decir, según la definición, esta es la enésima potencia del número:

En esencia, esto se puede llamar "poner entre corchetes el indicador". ¡Pero nunca debes hacer esto en total:!

Recordemos las fórmulas de multiplicación abreviadas: ¿cuántas veces quisimos escribir? Pero esto no es cierto, después de todo.

Un título con base negativa.

Hasta este punto, solo hemos discutido cómo debería ser índice la licenciatura. Pero, ¿cuál debería ser la base? En grados con natural indicador la base puede ser cualquier número .

De hecho, podemos multiplicar cualquier número entre sí, ya sea positivo, negativo o incluso. Pensemos en qué signos ("" o "") tendrán poderes de números positivos y negativos.

Por ejemplo, ¿el número será positivo o negativo? ¿A? ?

Con el primero, todo está claro: no importa cuántos números positivos multipliquemos entre sí, el resultado será positivo.

Pero lo negativo es un poco más interesante. Después de todo, recordamos una regla simple del sexto grado: "menos por menos da un más". Eso es, o. Pero si multiplicamos por (), obtenemos -.

Y así hasta el infinito: con cada multiplicación subsiguiente, el signo cambiará. Puede formular reglas tan simples:

1. incluso grado, - número positivo.
2. Número negativo elevado a impar grado, - número negativo.
3. Un número positivo en cualquier grado es un número positivo.
4. Cero a cualquier potencia es igual a cero.

Decide por tu cuenta qué signo tendrán las siguientes expresiones:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

¿Lograste? Aquí están las respuestas:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

En los primeros cuatro ejemplos, espero que todo esté claro. Solo miramos la base y el exponente y aplicamos la regla apropiada.

En el ejemplo 5), tampoco todo es tan aterrador como parece: no importa a qué sea igual la base, el grado es par, lo que significa que el resultado siempre será positivo. Bueno, a menos que la base sea cero. La base no es igual, ¿verdad? Obviamente no, ya que (porque).

Ejemplo 6) ya no es tan simple. Aquí necesitas saber cuál es menos: ¿o? Si recuerdas eso, queda claro eso, lo que significa que la base es menor que cero. Es decir, aplicamos la regla 2: el resultado será negativo.

Y nuevamente usamos la definición de grado:

Todo es como de costumbre: escribimos la definición de grados y, los dividimos entre sí, los dividimos en pares y obtenemos:

Antes de examinar la última regla, resolvamos algunos ejemplos.

Calcula los valores de las expresiones:

Soluciones :

Si ignoramos el octavo grado, ¿qué vemos aquí? Recordamos el programa de séptimo grado. ¿Así que recuerda? ¡Esta es la fórmula para la multiplicación abreviada, es decir, la diferencia de cuadrados!

Obtenemos:

Echemos un vistazo de cerca al denominador. Se parece mucho a uno de los multiplicadores del numerador, pero ¿qué pasa? Orden de términos incorrecto. Si se invirtieran, se podría aplicar la Regla 3. ¿Pero cómo hacerlo? Resulta muy fácil: aquí nos ayuda el grado par del denominador.

Si lo multiplicas por, nada cambia, ¿verdad? Pero ahora resulta lo siguiente:

Los términos se invierten mágicamente. Este "fenómeno" es aplicable a cualquier expresión en un grado uniforme: podemos cambiar libremente los signos entre paréntesis. Pero es importante recordar: ¡Todos los signos cambian al mismo tiempo!¡No se puede reemplazar cambiando solo una desventaja que no queremos!

Volvamos al ejemplo:

Y nuevamente la fórmula:

Así que ahora la última regla:

¿Cómo lo vamos a demostrar? Por supuesto, como de costumbre: ampliemos el concepto de grado y simplifiquemos:

Ahora abramos los corchetes. ¿Cuántas letras habrá? veces por multiplicadores: ¿cómo se ve? Esto no es más que una definición de operación. multiplicación: solo había multiplicadores. Es decir, es, por definición, el grado de un número con exponente:

Ejemplo:

Grado irracional

Además de la información sobre las titulaciones para el nivel intermedio, analizaremos la titulación con un exponente irracional. Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente las mismas que para un grado con un exponente racional, con la excepción: después de todo, por definición, los números irracionales son números que no se pueden representar como una fracción, donde y son números enteros (que es decir, los números irracionales son todos números reales excepto los racionales).

