Indgangsniveau

Grad og dens egenskaber. Omfattende guide (2019)

Hvorfor er der behov for grader? Hvor skal du bruge dem? Hvorfor skal du tage dig tid til at studere dem?

At lære alt om grader, hvad de er til, hvordan du bruger din viden til hverdagen læs denne artikel.

Og selvfølgelig vil viden om grader bringe dig tættere på succes passerer OGE eller Unified State-eksamenen og optagelse på dit drømmeuniversitet.

Lad os gå... (Lad os gå!)

Vigtig bemærkning! Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, skal du rydde din cache. For at gøre dette skal du trykke på CTRL+F5 (på Windows) eller Cmd+R (på Mac).

INDGANGSNIVEAU

Eksponentiering er en matematisk operation ligesom addition, subtraktion, multiplikation eller division.

Nu vil jeg forklare alt på menneskesprog på meget simple eksempler. Vær forsigtig. Eksemplerne er elementære, men forklarer vigtige ting.

Lad os starte med tilføjelse.

Der er ikke noget at forklare her. Du ved allerede alt: vi er otte. Alle har to flasker cola. Hvor meget cola er der? Det er rigtigt - 16 flasker.

Nu multiplikation.

Det samme eksempel med cola kan skrives anderledes: . Matematikere er snedige og dovne mennesker. De bemærker først nogle mønstre og finder derefter ud af en måde at "tælle" dem hurtigere på. I vores tilfælde bemærkede de, at hver af de otte personer havde det samme antal colaflasker og fandt på en teknik kaldet multiplikation. Enig, det anses for nemmere og hurtigere end.

Så for at tælle hurtigere, nemmere og uden fejl, skal du bare huske multiplikationstabel. Selvfølgelig kan du gøre alt langsommere, sværere og med fejl! Men…

Her er multiplikationstabellen. Gentage.

Og en anden, smukkere en:

Hvilke andre smarte tælletricks har dovne matematikere fundet på? højre - hæve et tal til en magt.

At hæve et tal til en magt

Hvis du skal gange et tal med sig selv fem gange, så siger matematikere, at du skal hæve det tal til femte potens. For eksempel. Matematikere husker, at to til femte potens er... Og de løser sådanne problemer i deres hoveder - hurtigere, nemmere og uden fejl.

Alt du skal gøre er husk, hvad der er fremhævet med farve i tabellen over talmagter. Tro mig, dette vil gøre dit liv meget lettere.

Forresten, hvorfor kaldes det anden grad? firkant tal, og den tredje - terning? Hvad betyder det? Meget godt spørgsmål. Nu vil du have både firkanter og terninger.

Eksempel #1 fra det virkelige liv

Lad os starte med kvadratet eller anden potens af tallet.

Forestil dig et kvadratisk bassin, der måler en meter gange en meter. Poolen er på din dacha. Det er varmt, og jeg vil rigtig gerne svømme. Men... poolen har ingen bund! Du skal dække bunden af ​​poolen med fliser. Hvor mange fliser har du brug for? For at bestemme dette skal du kende poolens bundområde.

Du kan blot ved at pege fingeren beregne, at bunden af ​​bassinet består af meter for meter terninger. Hvis du har fliser en meter gange en meter, skal du bruge brikker. Det er nemt... Men hvor har du set sådanne fliser? Flisen vil højst sandsynligt være cm for cm Og så vil du blive tortureret ved at "tælle med din finger." Så skal du formere dig. Så på den ene side af bunden af ​​poolen vil vi montere fliser (stykker) og på den anden side også fliser. Gang med og du får fliser ().

Har du bemærket, at for at bestemme arealet af poolbunden multiplicerede vi det samme tal med sig selv? Hvad betyder det? Da vi multiplicerer det samme tal, kan vi bruge "eksponentierings"-teknikken. (Selvfølgelig, når du kun har to tal, skal du stadig gange dem eller hæve dem til en potens. Men hvis du har mange af dem, så er det meget nemmere at hæve dem til en potens, og der er også færre fejl i beregningerne For Unified State-eksamenen er dette meget vigtigt).
Så tredive til anden potens vil være (). Eller vi kan sige, at tredive kvadrat vil være. Med andre ord kan anden potens af et tal altid repræsenteres som et kvadrat. Og omvendt, hvis du ser et kvadrat, er det ALTID anden potens af et tal. Et kvadrat er et billede af anden potens af et tal.

Eksempel #2 fra det virkelige liv

Her er en opgave til dig: tæl hvor mange felter der er på skakbrættet ved at bruge kvadratet af tallet... På den ene side af cellerne og også på den anden side. For at beregne deres antal skal du gange otte med otte eller... hvis du bemærker, at et skakbræt er en firkant med en side, så kan du kvadre otte. Du får celler. () Så?

Eksempel #3 fra det virkelige liv

Nu terningen eller tredje potens af et tal. Den samme pool. Men nu skal du finde ud af, hvor meget vand der skal hældes i denne pool. Du skal beregne volumen. (Mængder og væsker er i øvrigt målt i kubikmeter. Uventet, ikke?) Tegn et bassin: en bund, der måler en meter og en dybde på en meter, og prøv at tælle, hvor mange kuber, der måler en meter gange en meter, der passer ind i dit bassin.

Bare peg fingeren og tæl! En, to, tre, fire...toogtyve, treogtyve...Hvor mange fik du? Ikke tabt? Er det svært at tælle med fingeren? Det er det! Tag et eksempel fra matematikere. De er dovne, så de bemærkede, at for at beregne poolens volumen skal du gange dens længde, bredde og højde med hinanden. I vores tilfælde vil puljens volumen være lig med terninger... Nemmere, ikke?

Forestil dig nu, hvor dovne og snedige matematikere er, hvis de også forenklede dette. Vi reducerede alt til én handling. De bemærkede, at længden, bredden og højden er ens, og at det samme tal ganges med sig selv... Hvad betyder det? Det betyder, at du kan drage fordel af graden. Så hvad du engang talte med din finger, gør de i én handling: tre terninger er lig. Det er skrevet sådan her:.

Det eneste der er tilbage er husk gradertabellen. Medmindre du selvfølgelig er lige så doven og snu som matematikere. Hvis du kan lide at arbejde hårdt og lave fejl, kan du fortsætte med at tælle med fingeren.

Nå, for endelig at overbevise dig om, at grader blev opfundet af quittere og snedige mennesker for at løse deres livsproblemer og ikke for at skabe problemer for dig, her er et par flere eksempler fra livet.

