Reduktion af brøker til en fællesnævner
Brøker Jeg har de samme nævnere. Det siger de, at de har fællesnævner 25. Brøker og har forskellige nævnere, men de kan føres til fællesnævner ved at bruge brøkernes grundlæggende egenskab. For at gøre dette finder vi et tal, der er deleligt med 8 og 3, for eksempel 24. Lad os bringe brøkerne til nævneren 24, for at gøre dette gange vi brøkens tæller og nævner med yderligere multiplikator 3. Den ekstra faktor skrives normalt til venstre over tælleren:
Multiplicer brøkens tæller og nævner med en ekstra faktor på 8:
Lad os bringe brøkerne til en fællesnævner. Oftest reduceres brøker til en laveste fællesnævner, som er det mindste fælles multiplum af nævnerne i de givne brøker. Da LCM (8, 12) = 24, så kan brøkerne reduceres til en nævner på 24. Lad os finde yderligere faktorer for brøkerne: 24:8 = 3, 24:12 = 2. Så
Flere brøker kan reduceres til en fællesnævner.
Eksempel. Lad os bringe brøkerne til en fællesnævner. Da 25 = 5 2, 10 = 2 5, 6 = 2 3, så er LCM (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.
Lad os finde yderligere faktorer af brøker og bringe dem til nævneren 150:
Sammenligning af brøker
I fig. Figur 4.7 viser et segment AB af længde 1. Det er opdelt i 7 lige store dele. Segment AC har længde, og segment AD har længde.
Længden af segmentet AD er større end længden af segmentet AC, dvs. fraktionen er større end fraktionen
Af to brøker med fællesnævner er den med den største tæller større, dvs.
For eksempel eller
For at sammenligne to brøker skal du reducere dem til en fællesnævner og derefter anvende reglen for at sammenligne brøker med en fællesnævner.
Eksempel. Sammenlign brøker
Løsning. LCM (8, 14) = 56. Så Siden 21 > 20, så
Hvis den første fraktion er mindre end den anden, og den anden er mindre end den tredje, så er den første mindre end den tredje.
Bevis. Lad tre brøker gives. Lad os bringe dem til en fællesnævner. Efter dette, lad dem se ud som Da den første fraktion er mindre
sekund, derefter r< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для натуральных чисел следует, что r < t, тогда первая дробь меньше третьей.
Brøken kaldes korrekt, hvis dens tæller er mindre end dens nævner.
Brøken kaldes forkert, hvis dens tæller er større end eller lig med nævneren.
For eksempel er brøker rigtige og brøker er ukorrekte.
En egentlig brøk er mindre end 1, og en uægte brøk er større end eller lig med 1.
I denne lektion vil vi se på at reducere brøker til en fællesnævner og løse problemer om dette emne. Lad os definere begrebet en fællesnævner og en yderligere faktor, minde om det gensidige primtal. Lad os definere begrebet den laveste fællesnævner (LCD) og løse en række problemer for at finde det.
Emne: Tilføjelse og subtraktion af brøker med forskellige nævnere
Lektion: Reduktion af brøker til en fællesnævner
Gentagelse. Hovedegenskaben ved en brøk.
Hvis tælleren og nævneren af en brøk ganges eller divideres med det samme naturligt tal, så får du en brøk lig med den.
For eksempel kan tælleren og nævneren for en brøk divideres med 2. Vi får brøken. Denne operation kaldes fraktionsreduktion. Du kan også udføre den inverse transformation ved at gange brøkens tæller og nævner med 2. I dette tilfælde siger vi, at vi har reduceret brøken til en ny nævner. Tallet 2 kaldes en ekstra faktor.
Konklusion. En brøk kan reduceres til en hvilken som helst nævner, der er et multiplum af nævneren for den givne brøk. For at bringe en brøk til en ny nævner, ganges dens tæller og nævner med en ekstra faktor.