Al estudiar títulos con un indicador natural, total y racional, cada vez inventamos una especie de "imagen", "analogía" o descripción en términos más familiares. Por ejemplo, un exponente natural es un número multiplicado por sí mismo varias veces; un número hasta el grado cero es, por así decirlo, un número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no ha comenzado a multiplicarse, lo que significa que el número en sí ni siquiera ha aparecido, por lo tanto, el resultado es solo una especie de "número en blanco", es decir, el número; un grado con un exponente entero negativo es como si tuviera lugar un cierto "proceso inverso", es decir, el número no se multiplica por sí mismo, sino que se divide.

Es extremadamente difícil imaginar un grado con un exponente irracional (al igual que es difícil imaginar un espacio de 4 dimensiones). Más bien, es un objeto puramente matemático que los matemáticos crearon para extender el concepto de grado a todo el espacio de los números.

Por cierto, en ciencia, a menudo se usa un título con un indicador complejo, es decir, el indicador ni siquiera es un número real. Pero en la escuela no pensamos en tales dificultades, tendrás la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el instituto.

Entonces, ¿qué hacemos cuando vemos un exponente irracional? ¡Estamos intentando con todas nuestras fuerzas deshacernos de él! :)

Por ejemplo:

Decide por ti mismo:

1)

2)

3)

Respuestas:

1. Recordamos la fórmula para la diferencia de cuadrados. Respuesta: .
2. Llevamos las fracciones a la misma forma: ambos decimales o ambos ordinarios. Obtenemos, por ejemplo :.
3. Nada especial, aplicamos las propiedades de grado habituales:

RESUMEN DE LA SECCIÓN Y FÓRMULAS BÁSICAS

La licenciatura se llama una expresión de la forma :, donde:

Grado entero

grado, cuyo exponente es un número natural (es decir, entero y positivo).

Grado racional

grado, cuyo exponente son números negativos y fraccionarios.

Grado irracional

grado, cuyo exponente es una raíz o fracción decimal infinita.

Propiedades de poder

Características de las titulaciones.

• Número negativo elevado a incluso grado, - número positivo.
• Número negativo elevado a impar grado, - número negativo.
• Un número positivo en cualquier grado es un número positivo.
• Cero es igual a cualquier potencia.
• Cualquier número hasta el grado cero es igual a.

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Cada operación aritmética a veces se vuelve demasiado complicada de escribir y tratan de simplificarla. Solía ​​ser lo mismo con la operación de suma. La gente necesitaba realizar múltiples adiciones del mismo tipo, por ejemplo, para calcular el costo de cien alfombras persas, cuyo costo es de 3 monedas de oro cada una. 3 + 3 + 3 +… + 3 = 300. Debido a lo engorroso, se pensó en reducir el registro a 3 * 100 = 300. De hecho, el registro "tres por cien" significa que debe tomar cien se triplica y se suman. La multiplicación echó raíces y ganó popularidad general. Pero el mundo no se detiene, y en la Edad Media se hizo necesario realizar multiplicaciones múltiples del mismo tipo. Recuerdo un viejo acertijo indio sobre un sabio que pidió la siguiente cantidad de granos de trigo como recompensa por su trabajo: pidió un grano para el primer cuadrado del tablero de ajedrez, dos para el segundo, cuatro para el tercero, ocho para el quinto, y así sucesivamente. Así apareció la primera multiplicación de potencias, porque el número de granos era igual a dos a la potencia del número de celda. Por ejemplo, en la última celda habría 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2 ^ 63 granos, que es igual a un número de 18 caracteres, que, de hecho, es el significado del acertijo.