Eksempel #4 fra det virkelige liv

Du har en million rubler. I begyndelsen af ​​hvert år, for hver million du tjener, tjener du endnu en million. Det vil sige, at hver million af dine fordobles i begyndelsen af ​​hvert år. Hvor mange penge vil du have om år? Hvis du nu sidder og "tæller med fingeren", så er du et meget hårdtarbejdende menneske og... dum. Men højst sandsynligt giver du et svar om et par sekunder, for du er klog! Så i det første år - to ganget med to... i det andet år - hvad skete der, med to mere, i det tredje år... Stop! Du har bemærket, at tallet ganges med sig selv gange. Så to til femte potens er en million! Forestil dig nu, at du har en konkurrence, og den, der kan tælle hurtigst, vil få disse millioner... Det er værd at huske tallenes magt, synes du ikke?

Eksempel #5 fra det virkelige liv

Du har en million. I begyndelsen af ​​hvert år tjener du to mere for hver million du tjener. Fantastisk er det ikke? Hver million er tredoblet. Hvor mange penge vil du have om et år? Lad os tælle. Det første år - gange med, så resultatet med et andet... Det er allerede kedeligt, fordi du allerede har forstået alt: tre ganges med sig selv gange. Så i fjerde potens er det lig med en million. Du skal bare huske, at tre til fjerde potens er eller.

Nu ved du, at ved at hæve et tal til en magt, vil du gøre dit liv meget lettere. Lad os se nærmere på, hvad du kan gøre med grader, og hvad du har brug for at vide om dem.

Begreber og begreber... for ikke at blive forvirrede

Så lad os først definere begreberne. Tror du hvad er en eksponent? Det er meget enkelt - det er tallet, der er "øverst" af tallets potens. Ikke videnskabeligt, men klart og let at huske...

Nå, på samme tid, hvad sådan et gradsgrundlag? Endnu enklere - dette er nummeret, der er placeret nedenfor, i bunden.

Her er en tegning for god ordens skyld.

Vel ind generel opfattelse, for at generalisere og bedre huske... En grad med en base " " og en eksponent " " læses som "i graden" og skrives som følger:

Potens for et tal med naturlig eksponent

Du har sikkert allerede gættet: fordi eksponenten er naturligt tal. Ja, men hvad er det naturligt tal? Elementært! Naturlige tal er de tal, der bruges til at tælle, når du oplister objekter: en, to, tre... Når vi tæller objekter, siger vi ikke: "minus fem", "minus seks", "minus syv." Vi siger heller ikke: "en tredjedel" eller "nul komma fem". Det er ikke naturlige tal. Hvilke tal tror du, det er?

Tal som "minus fem", "minus seks", "minus syv" henviser til hele tal. Generelt omfatter heltal alle naturlige tal, tal modsat naturlige tal (det vil sige taget med et minustegn) og tal. Nul er let at forstå – det er, når der ikke er noget. Hvad betyder negative (“minus”) tal? Men de blev opfundet primært for at angive gæld: Hvis du har en saldo på din telefon i rubler, betyder det, at du skylder operatøren rubler.

Alle brøker er rationelle tal. Hvordan er de opstået, tror du? Meget simpelt. For flere tusinde år siden opdagede vores forfædre, at de manglede naturlige tal til at måle længde, vægt, areal osv. Og de fandt på rationelle tal... Interessant, ikke?

Der er flere irrationelle tal. Hvad er disse tal? Kort sagt uendelig decimal. For eksempel, hvis du dividerer omkredsen af ​​en cirkel med dens diameter, får du et irrationelt tal.

Genoptage:

Lad os definere begrebet en grad, hvis eksponent er et naturligt tal (dvs. heltal og positivt).

1. Ethvert tal i første potens er lig med sig selv:
2. At kvadrere et tal betyder at gange det med sig selv:
3. At kubere et tal betyder at gange det med sig selv tre gange:

Definition. At hæve et tal til en naturlig potens betyder at gange tallet med sig selv gange:
.

Egenskaber for grader

Hvor kom disse egenskaber fra? Jeg skal vise dig det nu.

Lad os se: hvad er det Og ?

Per definition:

Hvor mange multiplikatorer er der i alt?

Det er meget enkelt: Vi tilføjede multiplikatorer til faktorerne, og resultatet er multiplikatorer.

Men per definition er dette en potens af et tal med en eksponent, det vil sige: , hvilket er det, der skulle bevises.

Eksempel: Forenkle udtrykket.

Løsning:

Eksempel: Forenkle udtrykket.

Løsning: Det er vigtigt at bemærke, at i vores regel Nødvendigvis der må være de samme grunde!
Derfor kombinerer vi kræfterne med basen, men det forbliver en separat faktor:

kun for kræfternes produkt!

Det kan du under ingen omstændigheder skrive.

2. det er det potens af et tal

Ligesom med den tidligere egenskab, lad os vende os til definitionen af ​​grad:

Det viser sig, at udtrykket ganges med sig selv gange, det vil sige, ifølge definitionen, er dette tallets th potens:

I det væsentlige kan dette kaldes "at tage indikatoren ud af parentes." Men du kan aldrig gøre dette i alt:

Lad os huske de forkortede multiplikationsformler: hvor mange gange ville vi skrive?

Men det er trods alt ikke sandt.

Strøm med negativ base

Indtil nu har vi kun diskuteret, hvad eksponenten skal være.

Men hvad skal grundlaget være?

I beføjelser af naturlig indikator grundlaget kan være ethvert nummer. Faktisk kan vi gange alle tal med hinanden, uanset om de er positive, negative eller lige.

Lad os tænke over, hvilke tegn ("" eller "") der vil have grader af positive og negative tal?

Er tallet for eksempel positivt eller negativt? EN? ? Med den første er alt klart: Lige meget hvor mange positive tal vi multiplicerer med hinanden, vil resultatet være positivt.

Men de negative er lidt mere interessante. Vi husker den simple regel fra 6. klasse: "minus for minus giver et plus." Det vil sige eller. Men hvis vi ganger med, virker det.

Bestem selv, hvilket tegn følgende udtryk vil have:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Klarede du dig?

Her er svarene: I de første fire eksempler håber jeg, at alt er klart? Vi ser blot på basis og eksponent og anvender den passende regel.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I eksempel 5) er alt heller ikke så skræmmende, som det ser ud: det er trods alt ligegyldigt, hvad basen er lig med - graden er lige, hvilket betyder, at resultatet altid vil være positivt.

Nå, undtagen når basen er nul. Grundlaget er ikke ens, er det? Åbenbart ikke, da (fordi).

Eksempel 6) er ikke længere så simpelt!

