Denne artikel forklarer, hvordan man reducerer brøker til en fællesnævner, og hvordan man finder den laveste fællesnævner. Definitioner er givet, reglen for reduktion af brøker til en fællesnævner er givet, og praktiske eksempler overvejes.
Hvad er at reducere en brøk til en fællesnævner?
Almindelige brøker består af en tæller - den øverste del, og en nævner - den nederste del. Hvis brøker har samme nævner, siges de at være reduceret til en fællesnævner. For eksempel har brøkerne 11 14, 17 14, 9 14 samme nævner 14. De er med andre ord reduceret til en fællesnævner.
Hvis brøkerne har forskellige nævnere, så kan de altid bringes til en fællesnævner ved hjælp af simple handlinger. For at gøre dette skal du gange tælleren og nævneren med visse yderligere faktorer.
Det er indlysende, at brøkerne 4 5 og 3 4 ikke er reduceret til en fællesnævner. For at gøre dette skal du bruge yderligere faktorer på 5 og 4 for at bringe dem til en nævner på 20. Hvordan præcist gør man dette? Gang tælleren og nævneren af brøken 4 5 med 4, og gang tælleren og nævneren for brøken 3 4 med 5. I stedet for brøkerne 4 5 og 3 4 får vi henholdsvis 16 20 og 15 20.
Reduktion af brøker til en fællesnævner
At reducere brøker til en fællesnævner er multiplikationen af brøkernes tællere og nævnere med sådanne faktorer, at resultatet er identiske brøker med samme nævner.
Fællesnævner: definition, eksempler
Hvad er fællesnævneren?
Fællesnævner
Fællesnævneren for brøker er enhver positivt tal, som er det fælles multiplum af alle givne brøker.
Med andre ord vil fællesnævneren for et bestemt sæt brøker være et naturligt tal, der er deleligt med alle nævnerne i disse brøker uden en rest.
Række naturlige tal er uendelig og derfor per definition hvert sæt almindelige brøker har et uendeligt antal fællesnævnere. Med andre ord er der uendeligt mange fælles multipla af alle nævnerne i det oprindelige sæt af brøker.
Fællesnævneren for flere brøker er let at finde ved hjælp af definitionen. Lad der være brøk 1 6 og 3 5. Fællesnævneren for brøkerne vil være ethvert positivt fælles multiplum af tallene 6 og 5. Sådanne positive fælles multipla er tallene 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 og så videre.
Lad os se på et eksempel.
Eksempel 1. Fællesnævner
Kan brøkerne 1 3, 21 6, 5 12 bringes til en fællesnævner, som er 150?
For at finde ud af, om dette er tilfældet, skal du kontrollere, om 150 er et fælles multiplum af nævnerne af brøker, det vil sige for tallene 3, 6, 12. Med andre ord skal tallet 150 være deleligt med 3, 6, 12 uden en rest. Lad os tjekke:
150 ÷ 3 = 50, 150 ÷ 6 = 25, 150 ÷ 12 = 12,5
Det betyder, at 150 ikke er fællesnævneren for disse brøker.
Laveste fællesnævner
Det mindste naturlige tal blandt de mange fællesnævnere i et sæt brøker kaldes den mindste fællesnævner.
Laveste fællesnævner
Den mindste fællesnævner for en brøk er det mindste tal blandt alle fællesnævnerne for disse brøker.
Den mindste fælles divisor af et givet sæt tal er det mindste fælles multiplum (LCM). LCM for alle nævnere af brøker er den mindste fællesnævner for disse brøker.
Hvordan finder man den laveste fællesnævner? At finde det kommer ned til at finde det mindste fælles multiplum af brøkerne. Lad os se på et eksempel:
Eksempel 2: Find den laveste fællesnævner
Vi skal finde den laveste fællesnævner for brøkerne 1 10 og 127 28.
Vi leder efter LCM for tallene 10 og 28. Lad os indregne dem i simple faktorer og få:
10 = 2 5 28 = 2 2 7 N O K (15, 28) = 2 2 5 7 = 140
Sådan reduceres brøker til laveste fællesnævner
Der er en regel, der forklarer, hvordan man reducerer brøker til en fællesnævner. Reglen består af tre punkter.
Reglen for at reducere brøker til en fællesnævner
- Find den laveste fællesnævner for brøker.
- Find en ekstra faktor for hver brøk. For at finde faktoren skal du dividere den laveste fællesnævner med nævneren for hver brøk.
- Gang tælleren og nævneren med den fundne yderligere faktor.
Lad os overveje anvendelsen af denne regel ved hjælp af et specifikt eksempel.
Eksempel 3: Reduktion af brøker til en fællesnævner
Der er brøk 3 14 og 5 18. Lad os reducere dem til den laveste fællesnævner.
Ifølge reglen finder vi først LCM for nævnerne af brøkerne.
14 = 2 7 18 = 2 3 3 N O K (14, 18) = 2 3 3 7 = 126
Vi beregner yderligere faktorer for hver brøk. For 3 14 er den ekstra faktor 126 ÷ 14 = 9, og for brøken 5 18 er den ekstra faktor 126 ÷ 18 = 7.
