Definition 1. Prismatisk overflade
Sætning 1. På parallelle snit af en prismatisk overflade
Definition 2. Vinkelret snit af en prismatisk overflade
Definition 3. Prisme
Definition 4. Prismehøjde
Definition 5. Højre prisme
Sætning 2. Arealet af prismets laterale overflade

Parallelepiped:
Definition 6. Parallelepiped
Sætning 3. Om skæringspunktet mellem diagonalerne i et parallelepipedum
Definition 7. Højre parallelepipedum
Definition 8. Rektangulær parallelepipedum
Definition 9. Målinger af et parallelepipedum
Definition 10. Terning
Definition 11. Rhombohedron
Sætning 4. På diagonalerne af et rektangulært parallelepipedum
Sætning 5. Volumen af ​​et prisme
Sætning 6. Volumen af ​​et lige prisme
Sætning 7. Volumen af ​​et rektangulært parallelepipedum

Prisme er et polyeder, hvis to flader (baser) ligger i parallelle planer, og de kanter, der ikke ligger i disse flader, er parallelle med hinanden.
Andre ansigter end baserne kaldes lateralt.
Siderne af sidefladerne og baserne kaldes prismeribber, kaldes enderne af kanterne hjørnerne af prismet. Sideribber kanter, der ikke hører til baserne, kaldes. Foreningen af ​​sideflader kaldes lateral overflade af prismet, og foreningen af ​​alle ansigter kaldes prismets fulde overflade. Prisme højde kaldet vinkelret faldet fra punktet af den øverste base til planet for den nedre base eller længden af ​​denne vinkelret. Direkte prisme kaldes et prisme, hvis sidekanter er vinkelrette på grundplanerne. Korrekt kaldet et lige prisme (fig. 3), ved hvis basis ligger en regulær polygon.

Betegnelser:
l - side rib;
P - base omkreds;
S o - basisareal;
H - højde;
P^ - vinkelret snit omkreds;
S b - lateral overfladeareal;
V - volumen;
S p er arealet af prismets samlede overflade.

V=SH Sp = Sb + 2So S b = P ^ l

Definition 1 . En prismatisk flade er en figur dannet af dele af flere planer parallelt med én ret linie, begrænset af de rette linier, langs hvilke disse planer successivt skærer hinanden*; disse linjer er parallelle med hinanden og kaldes kanterne af den prismatiske overflade.
*Det antages, at hvert andet plan skærer hinanden, og at det sidste plan skærer det første

Sætning 1 . Sektioner af en prismatisk overflade ved planer parallelle med hinanden (men ikke parallelle med dens kanter) er lige mange polygoner.
Lad ABCDE og A"B"C"D"E" være sektioner af en prismatisk overflade med to parallelle planer. For at sikre, at disse to polygoner er lige store, er det nok at vise, at trekanter ABC og A"B"C" er ens og har samme omdrejningsretning, og at det samme gælder for trekanter ABD og A"B"D", ABE og A"B"E". Men de tilsvarende sider af disse trekanter er parallelle (f.eks. er AC parallel med AC) ligesom skæringslinjen for et bestemt plan med to parallelle planer; det følger, at disse sider er ens (f.eks. AC er lig med A"C"), ligesom modsatte sider af et parallelogram, og at vinklerne dannet af disse sider er ens og har samme retning.

Definition 2 . Et vinkelret udsnit af en prismatisk overflade er et udsnit af denne overflade i et plan vinkelret på dens kanter. Baseret på den foregående sætning vil alle vinkelrette sektioner af den samme prismatiske overflade være ens polygoner.

Definition 3 . Et prisme er et polyeder afgrænset af en prismatisk overflade og to planer parallelt med hinanden (men ikke parallelle med kanterne af den prismatiske overflade)
De ansigter, der ligger i disse sidste planer, kaldes prisme baser; ansigter, der tilhører den prismatiske overflade - sideflader; kanter af den prismatiske overflade - sideribber af prismet. I kraft af den foregående sætning er prismets basis lige mange polygoner. Alle sideflader prismer - parallelogrammer; alle sideribber er lige hinanden.
Det er klart, at hvis bunden af ​​prismet ABCDE og en af ​​kanterne AA" i størrelse og retning er givet, så er det muligt at konstruere et prisme ved at tegne kanterne BB", CC", ... lig og parallel med kant AA" .

Definition 4 . Højden af ​​et prisme er afstanden mellem planerne af dets baser (HH").

Definition 5 . Et prisme kaldes lige, hvis dets baser er vinkelrette sektioner af den prismatiske overflade. I dette tilfælde er prismets højde selvfølgelig dens side rib; sidekanterne bliver rektangler.
Prismer kan klassificeres efter antallet af sideflader, lige mange sider af polygonen, der tjener som dens base. Prismer kan således være trekantede, firkantede, femkantede osv.