6 eksempler til praksis

Analyse af løsningen 6 eksempler

Hvis vi ignorerer den ottende potens, hvad ser vi så her? Lad os huske 7. klasses programmet. Kan du huske det? Dette er formlen for forkortet multiplikation, nemlig forskellen på kvadrater! Vi får:

Lad os se nøje på nævneren. Det ligner meget en af ​​tællerfaktorerne, men hvad er der galt? Rækkefølgen af ​​vilkårene er forkert. Hvis de blev omvendt, kunne reglen gælde.

Men hvordan gør man dette? Det viser sig, at det er meget nemt: den lige grad af nævneren hjælper os her.

På magisk vis skiftede vilkårene plads. Dette "fænomen" gælder for ethvert udtryk i en jævn grad: vi kan nemt ændre fortegnene i parentes.

Men det er vigtigt at huske: alle tegn ændres på samme tid!

Lad os gå tilbage til eksemplet:

Og igen formlen:

Hel vi kalder de naturlige tal, deres modsætninger (det vil sige taget med tegnet " ") og tallet.

positivt heltal, og det er ikke anderledes end naturligt, så ser alt ud nøjagtigt som i forrige afsnit.

Lad os nu se på nye sager. Lad os starte med en indikator lig med.

Ethvert tal i nulpotensen er lig med én:

Lad os som altid spørge os selv: hvorfor er det sådan?

Lad os overveje en vis grad med en base. Tag for eksempel og gang med:

Så vi gangede tallet med, og vi fik det samme som det var - . Hvilket tal skal du gange med, så intet ændrer sig? Det er rigtigt, på. Midler.

Vi kan gøre det samme med et vilkårligt tal:

Lad os gentage reglen:

Ethvert tal i nulpotensen er lig med en.

Men der er undtagelser fra mange regler. Og her er det der også - dette er et tal (som en base).

På den ene side skal det være lig i en hvilken som helst grad - uanset hvor meget du gange nul med sig selv, vil du stadig få nul, det er klart. Men på den anden side, ligesom ethvert tal i nulpotensen, skal det være ens. Så hvor meget af dette er sandt? Matematikerne besluttede ikke at blive involveret og nægtede at hæve nul til nul potens. Det vil sige, at nu kan vi ikke kun dividere med nul, men også hæve det til nul-potensen.

Lad os komme videre. Ud over naturlige tal og tal omfatter heltal også negative tal. For at forstå, hvad en negativ potens er, lad os gøre som sidste gang: gange et normalt tal med det samme tal til en negativ potens:

Herfra er det nemt at udtrykke, hvad du leder efter:

Lad os nu udvide den resulterende regel til en vilkårlig grad:

Så lad os formulere en regel:

Et tal med en negativ potens er det gensidige af det samme tal med en positiv potens. Men samtidig Basen kan ikke være null:(fordi du ikke kan dividere med).

Lad os opsummere:

I. Udtrykket er ikke defineret i sagen. Hvis altså.

II. Ethvert tal i nulpotensen er lig med en:.

III. Et tal, der ikke er lig med nul til en negativ potens, er det omvendte af det samme tal til en positiv potens:.

Opgaver til selvstændig løsning:

Nå, som sædvanlig, eksempler på uafhængige løsninger:

Analyse af problemer til uafhængig løsning:

Jeg ved, jeg ved, tallene er skræmmende, men på Unified State Exam skal du være forberedt på hvad som helst! Løs disse eksempler eller analyser deres løsninger, hvis du ikke kunne løse dem, og du vil lære at håndtere dem nemt i eksamen!

Lad os fortsætte med at udvide rækken af ​​tal "egnede" som eksponent.

Lad os nu overveje rationelle tal. Hvilke tal kaldes rationelle?

Svar: alt, der kan repræsenteres som en brøk, hvor og er heltal, og.

For at forstå hvad det er "brøkdel grad", overvej brøken:

Lad os hæve begge sider af ligningen til en potens:

Lad os nu huske reglen om "grad til grad":

Hvilket tal skal hæves til en magt for at få?

Denne formulering er definitionen af ​​roden af ​​th grad.

Lad mig minde dig om: roden af ​​den th potens af et tal () er et tal, der, når det hæves til en potens, er lig med.

Det vil sige, at roden af ​​th potens er den omvendte operation af at hæve til en potens:.

Det viser sig at. Det er klart dette særligt tilfælde kan udvides: .

Nu tilføjer vi tælleren: hvad er det? Svaret er nemt at få ved hjælp af magt-til-kraft-reglen:

Men kan basen være et hvilket som helst tal? Roden kan jo ikke udtrækkes fra alle tal.

Ingen!

Lad os huske reglen: ethvert tal hævet til en lige potens er et positivt tal. Det vil sige, at det er umuligt at udtrække lige rødder fra negative tal!

Det betyder, at sådanne tal ikke kan hæves til en brøkpotens med en lige nævner, det vil sige, at udtrykket ikke giver mening.

Hvad med udtrykket?

Men her opstår et problem.

Tallet kan repræsenteres i form af andre, reducerbare brøker, for eksempel eller.

Og det viser sig, at det findes, men ikke eksisterer, men det er blot to forskellige optegnelser med samme antal.

Eller et andet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men hvis vi skriver indikatoren anderledes ned, kommer vi i problemer igen: (det vil sige, vi fik et helt andet resultat!).

For at undgå sådanne paradokser overvejer vi kun positiv baseeksponent med fraktioneret eksponent.

Så hvis:

• — naturligt tal;
• - heltal;

Eksempler:

Rationelle eksponenter er meget nyttige til at transformere udtryk med rødder, for eksempel:

5 eksempler til praksis

Analyse af 5 eksempler til træning

Nå, nu kommer den sværeste del. Nu finder vi ud af det grad med irrationel eksponent.

Alle regler og egenskaber for grader her er nøjagtig de samme som for en grad med en rationel eksponent, med undtagelse

Irrationelle tal er jo per definition tal, der ikke kan repræsenteres som en brøk, hvor og er heltal (det vil sige, at irrationelle tal er alle reelle tal undtagen rationelle).

Når vi studerede grader med naturlige, heltal og rationelle eksponenter, skabte vi hver gang et bestemt "billede", "analogi" eller beskrivelse i mere velkendte termer.

For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tal ganget med sig selv flere gange;

...tal til nul potens- det er sådan set et tal ganget med sig selv én gang, det vil sige, de er endnu ikke begyndt at gange det, hvilket betyder, at selve tallet ikke engang er dukket op endnu - derfor er resultatet kun et vist "tomt tal" , nemlig et nummer;

...grad med negativ heltalseksponent- det er som om der var sket en "omvendt proces", det vil sige, at tallet ikke blev ganget med sig selv, men divideret.

