Det er interessant, at for mange år siden blev en sådan gren af matematik som "geometri" kaldt "landmåling". Og hvordan man finder omkreds og område har været kendt i lang tid. For eksempel siger de, at de allerførste regnemaskiner af disse to mængder er indbyggerne i Egypten. Takket være sådan viden var de i stand til at bygge de strukturer, der kendes i dag.
Evnen til at finde areal og omkreds kan være nyttig i hverdagen. I hverdagen bruges disse værdier, når det er nødvendigt at male noget, plante eller dyrke en have, hænge tapet i et rum osv.
Perimeter
Oftest skal du finde ud af omkredsen af polygoner eller trekanter. For at bestemme denne værdi er det nok bare at kende længderne af alle sider, og omkredsen er deres sum. Det er også muligt at finde omkredsen, hvis området er kendt.
Trekant
Hvis du skal kende omkredsen af en trekant, skal du bruge følgende formel P = a + b + c for at beregne den, hvor a, b, c er trekantens sider. I dette tilfælde opsummeres alle sider af en almindelig trekant på planet.
Cirkel
Omkredsen af en cirkel kaldes normalt for omkredsen. For at finde ud af denne værdi skal du bruge formlen: L = π*D = 2*π*r, hvor L er omkredsen, r er radius, D er diameteren og tallet π, som det er kendt, er omtrent lig med 3,14.
Firkantet, rombe
Formlerne for omkredsen af en firkant og en rombe er de samme, fordi både den ene figur og den anden har alle sider lige. Da en firkant og en rombe har lige store sider, kan de (siderne) betegnes med det samme bogstav "a". Det viser sig, at omkredsen af en firkant og en rhombus er lig med:
- P = a + a + a + a eller P = 4a
Rektangel, parallelogram
Et rektangel og et parallelogram har de samme modsatte sider, så de kan betegnes med to forskellige bogstaver "a" og "b". Formlen ser således ud:
- P = a + b + a + b = 2a + 2b. De to kan tages ud af parentes, og du får følgende formel: P = 2 (a+b)
Trapez
Alle sider af en trapez er forskellige, så de er betegnet med forskellige bogstaver i det latinske alfabet. I denne henseende ser formlen for omkredsen af en trapez sådan ud:
- P = a + b + c + d Her summeres alle sider sammen.
Firkant
Område er den del af en figur, der er indeholdt i dens omrids.
Rektangel
For at beregne arealet af et rektangel skal du gange værdien af den ene side (længde) med værdien af den anden (bredde). Hvis længde- og breddeværdierne er angivet med bogstaverne "a" og "b", beregnes arealet ved hjælp af formlen:
- S = a*b
Firkant
Som du allerede ved, er siderne af et kvadrat ens, så for at beregne arealet kan du blot tage den ene side ind i kvadratet:
- S = a*a = a 2
Rhombus
Formlen til at finde arealet af en rhombus har en lidt anderledes form: S = a*h a, hvor h a er længden af højden af rhombus, som er tegnet til siden.
Derudover kan arealet af en rombe findes ved hjælp af formlerne:
- S = a 2 *sin α, mens a er siden af figuren, og vinklen α er vinklen mellem siderne;
- S = 4r 2 /sin α, hvor r er radius af cirklen indskrevet i romben, og vinklen α er vinklen mellem siderne.
Cirkel
Arealet af en cirkel er også let at finde ud af. For at gøre dette kan du bruge formlen:
- S = πR 2, hvor R er radius.
Trapez
For at beregne arealet af en trapez kan du bruge denne formel:
- S = 1/2*a*b*h, hvor a, b er basis for trapez, h er højden.
Trekant
For at finde arealet af en trekant skal du bruge en af flere formler:
- S = 1/2*a*b sin α (hvor a, b er trekantens sider, og α er vinklen mellem dem);
- S = 1/2 a*h (hvor a er trekantens basis, h er højden sænket til den);
- S = abc/4R (hvor a, b, c er siderne af trekanten, og R er radius af den omskrevne cirkel);
- S = p*r (hvor p er halvperimeteren, r er radius af den indskrevne cirkel);
- S= √ (p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) (hvor p er halvperimeteren, a, b, c er trekantens sider).