1. Reducer brøken til nævneren 35.
Tallet 35 er et multiplum af 7, det vil sige, at 35 er deleligt med 7 uden en rest. Det betyder, at denne transformation er mulig. Lad os finde en ekstra faktor. For at gøre dette skal du dividere 35 med 7. Vi får 5. Gang tælleren og nævneren for den oprindelige brøk med 5.
2. Reducer brøken til nævner 18.
Lad os finde en ekstra faktor. For at gøre dette skal du dividere den nye nævner med den oprindelige. Vi får 3. Gang tælleren og nævneren for denne brøk med 3.
3. Reducer brøken til en nævner på 60.
At dividere 60 med 15 giver en ekstra faktor. Det er lig med 4. Gang tælleren og nævneren med 4.
4. Reducer brøken til nævneren 24
I simple tilfælde udføres reduktion til en ny nævner mentalt. Det er kun sædvanligt at angive den ekstra faktor bag en parentes lidt til højre og over den oprindelige brøk.
En brøk kan reduceres til en nævner på 15 og en brøk kan reduceres til en nævner på 15. Brøker har også en fællesnævner på 15.
Fællesnævneren for brøker kan være et hvilket som helst fælles multiplum af deres nævnere. For nemheds skyld reduceres brøker til deres laveste fællesnævner. Det er lig med det mindste fælles multiplum af nævnerne af de givne brøker.
Eksempel. Reducer brøkerne og til den laveste fællesnævner.
Lad os først finde det mindste fælles multiplum af nævnerne for disse brøker. Dette tal er 12. Lad os finde en ekstra faktor for første og anden brøk. For at gøre dette skal du dividere 12 med 4 og 6. Tre er en ekstra faktor for den første brøk, og to er for den anden. Lad os bringe brøkerne til nævneren 12.
Vi bragte brøkerne til en fællesnævner, det vil sige, at vi fandt lige store brøker, der har samme nævner.
Herske. For at reducere brøker til deres laveste fællesnævner skal du
Find først det mindste fælles multiplum af disse brøkers nævnere, det vil være deres mindste fællesnævner;
For det andet skal du dividere den laveste fællesnævner med nævnerne af disse brøker, dvs. finde en ekstra faktor for hver brøk.
For det tredje skal du gange tælleren og nævneren for hver brøk med dens ekstra faktor.
a) Reducer brøkerne og til en fællesnævner.
Den laveste fællesnævner er 12. Tillægsfaktoren for den første brøk er 4, for den anden - 3. Vi reducerer brøkerne til nævneren 24.
b) Reducer brøkerne og til en fællesnævner.
Den laveste fællesnævner er 45. At dividere 45 med 9 med 15 giver henholdsvis 5 og 3. Vi reducerer brøkerne til nævneren 45.
c) Reducer brøkerne og til en fællesnævner.
Fællesnævneren er 24. Yderligere faktorer er henholdsvis 2 og 3.
Nogle gange kan det være svært verbalt at finde det mindste fælles multiplum af nævnerne af givne brøker. Derefter findes fællesnævneren og yderligere faktorer ved hjælp af primtalsfaktorisering.
Reducer brøkerne og til en fællesnævner.
Lad os indregne tallene 60 og 168 til primfaktorer. Lad os skrive udvidelsen af tallet 60 ud og tilføje de manglende faktorer 2 og 7 fra den anden udvidelse. Lad os gange 60 med 14 og få en fællesnævner på 840. Den ekstra faktor for den første brøk er 14. Den ekstra faktor for den anden brøk er 5. Lad os bringe brøkerne til en fællesnævner på 840.
Referencer
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. og andre Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6 klasse. - Gymnasium, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bag siderne i en matematik lærebog. - Oplysning, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Opgaver til matematikkurset for 5.-6. - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. En manual for 6. klasses elever på MEPhI korrespondanceskolen. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. og andre Matematik: Lærebog-samtaler for klasse 5-6 gymnasium. Matematiklærerens bibliotek. - Oplysning, 1989.