Forresten, i videnskab bruges ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil sige, at eksponenten ikke engang er et reelt tal.

Men i skolen tænker vi ikke på sådanne vanskeligheder, du vil have mulighed for at forstå disse nye begreber på instituttet.

HVOR ER VI SIKKERE, AT DU GÅR! (hvis du lærer at løse sådanne eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse af løsninger:

1. Lad os starte med den sædvanlige regel for at hæve en magt til en magt:

Se nu på indikatoren. Minder han dig ikke om noget? Lad os huske formlen for forkortet multiplikation af forskellen mellem kvadrater:

I dette tilfælde,

Det viser sig, at:

Svar: .

2. Vi reducerer brøker i eksponenter til samme form: enten begge decimaler eller begge almindelige. Vi får fx:

Svar: 16

3. Ikke noget særligt, vi bruger de sædvanlige egenskaber for grader:

AVANCERET NIVEAU

Fastsættelse af grad

En grad er et udtryk for formen: , hvor:

• — grad base;
• - eksponent.

Grad med naturlig indikator (n = 1, 2, 3,...)

At hæve et tal til den naturlige potens n betyder at gange tallet med sig selv gange:

Grad med en heltalseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltal antal:

Konstruktion til nulgraden:

Udtrykket er ubestemt, fordi på den ene side i enhver grad er dette, og på den anden side er ethvert tal i th grad dette.

Hvis eksponenten er negativt heltal antal:

(fordi du ikke kan dividere med).

Endnu en gang om nuller: udtrykket er ikke defineret i casen. Hvis altså.

Eksempler:

Magt med rationel eksponent

• — naturligt tal;
• - heltal;

Eksempler:

Egenskaber for grader

For at gøre det lettere at løse problemer, lad os prøve at forstå: hvor kom disse egenskaber fra? Lad os bevise dem.

Lad os se: hvad er og?

Per definition:

Så på højre side af dette udtryk får vi følgende produkt:

Men per definition er det en potens af et tal med en eksponent, det vil sige:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle udtrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle udtrykket.

Løsning : Det er vigtigt at bemærke, at i vores regel Nødvendigvis der må være de samme grunde. Derfor kombinerer vi kræfterne med basen, men det forbliver en separat faktor:

En anden vigtig bemærkning: denne regel - kun for produkt af beføjelser!

Det kan du under ingen omstændigheder skrive.

Ligesom med den tidligere egenskab, lad os vende os til definitionen af ​​grad:

Lad os omgruppere dette arbejde sådan her:

Det viser sig, at udtrykket ganges med sig selv gange, det vil sige, ifølge definitionen, er dette tallets th potens:

I det væsentlige kan dette kaldes "at tage indikatoren ud af parentes." Men du kan aldrig gøre dette i alt: !

Lad os huske de forkortede multiplikationsformler: hvor mange gange ville vi skrive? Men det er trods alt ikke sandt.

Strøm med negativ base.

Indtil nu har vi kun diskuteret, hvordan det skulle være indikator grader. Men hvad skal grundlaget være? I beføjelser af naturlig indikator grundlaget kan være ethvert nummer .

Faktisk kan vi gange alle tal med hinanden, uanset om de er positive, negative eller lige. Lad os tænke på, hvilke tegn ("" eller "") der vil have grader af positive og negative tal?

Er tallet for eksempel positivt eller negativt? EN? ?

Med den første er alt klart: Lige meget hvor mange positive tal vi multiplicerer med hinanden, vil resultatet være positivt.

Men de negative er lidt mere interessante. Vi husker den simple regel fra 6. klasse: "minus for minus giver et plus." Altså eller. Men hvis vi ganger med (), får vi - .

Og så videre ad infinitum: For hver efterfølgende multiplikation vil tegnet ændre sig. Vi kan formulere følgende simple regler:

1. endog grad, - antal positiv.
2. Negativt tal hævet til ulige grad, - antal negativ.
3. Et positivt tal i enhver grad er et positivt tal.
4. Nul til enhver potens er lig med nul.

Bestem selv, hvilket tegn følgende udtryk vil have:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarede du dig? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de første fire eksempler håber jeg, at alt er klart? Vi ser blot på basis og eksponent og anvender den passende regel.

I eksempel 5) er alt heller ikke så skræmmende, som det ser ud: det er trods alt ligegyldigt, hvad basen er lig med - graden er lige, hvilket betyder, at resultatet altid vil være positivt. Nå, undtagen når basen er nul. Grundlaget er ikke ens, er det? Åbenbart ikke, da (fordi).

Eksempel 6) er ikke længere så simpelt. Her skal du finde ud af, hvad der er mindre: eller? Hvis vi husker det, bliver det klart, hvilket betyder, at basen er mindre end nul. Det vil sige, at vi anvender regel 2: resultatet bliver negativt.

Og igen bruger vi definitionen af ​​grad:

Alt er som det plejer - vi skriver definitionen af ​​grader ned og deler dem med hinanden, deler dem i par og får:

Før du skiller det ad sidste regel, lad os løse et par eksempler.

Beregn udtrykkene:

Løsninger :

Hvis vi ignorerer den ottende potens, hvad ser vi så her? Lad os huske 7. klasses programmet. Kan du huske det? Dette er formlen for forkortet multiplikation, nemlig forskellen på kvadrater!

Vi får:

Lad os se nøje på nævneren. Det ligner meget en af ​​tællerfaktorerne, men hvad er der galt? Rækkefølgen af ​​vilkårene er forkert. Hvis de blev omvendt, kunne regel 3 finde anvendelse. Men hvordan? Det viser sig, at det er meget nemt: den lige grad af nævneren hjælper os her.

Hvis du ganger det med, ændres intet, vel? Men nu bliver det sådan her:

På magisk vis skiftede vilkårene plads. Dette "fænomen" gælder for ethvert udtryk i en jævn grad: vi kan nemt ændre fortegnene i parentes. Men det er vigtigt at huske: Alle tegn ændrer sig på samme tid! Du kan ikke erstatte det med kun at ændre én ulempe, vi ikke kan lide!

Lad os gå tilbage til eksemplet:

Og igen formlen:

Så nu den sidste regel:

Hvordan vil vi bevise det? Selvfølgelig, som sædvanlig: lad os udvide begrebet grad og forenkle det:

Nå, lad os nu åbne parenteserne. Hvor mange bogstaver er der i alt? gange med multiplikatorer - hvad minder det dig om? Dette er intet andet end en definition af en operation multiplikation: Der var kun multiplikatorer der. Det vil sige, at dette per definition er en potens af et tal med en eksponent:

Eksempel:

Grad med irrationel eksponent

Udover information om grader for gennemsnitsniveauet vil vi analysere graden med en irrationel eksponent. Alle regler og egenskaber for grader her er nøjagtig de samme som for en grad med en rationel eksponent, med undtagelsen - trods alt er irrationelle tal pr. definition tal, der ikke kan repræsenteres som en brøk, hvor og er heltal (dvs. , irrationelle tal er alle reelle tal undtagen rationelle tal).