La operación de elevarse a un poder se arraigó con bastante rapidez, y también rápidamente se hizo necesario realizar sumas, restas, divisiones y multiplicaciones de poderes. Vale la pena considerar este último con más detalle. Las fórmulas para sumar grados son simples y fáciles de recordar. Además, es muy fácil entender de dónde vienen si la operación de potencia se reemplaza por la multiplicación. Pero primero, debe comprender la terminología básica. La expresión a ^ b (lea "a elevado a la potencia de b") significa que el número a debe multiplicarse por sí mismo b veces, y "a" se llama la base del grado y "b" se llama el exponente de potencia . Si las bases de los grados son las mismas, entonces las fórmulas se derivan de manera bastante simple. Ejemplo concreto: encuentre el valor de la expresión 2 ^ 3 * 2 ^ 4. Para saber qué debería resultar, debe encontrar la respuesta en la computadora antes de comenzar la solución. Después de haber introducido esta expresión en cualquier calculadora en línea, un motor de búsqueda, escribiendo "multiplicación de grados con bases diferentes y lo mismo" o un paquete matemático, la salida será 128. Ahora escribiremos esta expresión: 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2 y 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2. Resulta que 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 7 = 2 ^ (3 + 4). Resulta que el producto de grados con la misma base es igual a la base elevada a una potencia igual a la suma de los dos grados anteriores.

Podrías pensar que esto es un accidente, pero no: cualquier otro ejemplo solo puede confirmar esta regla. Por lo tanto, en términos generales, la fórmula se ve así: a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m). También existe la regla de que cualquier número en el grado cero es igual a uno. Aquí debemos recordar la regla de las potencias negativas: a ^ (- n) = 1 / a ^ n. Es decir, si 2 ^ 3 = 8, entonces 2 ^ (- 3) = 1/8. Usando esta regla, podemos probar la igualdad a ^ 0 = 1: a ^ 0 = a ^ (nn) = a ^ n * a ^ (- n) = a ^ (n) * 1 / a ^ (n), un ^ (n) se puede cancelar y solo queda uno. De ahí la regla de que el cociente de grados con las mismas bases es igual a esta base en el grado igual al cociente del exponente del dividendo y el divisor: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m). Ejemplo: simplifique la expresión 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). La multiplicación es una operación conmutativa, por lo tanto, primero debes sumar los exponentes de la multiplicación: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 = 2 ^ (3 + 5-7 + 0) = 2 ^ 1 = 2. El siguiente paso es lidiar con la división por un exponente negativo. Es necesario restar el índice del divisor del índice del dividendo: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) = 2 ^ (1 - (- 2)) = 2 ^ (1 + 2) = 2 ^ 3 = 8. Resulta que la operación de división por grados negativos es idéntica a la operación de multiplicación por un exponente positivo similar. Entonces la respuesta final es 8.

Hay ejemplos en los que se produce una multiplicación de grados no canónica. Multiplicar grados con diferentes bases a menudo es mucho más difícil y, a veces, incluso imposible. Se deben dar varios ejemplos de diferentes técnicas posibles. Ejemplo: simplifica la expresión 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Obviamente, hay una multiplicación de potencias con diferentes bases. Pero, debe tenerse en cuenta que todas las bases tienen diferentes grados del triplete. 9 = 3 ^ 2.1 = 3 ^ 4.3 = 3 ^ 5.9 = 3 ^ 6. Usando la regla (a ^ n) ^ m = a ^ (n * m), debe reescribir la expresión en una forma más conveniente: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * (3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 = 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 = 3 ^ (7 -4 + 12-10 + 6) = 3 ^ (11). Respuesta: 3 ^ 11. En los casos en que existen diferentes motivos, la regla a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n funciona para indicadores iguales. Por ejemplo, 3 ^ 3 * 7 ^ 3 = 21 ^ 3. De lo contrario, cuando hay diferentes bases e indicadores, es imposible hacer una multiplicación completa. A veces es posible simplificar parcialmente o recurrir a la ayuda de la tecnología informática.