Du kan downloade bøgerne specificeret i paragraf 1.2. af denne lektion.
Lektier
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. og andre Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (link se 1.2)
Hjemmearbejde: nr. 297, nr. 298, nr. 300.
Øvrige opgaver: nr. 270, nr. 290
Hvordan man reducerer brøker til en fællesnævner
Hvis almindelige brøker har de samme nævnere, så siges de at være det brøker reduceres til en fællesnævner.
Eksempel 1
For eksempel har brøkerne $\frac(3)(18)$ og $\frac(20)(18)$ de samme nævnere. De siges at have en fællesnævner på $18$. Brøkerne $\frac(1)(29)$, $\frac(7)(29)$ og $\frac(100)(29)$ har også de samme nævnere. De siges at have en fællesnævner på $29$.
Hvis brøker har forskellige nævnere, kan de reduceres til en fællesnævner. For at gøre dette skal du gange deres tællere og nævnere med visse yderligere faktorer.
Eksempel 2
Sådan reduceres to brøker $\frac(6)(11)$ og $\frac(2)(7)$ til en fællesnævner.
Løsning.
Lad os gange brøkerne $\frac(6)(11)$ og $\frac(2)(7)$ med yderligere faktorer henholdsvis $7$ og $11$, og bringe dem til en fællesnævner $77$:
$\frac(6\cdot 7)(11\cdot 7)=\frac(42)(77)$
$\frac(2\cdot 11)(7\cdot 11)=\frac(22)(77)$
Således, reducere brøker til en fællesnævner er multiplikationen af tæller og nævner af givne brøker med yderligere faktorer, som resulterer i brøker med samme nævnere.
Fællesnævner
Definition 1
Ethvert positivt fælles multiplum af alle nævnerne i et sæt brøker kaldes fællesnævner.
Med andre ord er fællesnævneren for de givne almindelige brøker ethvert naturligt tal, der kan divideres med alle nævnerne i de givne brøker.
Definitionen indebærer et uendeligt antal fællesnævnere for et givet sæt af brøker.
Eksempel 3
Find fællesnævnerne for brøkerne $\frac(3)(7)$ og $\frac(2)(13)$.
Løsning.
Disse brøker har nævnere svarende til henholdsvis $7$ og $13$. Positive fælles multipla af $2$ og $5$ er $91, 182, 273, 364$ osv.
Ethvert af disse tal kan bruges som fællesnævner for brøkerne $\frac(3)(7)$ og $\frac(2)(13)$.
Eksempel 4
Bestem om brøkerne $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ og $\frac(11)(9)$ kan reduceres til en fællesnævner $252$.
Løsning.
For at bestemme, hvordan man konverterer en brøk til fællesnævneren $252$, skal du kontrollere, om tallet $252$ er et fælles multiplum af nævnerne $2, 7$ og $9$. For at gøre dette skal du dividere tallet $252$ med hver af nævnerne:
$\frac(252)(2)=126,$ $\frac(252)(7)=36$, $\frac(252)(9)=28$.
Tallet $252$ er deleligt med alle nævnere, dvs. er et fælles multiplum af $2, 7$ og $9$. Det betyder, at de givne brøker $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ og $\frac(11)(9)$ kan reduceres til en fællesnævner $252$.
Svar: du kan.
Laveste fællesnævner
Definition 2
Blandt alle fællesnævnerne for givne brøker kan vi skelne det mindste naturlige tal, som kaldes laveste fællesnævner.
Fordi LCM er den mindst positive fælles divisor af et givet sæt tal, så er LCM for nævnerne af de givne brøker den mindste fællesnævner af de givne brøker.
Derfor, for at finde den mindste fællesnævner af brøker, skal du finde LCM for nævnerne af disse brøker.
Eksempel 5
De givne brøker er $\frac(4)(15)$ og $\frac(37)(18)$. Find deres laveste fællesnævner.
Løsning.