Når vi studerede grader med naturlige, heltal og rationelle eksponenter, skabte vi hver gang et bestemt "billede", "analogi" eller beskrivelse i mere velkendte termer. For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tal ganget med sig selv flere gange; et tal til nulpotensen er sådan set et tal ganget med sig selv én gang, det vil sige, at de endnu ikke er begyndt at gange det, hvilket betyder at selve tallet ikke engang er dukket op endnu - derfor er resultatet kun et sikkert tal "blankt nummer", nemlig et tal; en grad med en heltal negativ eksponent - det er som om en "omvendt proces" havde fundet sted, det vil sige, at tallet ikke blev ganget med sig selv, men divideret.

Det er ekstremt svært at forestille sig en grad med en irrationel eksponent (ligesom det er svært at forestille sig et 4-dimensionelt rum). Det er snarere et rent matematisk objekt, som matematikere skabte for at udvide begrebet grad til hele rummet af tal.

Forresten, i videnskab bruges ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil sige, at eksponenten ikke engang er et reelt tal. Men i skolen tænker vi ikke på sådanne vanskeligheder, du vil have mulighed for at forstå disse nye begreber på instituttet.

Så hvad gør vi, hvis vi ser en irrationel eksponent? Vi gør vores bedste for at slippe af med det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

1)

2)

3)

Svar:

1. Lad os huske forskellen mellem kvadraters formel. Svar: .
2. Vi reducerer brøkerne til samme form: enten begge decimaler eller begge almindelige. Vi får for eksempel: .
3. Ikke noget særligt, vi bruger de sædvanlige egenskaber for grader:

RESUMÉ AF AFSNIT OG GRUNDFORMLER

Grad kaldet et udtryk for formen: , hvor:

Grad med en heltalseksponent

en grad, hvis eksponent er et naturligt tal (dvs. heltal og positivt).

Power med rationel eksponent

grad, hvis eksponent er negative tal og brøktal.

Grad med irrationel eksponent

en grad, hvis eksponent er en uendelig decimalbrøk eller rod.

Egenskaber for grader

Funktioner af grader.

• Negativt tal hævet til endog grad, - antal positiv.
• Negativt tal hævet til ulige grad, - antal negativ.
• Et positivt tal i enhver grad er et positivt tal.
• Nul er lig med enhver magt.
• Ethvert tal i nulpotensen er lig.

NU HAR DU ORDET...

Hvordan kan du lide artiklen? Skriv nedenfor i kommentarerne, om du kunne lide det eller ej.

Fortæl os om din erfaring med at bruge gradsegenskaber.

Måske har du spørgsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarerne.

Og held og lykke med dine eksamener!

I denne artikel vil vi finde ud af, hvad det er potens af et tal. Her vil vi give definitioner af magten af ​​et tal, mens vi i detaljer vil overveje alle mulige eksponenter, begyndende med den naturlige eksponent og slutter med den irrationelle. I materialet finder du en masse eksempler på grader, der dækker alle de finesser, der opstår.

Sidenavigation.

Potens med naturlig eksponent, kvadrat af et tal, terning af et tal

Lad os starte med . Ser vi fremad, lad os sige, at definitionen af ​​potensen af ​​et tal a med naturlig eksponent n er givet for a, som vi vil kalde gradsgrundlag, og n, som vi vil kalde eksponent. Vi bemærker også, at en grad med en naturlig eksponent bestemmes gennem et produkt, så for at forstå materialet nedenfor skal du have forståelse for at gange tal.

Definition.

Potens af et tal med naturlig eksponent n er et udtryk for formen a n, hvis værdi er lig med produktet af n faktorer, som hver er lig med a, dvs.
Især er potensen af ​​et tal a med eksponent 1 tallet a selv, det vil sige a 1 =a.

Det er værd at nævne med det samme om reglerne for læsning af grader. Den universelle måde at læse notationen a n på er: "a til magten af ​​n". I nogle tilfælde er følgende muligheder også acceptable: "a til n'te potens" og "n'te potens af a". Lad os for eksempel tage potensen 8 12, dette er "otte i tolv potens", eller "otte til tolvte potens", eller "tolvte potens af otte".

Anden potens af et tal, såvel som tredje potens af et tal, har deres egne navne. Anden potens af et tal kaldes kvadrat tallet 7 2 læses f.eks. som "syv i kvadrat" eller "kvadratet af tallet syv." Den tredje potens af et tal kaldes kuberede tal 5 3 kan for eksempel læses som "fem terninger", eller du kan sige "terning af tallet 5".

Det er tid til at bringe eksempler på grader med naturlige eksponenter. Lad os starte med graden 5 7, her er 5 gradens basis, og 7 er eksponenten. Lad os give et andet eksempel: 4,32 er grundtallet, og det naturlige tal 9 er eksponenten (4,32) 9 .

Bemærk venligst, at i sidste eksempel Grundlaget for graden 4,32 er skrevet i parentes: For at undgå uoverensstemmelser vil vi sætte alle grundtal af graden, der er forskellige fra naturlige tal, i parentes. Som eksempel giver vi følgende grader med naturlige eksponenter , deres baser er ikke naturlige tal, så de er skrevet i parentes. For fuldstændig klarhed vil vi på dette tidspunkt vise forskellen indeholdt i registreringer af formen (−2) 3 og −2 3. Udtrykket (−2) 3 er en potens af −2 med en naturlig eksponent på 3, og udtrykket −2 3 (det kan skrives som −(2 3) ) svarer til tallet, værdien af ​​potensen 2 3 .

Bemærk, at der er en notation for potensen af ​​et tal a med en eksponent n af formen a^n. Desuden, hvis n er et naturligt tal med flere værdier, er eksponenten taget i parentes. For eksempel er 4^9 en anden notation for potensen 4 9 . Og her er nogle flere eksempler på at skrive grader ved hjælp af symbolet "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . I det følgende vil vi primært bruge gradnotation af formen a n .

Et af problemerne omvendt til at hæve til en potens med en naturlig eksponent er problemet med at finde bunden af ​​potensen ved at kendt værdi grad og kendt indikator. Denne opgave fører til.

