Trekant) eller passere uden for trekanten ved en stump trekant.

Encyklopædisk YouTube

1 / 5

✪ HØJDEMIDDELANS BIsectrix af en trekant Grad 7

✪ halveringslinje, median, højde af en trekant. Geometri 7 klasse

✪ Klasse 7, lektion 17, Medianer, halveringslinjer og højder af en trekant

✪ Median, halveringslinje, trekants højde | Geometri

✪ Hvordan finder man længden af ​​halveringslinjen, medianen og højden? | Nørd med mig #031 | Boris Trushin

Undertekster

Egenskaber for skæringspunktet mellem tre højder af en trekant (orthocenter)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ overrightarrow (CA))+(\overrightarrow (EC))\cdot (\overrightarrow (AB))=0)

(For at bevise identiteten skal du bruge formlerne

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA )),\,(\overhøjrepil (BC))=(\overhøjrepil (EC))-(\overhøjrepil (EB)),\,(\overhøjrepil (CA))=(\overhøjrepil (EA))-(\overhøjrepil (EF)))

Skæringspunktet mellem to højder af trekanten skal tages som punkt E.)

• Ortocenter isogonalt konjugeret til midten afgrænset cirkel .
• Ortocenter ligger på samme linje som tyngdepunktet, midten omkredse og midten af ​​en cirkel med ni punkter (se Eulers rette linje).
• Ortocenter af en spids trekant er midten af ​​cirklen indskrevet i dens ortotrekant.
• Centrum af en trekant beskrevet af ortocenteret med spidser i midtpunkterne af siderne i den givne trekant. Den sidste trekant kaldes den komplementære trekant til den første trekant.
• Den sidste egenskab kan formuleres på følgende måde: Cirklens centrum afgrænset om trekanten tjener ortocenter ekstra trekant.
• Punkter, symmetriske ortocenter af en trekant med hensyn til dens sider ligge på den omskrevne cirkel.
• Punkter, symmetriske ortocenter trekanter i forhold til sidernes midtpunkter ligger også på den omskrevne cirkel og falder sammen med punkter diametralt modsat de tilsvarende toppunkter.
• Hvis O er midten af ​​den omskårne cirkel ΔABC, så O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overhøjrepil (OH))=(\overhøjrepil (OA))+(\overhøjrepil (OB))+(\overhøjrepil (OC))) ,
• Afstanden fra trekantens toppunkt til ortocenteret er dobbelt så stor som afstanden fra midten af ​​den omskrevne cirkel til den modsatte side.
• Ethvert segment tegnet fra ortocenter Før den krydser den omskrevne cirkel, deles den altid i to af Euler-cirklen. Ortocenter er homotetisk centrum for disse to cirkler.
• Hamiltons sætning. Tre lige linjestykker, der forbinder orthocentret med hjørnerne af en spids trekant, deler det i tre trekanter med samme Euler-cirkel (cirkel med ni punkter) som den oprindelige spidse trekant.
• Følger af Hamiltons sætning:
  • Tre lige linjestykker, der forbinder orthocenteret med hjørnerne af en spids trekant, deler det i tre Hamilton trekant med lige store radier af omskrevne cirkler.
  • Radierne af omskrevne cirkler af tre Hamilton trekanter lig med radius af cirklen omskrevet om den oprindelige spidse trekant.
• I en spids trekant ligger ortocentret inde i trekanten; i en stump vinkel - uden for trekanten; i en rektangulær - i toppunktet af en ret vinkel.

Egenskaber for højder af en ligebenet trekant

• Hvis to højder i en trekant er lige store, så er trekanten ligebenet (Steiner-Lemus-sætningen), og den tredje højde er både medianen og halveringslinjen for den vinkel, hvorfra den kommer frem.
• Det omvendte er også sandt: I en ligebenet trekant er to højder lige store, og den tredje højde er både medianen og halveringslinjen.
• En ligesidet trekant har alle tre højder lige.

Egenskaber for højdebaserne i en trekant

• Grunde højder danner en såkaldt ortotrekant, som har sine egne egenskaber.
• Cirklen, der er afgrænset om en ortotrekant, er Euler-cirklen. Denne cirkel indeholder også tre midtpunkter af trekantens sider og tre midtpunkter af tre segmenter, der forbinder orthocentret med trekantens hjørner.
• En anden formulering af den sidste egenskab:
  • Eulers sætning for en cirkel med ni punkter. Grunde tre højder vilkårlig trekant, midtpunkterne af dens tre sider ( grundlaget for dets indre medianer) og midtpunkterne af tre segmenter, der forbinder dets toppunkter med ortocentret, ligger alle på den samme cirkel (på ni punkts cirkel).
• Sætning. I enhver trekant forbinder segmentet grunde to højder trekant, skærer en trekant af, der ligner den givne.
• Sætning. I en trekant forbinder segmentet grunde to højder trekanter liggende på to sider antiparallel til en tredjemand, som han ikke har fælles fodslag med. En cirkel kan altid tegnes gennem dens to ender, såvel som gennem de to spidser på den tredje nævnte side.