Vi multiplicerer brøkernes tæller og nævner med yderligere faktorer og får:
3 · 9 14 · 9 = 27.126, 5 · 7 18 · 7 = 35.126.
Reduktion af flere brøker til deres laveste fællesnævner
Ifølge den betragtede regel kan ikke kun par af brøker, men også et større antal af dem reduceres til en fællesnævner.
Lad os give et andet eksempel.
Eksempel 4: Reduktion af brøker til en fællesnævner
Reducer brøkerne 3 2 , 5 6 , 3 8 og 17 18 til deres laveste fællesnævner.
Lad os beregne LCM for nævnerne. Vi finder LCM af tre og mere tal:
NOK (2, 6) = 6 NOK (6, 8) = 24 NOK (24, 18) = 72 NOK (2, 6, 8, 18) = 72
For 3 2 er tillægsfaktoren 72 ÷ 2 = 36, for 5 6 er tillægsfaktoren 72 ÷ 6 = 12, for 3 8 er tillægsfaktoren 72 ÷ 8 = 9, endelig er tillægsfaktoren for 17 18 72 ÷ 18 = 4.
Vi multiplicerer brøkerne med yderligere faktorer og går til den laveste fællesnævner:
3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter
Jeg ønskede oprindeligt at inkludere fællesnævnerteknikker i afsnittet om at tilføje og trække brøker fra. Men der var så meget information, og dens betydning var så stor (trods alt, ikke kun numeriske brøker), at det er bedre at studere dette spørgsmål separat.
Så lad os sige, at vi har to brøker med forskellige nævnere. Og vi vil gerne sikre os, at nævnerne bliver de samme. Den grundlæggende egenskab ved en brøk kommer til undsætning, som, lad mig minde dig om, lyder sådan her:
En brøk vil ikke ændre sig, hvis dens tæller og nævner ganges med det samme tal bortset fra nul.
Hvis man vælger faktorerne rigtigt, bliver brøkernes nævnere således lige store – denne proces kaldes reduktion til en fællesnævner. Og de nødvendige tal, "udligner" nævnerne, kaldes yderligere faktorer.
Hvorfor skal vi reducere brøker til en fællesnævner? Her er blot et par grunde:
- Addere og trække brøker med forskellige nævnere. Der er ingen anden måde at udføre denne operation på;
- Sammenligning af brøker. Nogle gange forenkler reduktion til en fællesnævner denne opgave i høj grad;
- Løsning af problemer, der involverer brøker og procenter. Procentdele er i det væsentlige almindelige udtryk, der indeholder brøker.
Der er mange måder at finde tal på, som, når de ganges med dem, vil gøre nævnerne for brøker ens. Vi vil kun overveje tre af dem - i rækkefølge efter stigende kompleksitet og i en vis forstand effektivitet.
Multiplikation på kryds og tværs
Den enkleste og pålidelig måde, som med garanti vil udligne nævnerne. Vi vil handle "på hovedet": vi multiplicerer den første brøk med nævneren af den anden brøk, og den anden med nævneren i den første. Som et resultat vil nævnerne for begge brøker blive lig med produktet oprindelige nævnere. Tag et kig:
Som yderligere faktorer skal du overveje nævnerne af nabobrøker. Vi får:
Ja, så enkelt er det. Hvis du lige er begyndt at studere brøker, er det bedre at arbejde med denne metode - på denne måde sikrer du dig mod mange fejl og får med garanti resultatet.
Den eneste ulempe denne metode- man skal tælle meget, for nævnerne ganges “gennemgående”, og resultatet kan blive meget store tal. Dette er prisen, man skal betale for pålidelighed.
Fælles Divisor-metode
Denne teknik hjælper med at reducere beregninger betydeligt, men den bruges desværre ret sjældent. Metoden er som følger:
- Før du går ligeud (dvs. ved at bruge kryds og tværs-metoden), skal du tage et kig på nævnerne. Måske er den ene af dem (den der er større) opdelt i den anden.
- Tallet fra denne division vil være en ekstra faktor for brøken med en mindre nævner.
- I dette tilfælde skal en brøk med en stor nævner slet ikke ganges med noget – det er her besparelsen ligger. Samtidig er sandsynligheden for fejl kraftigt reduceret.
Opgave. Find betydningen af udtrykkene:
Bemærk at 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Da den ene nævner i begge tilfælde er divideret uden en rest med den anden, bruger vi metoden med fælles faktorer. Vi har:
Bemærk, at den anden brøk ikke blev ganget med noget overhovedet. Faktisk halverede vi mængden af beregninger!
Jeg tog i øvrigt ikke brøkerne i dette eksempel tilfældigt. Hvis du er interesseret, så prøv at tælle dem ved at bruge kryds- og tværs-metoden. Efter reduktion vil svarene være de samme, men der vil være meget mere arbejde.
Det er metodens styrke fælles divisorer, men jeg gentager, det kan kun bruges i det tilfælde, hvor en af nævnerne er divideret med den anden uden en rest. Hvilket sker ret sjældent.