Det er kendt, at mange rationelle tal består af hele og brøktal, hver brøktal kan repræsenteres som positiv eller negativ almindelig brøk. Vi definerede en grad med en heltalseksponent i det foregående afsnit, derfor skal vi, for at fuldføre definitionen af ​​en grad med en rationel eksponent, give mening til graden af ​​tallet a med en brøkeksponent m/n, hvor m er et heltal, og n er et naturligt tal. Lad os gøre dette.

Lad os overveje en grad med en brøkeksponent af formen . For at magt-til-magt-egenskaben forbliver gyldig, skal ligheden holde . Hvis vi tager hensyn til den resulterende lighed og hvordan vi bestemte , så er det logisk at acceptere det, forudsat at for givet m, n og a giver udtrykket mening.

Det er let at kontrollere, at for alle egenskaber af en grad med en heltalseksponent er gyldige (dette blev gjort i afsnittet egenskaber for en grad med en rationel eksponent).

Ovenstående begrundelse giver os mulighed for at gøre følgende konklusion: hvis givet m, n og a giver udtrykket mening, så kaldes potensen af ​​a med en brøkeksponent m/n den n'te rod af a i m potens.

Denne erklæring bringer os tæt på definitionen af ​​en grad med en brøkeksponent. Tilbage er blot at beskrive, ved hvad m, n og a udtrykket giver mening. Afhængigt af begrænsningerne på m, n og a er der to hovedtilgange.

Den nemmeste måde er at pålægge a en begrænsning ved at tage a≥0 for positiv m og a>0 for negativ m (da for m≤0 graden 0 af m ikke er defineret). Så får vi følgende definition af en grad med en brøkeksponent.

Definition.

Grad positivt tal a med brøkeksponent m/n, hvor m er et heltal, og n er et naturligt tal, kaldes den n'te rod af tallet a i m potens, dvs.

Brøkstyrken af ​​nul bestemmes også med det eneste forbehold, at indikatoren skal være positiv.

Definition.

Potens af nul med positiv brøkeksponent m/n, hvor m er et positivt heltal, og n er et naturligt tal, er defineret som .
Når graden ikke er bestemt, det vil sige graden af ​​tallet nul med en negativ brøkeksponent giver ikke mening.

Det skal bemærkes, at med denne definition af en grad med en brøkeksponent er der én advarsel: For nogle negative a og nogle m og n giver udtrykket mening, og vi kasserede disse tilfælde ved at introducere betingelsen a≥0. For eksempel giver posterne mening eller , og definitionen ovenfor tvinger os til at sige, at magter med en brøkeksponent af formen giver ikke mening, da basen ikke bør være negativ.

En anden tilgang til at bestemme en grad med en brøkeksponent m/n er at betragte lige og ulige eksponenter af roden separat. Denne tilgang kræver en yderligere betingelse: potensen af ​​tallet a, hvis eksponent er , anses for at være potensen af ​​tallet a, hvis eksponent er den tilsvarende irreducerbare brøk (vi vil forklare vigtigheden af ​​denne betingelse nedenfor ). Det vil sige, at hvis m/n er en irreducerbar brøk, så erstattes graden for ethvert naturligt tal k først med .

For lige n og positiv m giver udtrykket mening for enhver ikke-negativ a (lige rod af negativt tal giver ikke mening), for negativ m skal tallet a stadig være forskelligt fra nul (ellers vil der være division med nul). Og for ulige n og positiv m kan tallet a være et hvilket som helst (roden af ​​en ulige grad er defineret for ethvert reelt tal), og for negativt m skal tallet a være ikke-nul (så der ikke er division med nul).

Ovenstående ræsonnement fører os til denne definition af en grad med en brøkeksponent.

Definition.

Lad m/n være en irreducerbar brøk, m et helt tal og n et naturligt tal. For enhver reducerbar brøk erstattes graden af ​​. Potensen af ​​et tal med en irreducerbar brøkeksponent m/n er for



Lad os forklare, hvorfor en grad med en reducerbar brøkeksponent først erstattes af en grad med en irreducerbar eksponent. Hvis vi blot definerede graden som , og ikke tog forbehold for irreducerbarheden af ​​brøken m/n, så ville vi stå over for situationer svarende til følgende: da 6/10 = 3/5, så må ligheden holde , Men , A .

Lektion og oplæg om emnet: "Eksponent med negativ eksponent. Definition og eksempler på problemløsning"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Pædagogiske hjælpemidler og simulatorer i Integral netbutik for 8. klasse
Manual til lærebogen Muravin G.K.   

En manual til lærebogen af ​​Alimov Sh.A.

Gradsbestemmelse med negativ eksponent
Gutter, vi er gode til at hæve tal til magten.

For eksempel: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
Vi ved godt, at ethvert tal i nulpotensen er lig med en. $a^0=1$, $a≠0$.
Spørgsmålet opstår, hvad der sker, hvis du hæver et tal til en negativ styrke? For eksempel, hvad vil tallet $2^(-2)$ være lig med? De første matematikere, der stillede dette spørgsmål, besluttede, at det ikke var værd at genopfinde hjulet, og det var godt, at alle graders egenskaber forblev de samme. Altså når man multiplicerer potenser med samme grundlag
, lægger eksponenterne sammen.
Lad os overveje dette tilfælde: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.

Vi fandt ud af, at produktet af sådanne tal skulle give en. Enheden i produktet fås ved at gange de gensidige tal, det vil sige $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.
Sådan ræsonnement førte til følgende definition. Definition.

Hvis $n$ er et naturligt tal og $a≠0$, så gælder ligheden: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
En vigtig identitet, der ofte bruges, er: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.

Især $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Eksempler på løsninger
Eksempel 1.

Beregn: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
Løsning.
Lad os overveje hvert udtryk separat.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Det er tilbage at udføre additions- og subtraktionsoperationer: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.

Svar: $6\frac(1)(4)$.
Eksempel 2. Repræsenter et givet tal som en potens primtal

Beregn: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
$\frac(1)(729)$.
Det er klart, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Men 729 er ikke et primtal, der ender på 9. Det kan antages, at dette tal er en potens af tre. Del 729 konsekvent med 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Seks operationer blev udført, og det betyder: $729=3^6$.
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Til vores opgave:

Svar: $3^(-6)$.
Løsning. Den første handling udføres altid inden for parentes, derefter multiplikation $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Svar: $a$.

Eksempel 4. Bevis identiteten:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Løsning.
På venstre side betragter vi hver faktor i parentes separat.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Lad os gå videre til den brøk, vi dividerer med.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Lad os lave opdelingen.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Vi fik den korrekte identitet, hvilket var det, vi skulle bevise.