Andre egenskaber ved trekanthøjder

• Hvis en trekant alsidig (scalene), så det indre halveringslinjen trukket fra ethvert toppunkt ligger imellem indre median og højde trukket fra samme toppunkt.
• Højden af ​​en trekant er isogonalt konjugeret med diameteren (radius) afgrænset cirkel, tegnet fra samme toppunkt.
• I en spids trekant er der to højder skær lignende trekanter af det.
• I en retvinklet trekant højde, tegnet fra toppen af ​​en ret vinkel, opdeler den i to trekanter, der ligner den oprindelige.

Egenskaber for minimumshøjden af ​​en trekant

Minimumshøjden af ​​en trekant har mange ekstreme egenskaber. For eksempel:

• Den mindste ortogonale projektion af en trekant på linjer, der ligger i trekantens plan, har en længde svarende til den mindste af dens højder.
• Det mindste lige snit i det plan, hvorigennem en stiv trekantet plade kan trækkes, skal have en længde svarende til den mindste af højderne af denne plade.
• Med den kontinuerlige bevægelse af to punkter langs trekantens omkreds mod hinanden, kan den maksimale afstand mellem dem under bevægelsen fra det første møde til det andet ikke være mindre end længden af ​​trekantens mindste højde.
• Minimumshøjden i en trekant ligger altid inden for denne trekant.

Grundlæggende relationer

• h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b(\cdot )\sin \gamma =c(\cdot )\sin \beta ,)
• h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot )S)(a)),) Hvor S (\displaystyle S)- areal af trekanten, a (\displaystyle a)- længden af ​​den side af trekanten, som højden sænkes med.
• h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot )c)(2(\cdot )R)),) Hvor b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot )c)- produkt af siderne, R − (\displaystyle R-) omskrevne cirkelradius
• h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) .
• (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(b(\cdot )c):(a(\cdot )c):(a(\cdot )b).) 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))) , Hvor r (\displaystyle r)
• S = 1 (1 t a + 1 t b + 1 t c) ⋅ (1 h a + 1 t b − 1 t c) ⋅ (1 h a + 1 t c − 1 t b) ⋅ (1 t b + 1 t c − 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a))))))))) 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))) S (\displaystyle S)- areal af trekanten.
• a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\ displaystyle a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1) )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (en))))))))), a (\displaystyle a)- den side af trekanten, som højden falder til h a (\displaystyle h_(a)).
• Højden af ​​en ligebenet trekant sænket til basen: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ),)

Hvor c (\displaystyle c)- base, a (\displaystyle a)- side.

Højdesætning for højre trekant

Hvis højden i en retvinklet trekant ABC er af længde h (\displaystyle h) trukket fra toppunktet i en ret vinkel, dividerer hypotenusen med længden c (\displaystyle c) i segmenter m (\displaystyle m) Og n (\displaystyle n), svarende til benene b (\displaystyle b) Og a (\displaystyle a), så er følgende ligheder sande.

Egenskaber

• Højderne i en trekant skærer hinanden i et punkt, kaldet ortocenteret. - Dette udsagn er let at bevise ved hjælp af en vektoridentitet, der er gyldig for alle punkter A, B, C, E, ikke nødvendigvis engang dem, der ligger i samme plan:

(For at bevise identiteten skal du bruge formlerne

Skæringspunktet mellem to højder af trekanten skal tages som punkt E.)

• I en retvinklet trekant opdeler højden tegnet fra toppunktet af den rette vinkel den i to trekanter, der ligner den oprindelige.
• I en spids trekant afskærer dens to højder lignende trekanter fra den.
• Højdernes baser danner en såkaldt ortotrekant, som har sine egne egenskaber.

Minimumshøjden af ​​en trekant har mange ekstreme egenskaber. For eksempel:

• Den mindste ortogonale projektion af en trekant på linjer, der ligger i trekantens plan, har en længde svarende til den mindste af dens højder.

• Det mindste lige snit i det plan, hvorigennem en stiv trekantet plade kan trækkes, skal have en længde svarende til den mindste af højderne af denne plade.