Mindst almindelig multiple metode
Når vi reducerer brøker til en fællesnævner, forsøger vi i det væsentlige at finde et tal, der er deleligt med hver nævner. Så bringer vi nævnerne af begge brøker til dette tal.
Der er mange af sådanne tal, og det mindste af dem vil ikke nødvendigvis være lig med det direkte produkt af nævnerne af de oprindelige brøker, som det antages i "kryds-kryds"-metoden.
For eksempel, for nævnere 8 og 12, er tallet 24 ganske passende, da 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Dette tal er meget mindre end produktet 8 · 12 = 96.
Det mindste antal, som er deleligt med hver af nævnerne, kaldes deres mindste fælles multiplum (LCM).
Notation: Det mindste fælles multiplum af a og b er angivet med LCM(a ; b) . For eksempel, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .
Hvis det lykkes dig at finde et sådant tal, vil den samlede mængde af beregninger være minimal. Se på eksemplerne:
Opgave. Find betydningen af udtrykkene:
Bemærk at 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktor 2 og 3 er coprime (har ingen fælles faktorer udover 1), og faktor 117 er fælles. Derfor LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Ligeledes 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 og 4 er coprime, og faktor 5 er almindelig. Derfor LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Lad os nu bringe brøkerne til fællesnævnere:
Læg mærke til, hvor nyttigt det var at faktorisere de oprindelige nævnere:
- Efter at have opdaget identiske faktorer, nåede vi straks frem til det mindste fælles multiplum, hvilket generelt set er et ikke-trivielt problem;
- Fra den resulterende udvidelse kan du finde ud af, hvilke faktorer der "mangler" i hver brøk. For eksempel er 234 · 3 = 702, derfor er den ekstra faktor 3 for den første brøk.
For at forstå, hvor stor en forskel den mindst almindelige multiple-metode gør, kan du prøve at beregne de samme eksempler ved hjælp af kryds- og tværs-metoden. Selvfølgelig uden lommeregner. Jeg tror, at kommentarer efter dette vil være unødvendige.
Tro ikke, at der ikke vil være så komplekse brøker i de rigtige eksempler. De mødes hele tiden, og ovenstående opgaver er ikke grænsen!
Det eneste problem er, hvordan man finder netop denne NOC. Nogle gange kan alt findes på få sekunder, bogstaveligt talt "ved øjet", men generelt er dette en kompleks beregningsopgave, der kræver separat overvejelse. Det vil vi ikke komme ind på her.
Reduktion af brøker til en fællesnævner
Brøker Jeg har de samme nævnere. Det siger de, at de har fællesnævner 25. Brøker har forskellige nævnere, men de kan reduceres til en fællesnævner ved at bruge brøkernes grundlæggende egenskab. For at gøre dette finder vi et tal, der er deleligt med 8 og 3, for eksempel 24. Lad os bringe brøkerne til nævneren 24, for at gøre dette gange vi brøkens tæller og nævner med yderligere multiplikator 3. Den ekstra faktor skrives normalt til venstre over tælleren:
Multiplicer brøkens tæller og nævner med en ekstra faktor på 8:
Lad os bringe brøkerne til en fællesnævner. Oftest reduceres brøker til en laveste fællesnævner, som er det mindste fælles multiplum af nævnerne i de givne brøker. Da LCM (8, 12) = 24, så kan brøkerne reduceres til en nævner på 24. Lad os finde yderligere faktorer for brøkerne: 24:8 = 3, 24:12 = 2. Så
Flere brøker kan reduceres til en fællesnævner.
Eksempel. Lad os bringe brøkerne til en fællesnævner. Da 25 = 5 2, 10 = 2 5, 6 = 2 3, så er LCM (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.
Lad os finde yderligere faktorer af brøker og bringe dem til nævneren 150:
Sammenligning af brøker
I fig. Figur 4.7 viser et segment AB af længde 1. Det er opdelt i 7 lige store dele. Segment AC har længde, og segment AD har længde.
Længden af segmentet AD er større end længden af segmentet AC, dvs. fraktionen er større end fraktionen
Af to brøker med en fællesnævner er den med den største tæller større, dvs.
For eksempel eller
For at sammenligne to brøker skal du reducere dem til en fællesnævner og derefter anvende reglen for at sammenligne brøker med en fællesnævner.
Eksempel. Sammenlign brøker
Løsning. LCM (8, 14) = 56. Så Siden 21 > 20, så
Hvis den første fraktion er mindre end den anden, og den anden er mindre end den tredje, så er den første mindre end den tredje.
Bevis. Lad tre brøker gives. Lad os bringe dem til en fællesnævner. Lad dem så se ud som Da den første fraktion er mindre
sekund, derefter r< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для натуральных чисел следует, что r < t, тогда первая дробь меньше третьей.
Brøken kaldes korrekt, hvis dens tæller er mindre end dens nævner.
Brøken kaldes forkert, hvis dens tæller er større end eller lig med nævneren.
For eksempel er brøker rigtige og brøker er ukorrekte.
En egentlig brøk er mindre end 1, og en uægte brøk er større end eller lig med 1.