I slutningen af ​​lektionen vil vi igen nedskrive reglerne for at arbejde med potenser, her er eksponenten et heltal.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Problemer, der skal løses selvstændigt

1. Beregn: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Fremstil det givne tal som en potens af et primtal $\frac(1)(16384)$.
3. Udtryk udtrykket som en potens:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Bevis identiteten:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Eksponentiering er en operation, der er tæt forbundet med multiplikation. Denne operation er resultatet af gentagne gange at gange et tal med sig selv. Lad os repræsentere det med formlen: a1 * a2 * … * an = an.

For eksempel, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Generelt bruges eksponentiering ofte i forskellige formler i matematik og fysik. Denne funktion har et mere videnskabeligt formål end de fire vigtigste: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

At hæve et tal til en magt

At hæve et tal til en magt er ikke en kompliceret operation. Det er relateret til multiplikation på samme måde som forholdet mellem multiplikation og addition. Notationen an er en kort notation af det n'te antal tal "a" ganget med hinanden.

Overvej eksponentiering ved at bruge de enkleste eksempler, gå videre til komplekse eksempler.

For eksempel 42. 42 = 4 * 4 = 16. Fire i kvadrat (til anden potens) er lig med seksten. Hvis du ikke forstår multiplikation 4 * 4, så læs vores artikel om multiplikation.

Lad os se på et andet eksempel: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Fem terninger (til tredje potens) er lig med hundrede og femogtyve.

Et andet eksempel: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Ni terninger er lig med syv hundrede niogtyve.

Eksponentieringsformler

For korrekt at hæve til en potens skal du huske og kende formlerne nedenfor. Der er ikke noget ekstra naturligt i dette, det vigtigste er at forstå essensen og så vil de ikke kun blive husket, men vil også virke nemme.

At hæve en monomial til en magt

Hvad er et monomial? Dette er et produkt af tal og variable i enhver mængde. For eksempel er to et monomial. Og denne artikel handler netop om at hæve sådanne monomer til magter.

Ved at bruge formlerne for eksponentiering vil det ikke være svært at beregne eksponentieringen af ​​et monomial.

f.eks. (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Hvis du hæver en monomial til en potens, så hæves hver komponent af monomial til en potens.

Ved at hæve en variabel, der allerede har en potens, til en potens, ganges potenserne. For eksempel, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Hæve til en negativ magt

Negativ grad– gensidigt nummer. Hvad er det gensidige tal? Den reciproke af ethvert tal X er 1/X. Det vil sige X-1=1/X. Dette er essensen af ​​den negative grad.

Overvej eksemplet (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Hvorfor er det sådan? Da der er et minus i graden, overfører vi blot dette udtryk til nævneren og hæver det så til tredje potens. Simpelt er det ikke?

Hæve til en brøkdel magt

Lad os begynde at overveje spørgsmålet kl konkret eksempel. 43/2. Hvad betyder grad 3/2? 3 – tæller, betyder at hæve et tal (i dette tilfælde 4) til en terning. Tallet 2 er nævneren det er udtrækningen af ​​den anden rod af et tal (i dette tilfælde 4).

Så får vi kvadratroden af ​​43 = 2^3 = 8. Svar: 8.

Så nævneren for en brøkgrad kan enten være 3 eller 4 eller et hvilket som helst tal til uendeligt, og dette tal bestemmer graden kvadratrod, udtrukket fra et givet nummer. Selvfølgelig kan nævneren ikke være nul.

At hæve en rod til en magt

Hvis roden hæves til en grad, der svarer til graden af ​​selve roden, så vil svaret være et radikalt udtryk. For eksempel, (√x)2 = x. Og så under alle omstændigheder er graden af ​​roden og graden af ​​at hæve roden lige store.

Hvis (√x)^4. Derefter (√x)^4=x^2. For at kontrollere løsningen konverterer vi udtrykket til et udtryk med en brøkpotens. Da roden er kvadratisk, er nævneren 2. Og hvis roden hæves til fjerde potens, så er tælleren 4. Vi får 4/2=2. Svar: x = 2.

I hvert fald bedste mulighed konverter blot udtrykket til et udtryk med en brøkstyrke. Hvis brøken ikke annullerer, så er dette svaret, forudsat at roden af ​​det givne tal ikke er isoleret.

Hæver et komplekst tal til magten

Hvad er et komplekst tal? Et komplekst tal er et udtryk, der har formlen a + b * i; a, b er reelle tal. i er et tal, der, når det kvadreres, giver tallet -1.

Lad os se på et eksempel. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Tilmeld dig kurset "Accelererende hovedregning, IKKE hovedregning"at lære at lægge sammen, trække fra, gange, dividere, kvadrere tal og endda slå rødder hurtigt og korrekt. På 30 dage lærer du at bruge nemme teknikker til at forenkle regneoperationer. Hver lektion indeholder nye teknikker, klare eksempler og nyttige opgaver.

Eksponentiering online

Ved hjælp af vores lommeregner kan du beregne hævningen af ​​et tal til en potens:

Eksponentiering 7. klasse

Skolebørn begynder først at få magt i syvende klasse.

Eksponentiering er en operation, der er tæt forbundet med multiplikation. Denne operation er resultatet af gentagne gange at gange et tal med sig selv. Lad os repræsentere det med formlen: a1 * a2 * … * an=an.

f.eks. a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Eksempler på løsning:

Præsentation af eksponentiering

Præsentation om at hæve til magten, designet til syvende klasser. Præsentationen kan afklare nogle uklare punkter, men disse punkter bliver nok ikke opklaret takket være vores artikel.

Bundlinje

Vi har kun set på toppen af ​​isbjerget, for at forstå matematik bedre - tilmeld dig vores kursus: Accelererende hovedregning - IKKE hovedregning.

Fra kurset lærer du ikke kun snesevis af teknikker til forenklet og hurtig multiplikation, addition, multiplikation, division og udregning af procenter, men du vil også øve dem i specielle opgaver og pædagogiske spil! Hovedregning kræver også meget opmærksomhed og koncentration, som trænes aktivt, når man løser interessante problemer.

Magten bruges til at forenkle operationen med at gange et tal med sig selv. For eksempel, i stedet for at skrive, kan du skrive 4 5 (\displaystyle 4^(5))(en forklaring på denne overgang er givet i første afsnit af denne artikel). Grader gør det lettere at skrive lange eller komplekse udtryk eller ligninger; potenser er også nemme at tilføje og trække fra, hvilket resulterer i et forenklet udtryk eller ligning (f.eks. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Note: hvis du skal løse en eksponentiel ligning (i sådan en ligning er det ukendte i eksponenten), læs.