Parallelogram
For at beregne arealet af en given figur skal du erstatte værdierne i en af formlerne:
- S = a*b*sin α (hvor a, b er parallelogrammets basis, α er vinklen mellem siderne);
- S = a*h a (hvor a er siden af parallelogrammet, h a er højden af parallelogrammet, som er sænket til side a);
- S = 1/2 *d*D* sin α (hvor d og D er parallelogrammets diagonaler, α er vinklen mellem dem).
Lektion og præsentation om emnet: "Omkreds og areal af et rektangel"
Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.
Læremidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 3. klasse
Træner for 3. klasse "Regler og øvelser i matematik"
Elektronisk lærebog for klasse 3 "Matematik på 10 minutter"
Hvad er rektangel og kvadrat
Rektangel er en firkant med alle rette vinkler. Det betyder, at modsatte sider er lig med hinanden.
Firkant er et rektangel med lige sider og lige vinkler. Det kaldes en regulær firkant.
Firkanter, inklusive rektangler og firkanter, er betegnet med 4 bogstaver - knudepunkter. Latinske bogstaver bruges til at betegne knudepunkter: A, B, C, D...
Eksempel. 
Det lyder sådan her: firkantet ABCD; firkantet EFGH.
Hvad er omkredsen af et rektangel? Formel til beregning af omkreds
Omkredsen af et rektangel er summen af længderne af alle sider af rektanglet eller summen af længden og bredden ganget med 2.Omkredsen er angivet med et latinsk bogstav P. Da omkredsen er længden af alle sider af rektanglet, skrives omkredsen i længdeenheder: mm, cm, m, dm, km.
For eksempel er omkredsen af rektangel ABCD betegnet som P ABCD, hvor A, B, C, D er hjørnerne af rektanglet.
Lad os nedskrive formlen for omkredsen af en firkant ABCD:
P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)
Eksempel.
Givet et rektangel ABCD med sider: AB=CD=5 cm og AD=BC=3 cm.
Lad os definere P ABCD.
Løsning:
1. Lad os tegne et rektangel ABCD med de originale data. 
2. Lad os skrive en formel til at beregne omkredsen af et givet rektangel:
P ABCD = 2 * (AB + BC)
P ABCD = 2 * (5 cm + 3 cm) = 2 * 8 cm = 16 cm
Svar: P ABCD = 16 cm.
Formel til beregning af omkredsen af et kvadrat
Vi har en formel til at bestemme omkredsen af et rektangel.P ABCD = 2 * (AB + BC)
Lad os bruge det til at bestemme omkredsen af et kvadrat. I betragtning af at alle sider af firkanten er lige, får vi:
P ABCD = 4 * AB
Eksempel.
Givet et kvadrat ABCD med en side lig med 6 cm Lad os bestemme kvadratets omkreds.
Løsning.
1. Lad os tegne en firkant ABCD med de originale data.
2. Lad os huske formlen til at beregne omkredsen af et kvadrat:
P ABCD = 4 * AB
3. Lad os erstatte vores data med formlen:
P ABCD = 4 * 6 cm = 24 cm
Svar: P ABCD = 24 cm.
Problemer med at finde omkredsen af et rektangel
1. Mål bredden og længden af rektanglerne. Bestem deres omkreds. 
2. Tegn et rektangel ABCD med siderne 4 cm og 6 cm Bestem rektanglets omkreds.
3. Tegn en firkantet SEOM med en side på 5 cm. Bestem firkantens omkreds.
Hvor bruges beregningen af omkredsen af et rektangel?
1. Der er givet en grund, den skal omgives af et hegn. Hvor langt vil hegnet være?
I denne opgave er det nødvendigt at beregne omkredsen af stedet nøjagtigt for ikke at købe overskydende materiale til at bygge et hegn.
2. Forældre besluttede at renovere børneværelset. Du skal kende rummets omkreds og dets område for korrekt at beregne mængden af tapet.
Bestem længden og bredden af det rum, du bor i. Bestem omkredsen af dit værelse.
Hvad er arealet af et rektangel?
Firkant er en numerisk karakteristik af en figur. Arealet måles i kvadratiske længdeenheder: cm 2, m 2, dm 2 osv. (kvadratcentimeter, kvadratmetre, kvadratisk decimeter osv.)I beregninger er det angivet med et latinsk bogstav S.
For at bestemme arealet af et rektangel skal du gange længden af rektanglet med dets bredde. 
Arealet af rektanglet beregnes ved at gange længden af AC med bredden af CM. Lad os skrive dette ned som en formel.
S AKMO = AK * KM
Eksempel.