Nævnerne for disse brøker er $15$ og $18$. Lad os finde den mindste fællesnævner som LCM for tallene $15$ og $18$. For at gøre dette bruger vi dekomponeringen af tal til primfaktorer:
$15=3\cdot 5$, $18=2\cdot 3\cdot 3$
$NOK(15, 18)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.
Svar: $90$.
Regel for reduktion af brøker til laveste fællesnævner
Oftest ved løsning af problemer inden for algebra, geometri, fysik mv. accepteret almindelige brøker reducere til den laveste fællesnævner i stedet for til en hvilken som helst fællesnævner.
Algoritme:
- Find den mindste fællesnævner ved at bruge LCM for nævnerne af de givne brøker.
- 2.Beregn tillægsfaktoren for de givne brøker. For at gøre dette skal den fundne laveste fællesnævner divideres med nævneren for hver brøk. Det resulterende tal vil være en yderligere faktor af denne brøkdel.
- Gang tælleren og nævneren for hver brøk med den fundne yderligere faktor.
Eksempel 6
Find den mindste fællesnævner for brøkerne $\frac(4)(16)$ og $\frac(3)(22)$ og reducer begge brøker til den.
Løsning.
Lad os bruge en algoritme til at reducere brøker til den laveste fællesnævner.
Lad os beregne det mindste fælles multiplum af $16$ og $22$:
Lad os indregne nævnerne i simple faktorer: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, $22=2\cdot 11$.
$NOK(16, 22)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 11=176$.
Lad os beregne yderligere faktorer for hver brøk:
$176\div 16=11$ – for brøken $\frac(4)(16)$;
$176\div 22=8$ – for fraktionen $\frac(3)(22)$.
Lad os gange tællere og nævnere af brøkerne $\frac(4)(16)$ og $\frac(3)(22)$ med yderligere faktorer henholdsvis $11$ og $8$. Vi får:
$\frac(4)(16)=\frac(4\cdot 11)(16\cdot 11)=\frac(44)(176)$
$\frac(3)(22)=\frac(3\cdot 8)(22\cdot 8)=\frac(24)(176)$
Begge brøker er reduceret til den laveste fællesnævner $176$.
Svar: $\frac(4)(16)=\frac(44)(176)$, $\frac(3)(22)=\frac(24)(176)$.
Nogle gange kræver det at finde den laveste fællesnævner en række tidskrævende beregninger, som måske ikke retfærdiggør formålet med at løse problemet. I dette tilfælde kan du bruge det meste enkel måde– reducere brøker til en fællesnævner, som er produktet af disse brøkers nævnere.
Denne artikel forklarer hvordan man finder den laveste fællesnævner Og hvordan man reducerer brøker til en fællesnævner. Først gives definitionerne af fællesnævner for brøker og mindste fællesnævner, og det vises, hvordan man finder fællesnævneren for brøker. Nedenfor er en regel for reduktion af brøker til en fællesnævner, og eksempler på anvendelsen af denne regel overvejes. Afslutningsvis eksempler på at bringe tre og mere brøker til en fællesnævner.
Sidenavigation.
Hvad kaldes at reducere brøker til en fællesnævner?
Nu kan vi sige, hvad det er at reducere brøker til en fællesnævner. Reduktion af brøker til en fællesnævner- Dette er multiplikationen af tællere og nævnere af givne brøker med sådanne yderligere faktorer, at resultatet er brøker med de samme nævnere.
Fællesnævner, definition, eksempler
Nu er det tid til at definere fællesnævneren for brøker.
Med andre ord er fællesnævneren for et bestemt sæt almindelige brøker ethvert naturligt tal, der er deleligt med alle nævnerne i disse brøker.
Af den angivne definition følger det, at et givet brøksæt har uendeligt mange fællesnævnere, da der er et uendeligt antal fælles multipla af alle nævnere i det oprindelige brøksæt.