Trin

Løsning af simple problemer med grader

Multiplicer eksponentens basis med sig selv et antal gange lig med eksponenten. Hvis du skal løse et potensproblem i hånden, skal du omskrive potensen som en multiplikationsoperation, hvor bunden af ​​potensen ganges med sig selv. For eksempel givet en grad 3 4 (\displaystyle 3^(4)). I dette tilfælde skal basen for potens 3 ganges med sig selv 4 gange: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Her er andre eksempler:

Først skal du gange de første to tal. f.eks. 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Bare rolig – beregningsprocessen er ikke så kompliceret, som den ser ud ved første øjekast. Gang først de første to firere og erstat dem derefter med resultatet. Sådan:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Gang resultatet (16 i vores eksempel) med det næste tal. Hvert efterfølgende resultat vil stige proportionalt. I vores eksempel skal du gange 16 med 4. Sådan:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Fortsæt med at gange resultatet af de første to tal med det næste tal, indtil du får dit endelige svar. For at gøre dette skal du gange de første to tal og derefter gange det resulterende resultat med det næste tal i rækkefølgen. Denne metode er gyldig for enhver grad. I vores eksempel skal du få: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Løs følgende problemer. Tjek dit svar ved hjælp af en lommeregner.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. På din lommeregner skal du se efter nøglen mærket "exp" eller " x n (\displaystyle x^(n))", eller "^". Ved at bruge denne tast hæver du et tal til en potens. Det er næsten umuligt at beregne en grad med en stor indikator manuelt (for eksempel graden 9 15 (\displaystyle 9^(15))), men lommeregneren kan sagtens klare denne opgave. I Windows 7 kan standardberegneren skiftes til ingeniørtilstand; For at gøre dette skal du klikke på "Vis" -> "Engineering". For at skifte til normal tilstand skal du klikke på "Vis" -> "Normal".

   • Tjek dit svar vha søgemaskine(Google eller Yandex). Brug "^"-tasten på dit computertastatur til at indtaste udtrykket i søgemaskinen, som øjeblikkeligt vil vise det rigtige svar (og muligvis foreslå lignende udtryk, som du kan studere).

   Addition, subtraktion, multiplikation af potenser

   1. Du kan kun tilføje og trække potenser fra, hvis de har samme grundtal. Hvis du skal tilføje potenser med de samme grundtal og eksponenter, kan du erstatte additionsoperationen med multiplikationsoperationen. For eksempel givet udtrykket 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Husk at graden 4 5 (\displaystyle 4^(5)) kan repræsenteres i formen 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Således, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(hvor 1+1 =2). Det vil sige, tæl antallet af lignende grader, og gange derefter den grad og dette tal. I vores eksempel skal du hæve 4 til femte potens, og derefter gange det resulterende resultat med 2. Husk at additionsoperationen kan erstattes af multiplikationsoperationen, f.eks. 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Her er andre eksempler:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Når potenser ganges med samme grundtal, lægges deres eksponenter sammen (grundlaget ændres ikke). For eksempel givet udtrykket x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). I dette tilfælde skal du bare tilføje indikatorerne og lade basen være uændret. Således, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Her er en visuel forklaring af denne regel:

      Når man hæver en potens til en potens, ganges eksponenterne. Der gives fx en grad. Da eksponenter ganges, altså (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Pointen med denne regel er, at du multiplicerer med potenser (x 2) (\displaystyle (x^(2))) på sig selv fem gange. Sådan:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Da basen er den samme, summeres eksponenterne ganske enkelt: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. En potens med negativ eksponent skal konverteres til en brøk (omvendt potens). Det er lige meget, hvis du ikke ved, hvad en gensidig grad er. Hvis du får en grad med negativ eksponent, f.eks. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), skriv denne grad i brøkens nævner (sæt 1 i tælleren), og gør eksponenten positiv. I vores eksempel: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Her er andre eksempler:

      Når man dividerer grader med samme grundtal, trækkes deres eksponenter fra (grundlaget ændres ikke). Divisionsoperationen er det modsatte af multiplikationsoperationen. For eksempel givet udtrykket 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Træk eksponenten i nævneren fra eksponenten i tælleren (ændr ikke grundtallet). Således, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Potensen i nævneren kan skrives som følger: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Husk, at en brøk er et tal (potens, udtryk) med en negativ eksponent.

   4. Nedenfor er nogle udtryk, der vil hjælpe dig med at lære at løse problemer med eksponenter. De angivne udtryk dækker det materiale, der præsenteres i dette afsnit. For at se svaret skal du blot fremhæve den tomme plads efter lighedstegnet.

   Løsning af problemer med brøkeksponenter

   En potens med en brøkeksponent (f.eks. ) konverteres til en rodoperation. I vores eksempel: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Her er det lige meget, hvilket tal der er i nævneren af ​​brøkeksponenten. f.eks. x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- er den fjerde rod af "x", dvs x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Hvis eksponenten er en uegentlig brøk, kan eksponenten dekomponeres i to potenser for at forenkle løsningen af ​​problemet. Der er ikke noget kompliceret ved dette - husk blot reglen om multiplikation af magter. Der gives fx en grad. Konverter en sådan potens til en rod, hvis potens er lig med nævneren af ​​brøkeksponenten, og hæv derefter denne rod til en potens lig med tælleren for brøkeksponenten. For at gøre dette, husk det = 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3)))(1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5)

      • . I vores eksempel:
      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x))) = x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3)))
   2. (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   3. Nogle lommeregnere har en knap til at beregne eksponenter (du skal først indtaste grundtallet, derefter trykke på knappen og derefter indtaste eksponenten). Det er angivet som ^ eller x^y. Husk at ethvert tal i første potens er lig med sig selv, f.eks. 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Desuden er ethvert tal ganget eller divideret med én lig med sig selv, f.eks. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Og.
   4. 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5) Vid, at potensen 0 0 ikke eksisterer (en sådan potens har ingen løsning). Hvis du forsøger at løse en sådan grad på en lommeregner eller på en computer, får du en fejl. Men husk, at ethvert tal i nulpotensen er 1, f.eks.
   5. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.) I højere matematik, som opererer med imaginære tal: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax) , Hvor i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1))

   ; e er en konstant omtrent lig med 2,7; a er en vilkårlig konstant. Beviset for denne lighed kan findes i enhver lærebog om højere matematik.

   • Advarsler Når eksponenten stiger, stiger dens værdi meget. Så hvis svaret virker forkert for dig, kan det faktisk være korrekt. Du kan tjekke dette ved at plotte evt eksponentiel funktion