Hvad er arealet af rektanglet AKMO, hvis siderne er 7 cm og 2 cm?
S AKMO = AK * KM = 7 cm * 2 cm = 14 cm 2.
Svar: 14 cm 2.
Formel til at beregne arealet af et kvadrat
Arealet af et kvadrat kan bestemmes ved at gange siden med sig selv.Eksempel. 
I i dette eksempel Arealet af et kvadrat beregnes ved at multiplicere siden AB med bredden BC, men da de er lige store, er resultatet at gange siden AB med AB.
S ABCO = AB * BC = AB * AB
Eksempel.
Bestem arealet af en firkantet AKMO med en side på 8 cm.
S AKMO = AK * KM = 8 cm * 8 cm = 64 cm 2
Svar: 64 cm 2.
Problemer med at finde arealet af et rektangel og et kvadrat
1. Givet et rektangel med sider 20 mm og 60 mm. Beregn dens areal. Skriv dit svar i kvadratcentimeter.2. Der blev købt et sommerhus på 20 m gange 30 m. Bestem arealet sommerhus, skriv dit svar i kvadratcentimeter.
Definition.
Rektangel er en firkant, hvor to modstående sider er lige store, og alle fire vinkler er lige store.Rektanglerne adskiller sig kun fra hinanden i forholdet mellem den lange side og den korte side, men alle fire hjørner er rigtige, det vil sige 90 grader.
Den lange side af et rektangel kaldes rektangel længde og den korte - rektangel bredde.
Siderne af et rektangel er også dets højder.
Grundlæggende egenskaber ved et rektangel
Et rektangel kan være et parallelogram, en firkant eller en rombe.
1. De modsatte sider af rektanglet har samme længde, det vil sige, at de er ens:
AB = CD, BC = AD
2. Modsatte sider af rektanglet er parallelle:
3. De tilstødende sider af et rektangel er altid vinkelrette:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Alle fire hjørner af rektanglet er lige:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Summen af vinklerne i et rektangel er 360 grader:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Diagonalerne i et rektangel har samme længde:
7. Summen af kvadraterne af diagonalen af et rektangel er lig med summen af kvadraterne på siderne:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Hver diagonal i et rektangel deler rektanglet i to identiske figurer, nemlig retvinklede trekanter.
9. Rektangelets diagonaler skærer hinanden og er delt i to ved skæringspunktet:
| AO=BO=CO=DO= | d | ||
| 2 |
10. Diagonalernes skæringspunkt kaldes rektanglets centrum og er også centrum for den omskrevne cirkel
11. Diagonalen af et rektangel er diameteren af den omskrevne cirkel
12. Du kan altid beskrive en cirkel omkring et rektangel, da summen af modstående vinkler er 180 grader:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. En cirkel kan ikke indskrives i et rektangel, hvis længde ikke er lig med dets bredde, da summen af de modstående sider ikke er lig med hinanden (en cirkel kan kun indskrives i særligt tilfælde rektangel - firkantet).
Sider af et rektangel
Definition.
Rektangel længde er længden af det længere par af dets sider. Rektangel bredde er længden af det kortere par af dets sider.Formler til bestemmelse af længderne af siderne i et rektangel
1. Formel for siden af et rektangel (længde og bredde af rektanglet) gennem diagonalen og den anden side:
a = √ d 2 - b 2
b = √ d 2 - a 2
2. Formel for siden af et rektangel (rektanglets længde og bredde) gennem området og den anden side:
| b = dcos | β |
| 2 |
Diagonal af et rektangel
Definition.
Diagonalt rektangel Ethvert segment, der forbinder to hjørner af modsatte hjørner af et rektangel, kaldes.Formler til bestemmelse af længden af diagonalen af et rektangel
1. Formel for diagonalen af et rektangel ved hjælp af to sider af rektanglet (via Pythagoras sætning):
d = √ a 2 + b 2
2. Formel for diagonalen af et rektangel ved hjælp af arealet og en hvilken som helst side:
4. Formel for diagonalen af et rektangel i form af radius af den omskrevne cirkel:
d = 2R
5. Formel for diagonalen af et rektangel i form af diameteren af den omskrevne cirkel:
d = D o
6. Formel for diagonalen af et rektangel ved hjælp af sinus af vinklen ved siden af diagonalen og længden af siden modsat denne vinkel:
8. Formel for diagonalen af et rektangel gennem sinus spids vinkel mellem diagonalerne og arealet af rektanglet
d = √2S: sin β
Omkredsen af et rektangel
Definition.