• Med den kontinuerlige bevægelse af to punkter langs trekantens omkreds mod hinanden, kan den maksimale afstand mellem dem under bevægelsen fra det første møde til det andet ikke være mindre end længden af ​​trekantens mindste højde.

Minimumshøjden i en trekant ligger altid inden for denne trekant.

Grundlæggende relationer

hvor er arealet af trekanten, er længden af ​​den side af trekanten, hvormed højden sænkes.

hvor er basen.

Højdesætning for højre trekant

Hvis en højde af længden h tegnet fra toppunktet af en ret vinkel deler hypotenusen af ​​længden c i segmenter m og n svarende til b og a, så er følgende ligheder sande:

Mnemonisk digt

Højden er som en kat, der buer ryggen, Og i rette vinkler forbinder toppen og siden med halen.

Se også

Links

Wikimedia Foundation.

2010.

Se, hvad "Højde af en trekant" er i andre ordbøger: HØJDE, højder, flertal. højder, højder, kvinder 1. kun enheder Forlængelse fra bund til top, højde. Husets højde. Tårn af stor højde. || (pl. kun særlige videnskabelige). Afstand fra jordens overflade, målt langs en lodret linje fra bund til top. Flyet fløj...

Ushakovs forklarende ordbog

højde Dette udtryk har andre betydninger, se Højde (betydninger). Højde i elementær geometri er et vinkelret segment sænket fra toppen af ​​en geometrisk figur (for eksempel en trekant, pyramide, kegle) til dens base eller til ... ... Wikipedia - ы/; pl. højde/dig; og. se også højhus, højhus 1) Størrelse, længde af noget. fra bunden til toppen, fra bunden til toppen. Højde/ af et hus, træ, bjerg. Højde/bølger. Dæmningen er hundrede fem fod høj...

Ordbog over mange udtryk Y; pl. højder; og. 1. Størrelse, længde af noget. fra bunden til toppen, fra bunden til toppen. V. huse, træer, bjerge. V. bølger. Dæmningen er hundrede og halvtreds meter høj. Mål, bestem højden af ​​noget. 2. Afstand, hvorfra l. overflade til... ...

Encyklopædisk ordbog højden af ​​den originale trådtrekant - (H) Afstanden mellem spidsen og bunden af ​​den oprindelige trådtrekant i en retning vinkelret på trådens akse. [GOST 11708 82 (ST SEV 2631 80)] Emner om udskiftelighedsstandarder Generelle termer grundlæggende elementer og gevindparametre EN... ...

Teknisk oversættervejledning

Højde er dimensionen eller afstanden i lodret retning. Andre betydninger: I astronomi: Højden af ​​armaturet er vinklen mellem den matematiske horisonts plan og retningen mod armaturet. I militære anliggender: Højde er højden af ​​relieffet. I... ... Wikipedia Y; pl. højder; og. 1. Størrelse, længde af noget. fra bunden til toppen, fra bunden til toppen. V. huse, træer, bjerge. V. bølger. Dæmningen er hundrede og halvtreds meter høj. Mål, bestem højden af ​​noget. 2. Afstand, hvorfra l. overflade til... ...

HØJDE, i geometri, faldt et vinkelret segment fra toppen af ​​en geometrisk figur (f.eks. trekant, pyramide, kegle) til dens base (eller fortsættelse af basen), såvel som længden af ​​dette segment. Højden af ​​et prisme, en cylinder, et sfærisk lag og... ... I geometri, et vinkelret segment trukket fra toppunktet af en geometrisk figur (f.eks. trekant, pyramide, kegle) til dens base (eller fortsættelse af basen), såvel som længden af ​​dette segment. Højden af ​​prisme, cylinder, sfærisk lag, samt... ...

HØJDE, s, flertal. fra, fra, fra, hustruer. 1. Størrelse, længde af noget. fra bundpunktet til toppen. B. murværk. V. surf. V. cyklon. 2. Plads, afstand fra jorden og op. Kig op. Flyet er ved at vinde højde. Flyv til... ... Ozhegovs forklarende ordbog

Højde i geometri, et vinkelret segment ned fra toppen af ​​en geometrisk figur (for eksempel en trekant, pyramide, kegle) til dens base eller fortsættelse af basen, såvel som længden af ​​dette segment. B. prisme, cylinder, sfærisk lag,... ... Store sovjetiske encyklopædi

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig med unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, i retssager og/eller på grundlag af offentlige anmodninger eller anmodninger fra regeringsorganer i Den Russiske Føderation - om at videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

En trekant er en polygon med tre sider, eller en lukket stiplet linje med tre led, eller en figur dannet af tre segmenter, der forbinder tre punkter, der ikke ligger på den samme rette linje (se fig. 1).