Ved at bestemme fællesnævneren for brøker kan du finde fællesnævnerne for givne brøker. Lad for eksempel, givet brøkerne 1/4 og 5/6, deres nævnere er henholdsvis 4 og 6. Positive fælles multipla af tallene 4 og 6 er tallene 12, 24, 36, 48, ... Ethvert af disse tal er en fællesnævner for brøkerne 1/4 og 5/6.
For at konsolidere materialet skal du overveje løsningen til følgende eksempel.
Eksempel.
Kan brøkerne 2/3, 23/6 og 7/12 reduceres til en fællesnævner på 150?
Løsning.
For at besvare spørgsmålet skal vi finde ud af, om tallet 150 er et fælles multiplum af nævnerne 3, 6 og 12. For at gøre dette, lad os kontrollere, om 150 er deleligt med hvert af disse tal (se om nødvendigt reglerne og eksemplerne på at dividere naturlige tal, samt reglerne og eksemplerne på at dividere naturlige tal med en rest): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (resterende 6).
Så, 150 er ikke ligeligt deleligt med 12, derfor er 150 ikke et fælles multiplum af 3, 6 og 12. Derfor kan tallet 150 ikke være fællesnævneren for de oprindelige brøker.
Svar:
Det er forbudt.
Laveste fællesnævner, hvordan finder man den?
I mængden af tal, der er fællesnævnere for givne brøker, er der et mindste naturligt tal, som kaldes den mindste fællesnævner. Lad os formulere definitionen af den laveste fællesnævner for disse brøker.
Definition.
Laveste fællesnævner- Det her mindste antal, fra alle fællesnævnere for disse brøker.
Det er tilbage at beskæftige sig med spørgsmålet om, hvordan man finder den mindste fælles divisor.
Siden er den mindste positiv fælles divisor af et givet sæt tal, så er LCM for nævnerne af de givne brøker den mindste fællesnævner af de givne brøker.
At finde den laveste fællesnævner for brøker kommer således ned til nævnerne for disse brøker. Lad os se på løsningen på eksemplet.
Eksempel.
Find den laveste fællesnævner for brøkerne 3/10 og 277/28.
Løsning.
Nævnerne for disse brøker er 10 og 28. Den ønskede laveste fællesnævner findes som LCM for tallene 10 og 28. I vores tilfælde er det nemt: da 10=2·5, og 28=2·2·7, så LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.
Svar:
140 .
Hvordan reducerer man brøker til en fællesnævner? Regler, eksempler, løsninger
Fællesbrøker resulterer normalt i en laveste fællesnævner. Vi vil nu skrive en regel ned, der forklarer, hvordan man reducerer brøker til deres laveste fællesnævner.
Regel for reduktion af brøker til laveste fællesnævner består af tre trin:
- Find først den laveste fællesnævner for brøkerne.
- For det andet beregnes en ekstra faktor for hver brøk ved at dividere den laveste fællesnævner med nævneren for hver brøk.
- For det tredje ganges tælleren og nævneren for hver brøk med dens yderligere faktor.
Lad os anvende den angivne regel til at løse det følgende eksempel.
Eksempel.
Reducer brøkerne 5/14 og 7/18 til deres laveste fællesnævner.
Løsning.
Lad os udføre alle trinene i algoritmen for at reducere brøker til den laveste fællesnævner.
Først finder vi den mindste fællesnævner, som er lig med det mindste fælles multiplum af tallene 14 og 18. Da 14=2·7 og 18=2·3·3, så LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.
Nu beregner vi yderligere faktorer, ved hjælp af hvilke brøkerne 5/14 og 7/18 reduceres til nævneren 126. For brøken 5/14 er den ekstra faktor 126:14=9, og for brøken 7/18 er den ekstra faktor 126:18=7.
Tilbage er at gange tællere og nævnere af brøkerne 5/14 og 7/18 med yderligere faktorer henholdsvis 9 og 7. Vi har og 
.
Så reduktionen af brøkerne 5/14 og 7/18 til den laveste fællesnævner er færdig. De resulterende fraktioner var 45/126 og 49/126.