Omkredsen af et rektangel er summen af længderne af alle sider af et rektangel.Formler til bestemmelse af længden af omkredsen af et rektangel
1. Formel for omkredsen af et rektangel ved hjælp af to sider af rektanglet:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. Formel for omkredsen af et rektangel ved hjælp af areal og en hvilken som helst side:
| P= | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| -en | b |
3. Formel for omkredsen af et rektangel ved hjælp af diagonalen og en hvilken som helst side:
P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)
4. Formel for omkredsen af et rektangel ved hjælp af radius af den omskrevne cirkel og enhver side:
P = 2(a + √4R 2 - en 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)
5. Formel for omkredsen af et rektangel ved hjælp af diameteren af den omskrevne cirkel og enhver side:
P = 2(a + √D o 2 - en 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)
Arealet af et rektangel
Definition.
Arealet af et rektangel kaldet det rum, der er begrænset af rektanglets sider, altså inden for rektanglets omkreds.Formler til bestemmelse af arealet af et rektangel
1. Formel for arealet af et rektangel ved hjælp af to sider:
S = a b
2. Formel for arealet af et rektangel ved hjælp af omkredsen og enhver side:
5. Formel for arealet af et rektangel ved hjælp af radius af den omskrevne cirkel og enhver side:
S = a √4R 2 - en 2= b √4R 2 - b 2
6. Formel for arealet af et rektangel ved hjælp af diameteren af den omskrevne cirkel og enhver side:
S = a √D o 2 - en 2= b √D o 2 - b 2
Cirkel afgrænset omkring et rektangel
Definition.
En cirkel afgrænset omkring et rektangel er en cirkel, der går gennem de fire hjørner af et rektangel, hvis centrum ligger i skæringspunktet mellem rektanglets diagonaler.Formler til bestemmelse af radius af en cirkel omkranset omkring et rektangel
1. Formel for radius af en cirkel omgivet af et rektangel gennem to sider:
Et rektangel er et specialtilfælde af en firkant. Det betyder, at rektanglet har fire sider. Dens modstående sider er ens: for eksempel, hvis en af dens sider er 10 cm, vil den modsatte side også være lig med 10 cm. Et specialtilfælde af et rektangel er et kvadrat. Et kvadrat er et rektangel med alle sider lige store. For at beregne arealet af en firkant kan du bruge den samme algoritme som til at beregne arealet af et rektangel.
Sådan finder du ud af arealet af et rektangel baseret på to sider
For at finde arealet af et rektangel skal du gange dets længde med dets bredde: Areal = Længde × Bredde. I nedenstående tilfælde: Areal = AB × BC.
Sådan finder du ud af arealet af et rektangel ved side og diagonal længde
Nogle problemer kræver, at du finder arealet af et rektangel ved hjælp af længden af diagonalen og en af siderne. Diagonalen af et rektangel deler det i to lige store dele retvinklet trekant. Derfor kan vi bestemme den anden side af rektanglet ved hjælp af Pythagoras sætning. Herefter reduceres opgaven til forrige punkt.
Sådan finder du ud af arealet af et rektangel ved dets omkreds og side
Omkredsen af et rektangel er summen af alle dets sider. Hvis du kender omkredsen af rektanglet og den ene side (såsom bredden), kan du beregne arealet af rektanglet ved hjælp af følgende formel:
Areal = (perimeter×bredde – bredde^2)/2.
Arealet af et rektangel gennem sinus af den spidse vinkel mellem diagonalerne og længden af diagonalen
Diagonalerne i et rektangel er ens, så for at beregne arealet baseret på længden af diagonalen og sinus for den spidse vinkel mellem dem, skal du bruge følgende formel: Areal = Diagonal^2 × sin(spids vinkel mellem diagonalerne )/2.
Ved løsning er det nødvendigt at tage højde for, at løse problemet med at finde arealet af et rektangel kun fra længden af dets sider det er forbudt.
Dette er nemt at verificere. Lad rektanglets omkreds være 20 cm. Dette vil være sandt, hvis siderne er 1 og 9, 2 og 8, 3 og 7 cm. Alle disse tre rektangler vil have samme omkreds, lig med tyve centimeter. (1 + 9) * 2 = 20 er nøjagtig det samme som (2 + 8) * 2 = 20 cm.