Grundlæggende elementer i trekant abc

Toppe – punkt A, B og C;

Fester – segmenterne a = BC, b = AC og c = AB, der forbinder hjørnerne;

Vinkler – α, β, γ dannet af tre par sider. Vinkler er ofte betegnet på samme måde som hjørner med bogstaverne A, B og C.

Vinklen, der dannes af siderne af en trekant, og som ligger i dens indre område, kaldes en indre vinkel, og den, der støder op til den, er trekantens tilstødende vinkel (2, s. 534).

Højder, medianer, halveringslinjer og midterlinjer i en trekant

Ud over hovedelementerne i en trekant betragtes andre segmenter med interessante egenskaber også: højder, medianer, halveringslinjer og midterlinjer.

Højde

Trekanthøjder- disse er vinkelrette lodrette punkter fra trekantens spidser til modsatte sider.

For at plotte højden skal du udføre følgende trin:

1) tegne en lige linje, der indeholder en af ​​trekantens sider (hvis højden er tegnet fra toppunktet af en spids vinkel i en stump trekant);

2) fra toppunktet, der ligger over for den tegnede linje, tegn et segment fra punktet til denne linje, lav en vinkel på 90 grader med det.

Punktet, hvor højden skærer siden af ​​trekanten kaldes højde base (se fig. 2).

Egenskaber for trekanthøjder

I en retvinklet trekant opdeler højden tegnet fra toppunktet af den rette vinkel den i to trekanter, der ligner den oprindelige trekant.

I en spids trekant afskærer dens to højder lignende trekanter fra den.

Hvis trekanten er spids, så hører alle højdernes grundflader til trekantens sider, og i en stump trekant falder to højder på fortsættelsen af ​​siderne.

Tre højder i en spids trekant skærer hinanden i et punkt, og dette punkt kaldes ortocenter trekant.

Median

Medianer(fra latin mediana – “midt”) - disse er segmenter, der forbinder trekantens toppunkter med midtpunkterne på de modsatte sider (se fig. 3).

For at konstruere medianen skal du udføre følgende trin:

1) find midten af ​​siden;

2) forbind punktet, der er midten af ​​siden af ​​trekanten, med det modsatte toppunkt med et segment.

Egenskaber for trekantmedianer

Medianen deler en trekant i to trekanter med samme areal.

Medianerne af en trekant skærer hinanden i et punkt, som deler hver af dem i forholdet 2:1, tællet fra toppunktet. Dette punkt kaldes tyngdepunkt trekant.

Hele trekanten er opdelt med sine medianer i seks lige store trekanter.

Bisector

Halvere(fra latin bis - to gange og seko - cut) er de lige linjestykker indesluttet i en trekant, der halverer dens vinkler (se fig. 4).

For at konstruere en halveringslinje skal du udføre følgende trin:

1) konstruer en stråle, der kommer ud fra vinklens toppunkt og deler den i to lige store dele (halveringslinjen af ​​vinklen);

2) find skæringspunktet for halveringslinjen af ​​trekantens vinkel med den modsatte side;

3) vælg et segment, der forbinder trekantens toppunkt med skæringspunktet på den modsatte side.

Egenskaber for trekanthalveringslinjer

Halseringslinjen af ​​en vinkel i en trekant deler den modsatte side i et forhold, der er lig med forholdet mellem de to tilstødende sider.

Halveringslinjerne for de indre vinkler i en trekant skærer hinanden i et punkt. Dette punkt kaldes midten af ​​den indskrevne cirkel.

De indre og ydre vinklers halveringslinjer er vinkelrette.

Hvis halveringslinjen af ​​en ydre vinkel i en trekant skærer forlængelsen af ​​den modsatte side, så ADBD=ACBC.

Halveringslinjerne i en indre og to ydre vinkler i en trekant skærer hinanden i et punkt. Dette punkt er midten af ​​en af ​​de tre cirkler i denne trekant.

Grundlaget for halveringslinjen af ​​to indre og en ydre vinkel i en trekant ligger på den samme rette linje, hvis halveringslinjen for den ydre vinkel ikke er parallel med trekantens modsatte side.

Hvis halveringslinjerne for de ydre vinkler i en trekant ikke er parallelle med modsatte sider, så ligger deres baser på den samme rette linje.