Som du kan se, kan vi vælge uendeligt mange muligheder dimensionerne af rektanglets sider, hvis omkreds vil være lig med den angivne værdi.
Arealet af rektangler med en given omkreds på 20 cm, men med forskellige sider, vil være anderledes. For det givne eksempel - henholdsvis 9, 16 og 21 kvadratcentimeter.
S 1 = 1 * 9 = 9 cm 2
S 2 = 2 * 8 = 16 cm 2
S 3 = 3 * 7 = 21 cm 2
Som du kan se, er der et uendeligt antal muligheder for arealet af en figur for en given omkreds.
For at beregne arealet af et rektangel fra dets omkreds skal du kende enten forholdet mellem dets sider eller længden af en af dem. Den eneste figur, der har en utvetydig afhængighed af sit område på sin omkreds, er en cirkel. Kun for cirkel og en mulig løsning.
I denne lektion:
- Problem 4. Ændring af længden af siderne, mens rektanglets areal bevares
Opgave 1. Find siderne af et rektangel fra området
Omkredsen af rektanglet er 32 centimeter, og summen af arealerne af kvadraterne bygget på hver af dets sider er 260 kvadratcentimeter. Find rektanglets sider.Løsning.
2(x+y)=32
I henhold til problemets betingelser vil summen af arealerne af kvadraterne konstrueret på hver af dens sider (hhv. fire kvadrater) være lig med
2x2 +2y2 =260
x+y=16
x=16-y
2(16-y)2+2y2=260
2(256-32y+y2)+2y2=260
512-64y+4y 2 -260=0
4y 2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x 1 = 9
x 2 = 7
Lad os nu tage højde for det baseret på det faktum, at x+y=16 (se ovenfor) ved x=9, så y=7 og omvendt, hvis x=7, så y=9
Svar: Rektangelets sider er 7 og 9 centimeter
Opgave 2. Find siderne af et rektangel fra omkredsen
Omkredsen af rektanglet er 26 cm, og summen af arealerne af firkanterne bygget på dets to tilstødende sider er 89 kvadratmeter. cm Find rektanglets sider.
Løsning.
Lad os betegne siderne af rektanglet som x og y.
Så er omkredsen af rektanglet:
2(x+y)=26
Summen af arealerne af kvadraterne bygget på hver af dens sider (der er henholdsvis to kvadrater, og disse er kvadrater med bredde og højde, da siderne støder op til hinanden) vil være lig med
x2+y2=89
Vi løser det resulterende ligningssystem. Ud fra den første ligning udleder vi det
x+y=13
y=13-y
Nu udfører vi en substitution i den anden ligning, og erstatter x med dets ækvivalent.
(13-y)2+y2=89
169-26y+y2+y2-89=0
2y 2 -26y+80=0
Vi løser den resulterende andengradsligning.
D=676-640=36
x 1 = 5
x 2 = 8
Lad os nu tage højde for det baseret på det faktum, at x+y=13 (se ovenfor) ved x=5, så y=8 og omvendt, hvis x=8, så y=5
Svar: 5 og 8 cm
Opgave 3. Find arealet af et rektangel ud fra forholdet mellem dets sider
Find arealet af et rektangel, hvis dets omkreds er 26 cm, og dets sider er proportionale med 2 til 3.
Løsning.
Lad os betegne rektanglets sider med proportionalitetskoefficienten x.
Derfor vil længden af den ene side være lig med 2x, den anden - 3x.
Så:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Nu, baseret på de opnåede data, bestemmer vi arealet af rektanglet:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm 2
Opgave 4. Ændring af længden af siderne, mens rektanglets areal bevares
Længden af rektanglet øges med 25%. Hvor mange procent skal bredden reduceres, så dens areal ikke ændres?Løsning.
Arealet af rektanglet er
S = ab
I vores tilfælde steg en af faktorerne med 25 %, hvilket betyder a 2 = 1,25a. Så det nye område af rektanglet skal være lig med
S2 = 1,25ab
Således, for at returnere området af rektanglet til begyndelsesværdi, Det
S2 = S/1,25
S2 = 1,25ab / 1,25
Fordi ny størrelse men du kan da ikke ændre det
S2 = (1,25a) b/1,25
1 / 1,25 = 0,8
Værdien af den anden side skal således reduceres med (1 - 0,8) * 100% = 20%
Svar: bredden skal reduceres med 20%.