Sætning 2 . Arealet af prismets laterale overflade er lig med produktet af den laterale kant og omkredsen af ​​den vinkelrette sektion.
Lad ABCDEA"B"C"D"E" være et givet prisme og abcde dets vinkelrette snit, således at segmenterne ab, bc, .. er vinkelrette på dets laterale kanter. Forsiden ABA"B" er et parallelogram; dets areal er lig med produktet af basen AA " til en højde, der falder sammen med ab; arealet af ansigtet ВСВ "С" er lig med produktet af basen ВВ" med højden bc osv. Følgelig, lateral overflade(dvs. summen af ​​arealerne af sidefladerne) er lig med produktet af sidekanten, med andre ord den samlede længde af segmenterne AA", BB", .., med summen ab+bc+cd +de+ea.

Prismets basis kan være en hvilken som helst polygon - trekant, firkant osv. Begge baser er helt identiske, og følgelig, med hvilke hjørnerne af parallelle kanter er forbundet med hinanden, er de altid parallelle. I bunden af ​​et regulært prisme ligger en regulær polygon, det vil sige en, hvor alle sider er lige store. I et lige prisme er ribberne mellem sidefladerne vinkelrette på bunden. I dette tilfælde kan bunden af ​​et lige prisme indeholde en polygon med et vilkårligt antal vinkler. Et prisme, hvis basis er et parallelogram, kaldes et parallelepipedum. Rektangel - særligt tilfælde parallelogram. Hvis denne figur ligger ved bunden, og sidefladerne er placeret vinkelret på bunden, kaldes parallelepipedummet rektangulært. Det andet navn for denne geometriske krop er rektangulær.

Hvordan ser hun ud

Rektangulære prismer omgivet moderne mand en hel del. Det er fx almindeligt pap til sko, computerkomponenter mv. Se dig omkring. Selv i et rum vil du sandsynligvis se mange rektangulære prismer. Dette inkluderer en computertaske, en reol, et køleskab, en garderobe og mange andre ting. Formen er ekstremt populær, primært fordi den giver dig mulighed for at få mest muligt ud af din plads, uanset om du dekorerer dit interiør eller pakker ting ind i pap, inden du flytter.

Egenskaber for et rektangulært prisme

Et rektangulært prisme har en række specifikke egenskaber. Ethvert par flader kan tjene som det, da alle tilstødende flader er placeret i samme vinkel i forhold til hinanden, og denne vinkel er 90°. Volumenet og overfladearealet af et rektangulært prisme er lettere at beregne end nogen anden. Tag ethvert objekt, der har form som et rektangulært prisme. Mål dens længde, bredde og højde. For at finde volumen skal du bare gange disse målinger. Det vil sige, at formlen ser sådan ud: V=a*b*h, hvor V er volumenet, a og b er siderne af basen, h er højden, der falder sammen med sidekanten af ​​dette geometriske legeme. Grundarealet beregnes ved hjælp af formlen S1=a*b. For sidefladen skal du først beregne omkredsen af ​​basen ved hjælp af formlen P=2(a+b), og derefter gange den med højden. Den resulterende formel er S2=P*h=2(a+b)*h. For at beregne det samlede overfladeareal af et rektangulært prisme skal du tilføje to gange basisarealet og sideoverfladearealet. Den resulterende formel er S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Prisme. Parallelepiped

Prisme er et polyeder, hvis to flader er lige store n-goner (baser) , liggende i parallelle planer, og de resterende n flader er parallelogrammer (sideflader) . Sideribben Den side af et prisme, der ikke hører til basen, kaldes den side af prismet.

Et prisme, hvis sidekanter er vinkelrette på basernes planer, kaldes direkte prisme (fig. 1). Hvis sidekanterne ikke er vinkelrette på basernes planer, kaldes prismet tilbøjelig . Korrekt Et prisme er et højre prisme, hvis baser er regulære polygoner.

Højde prisme er afstanden mellem basernes planer. Diagonal Et prisme er et segment, der forbinder to hjørner, der ikke hører til den samme flade. Diagonalt snit kaldes et udsnit af et prisme af et plan, der går gennem to sidekanter, der ikke hører til den samme flade. Vinkelret snit kaldes et udsnit af et prisme af et plan vinkelret på prismets sidekant.

Sidefladeareal af et prisme er summen af ​​arealerne af alle sideflader. Samlet overfladeareal kaldes summen af ​​arealerne af alle flader af prismet (dvs. summen af ​​arealerne af sidefladerne og arealerne af baserne).

For et vilkårligt prisme er følgende formler sande::

Hvor l– længden af ​​sideribben;

H- højde;

P

Q

S side

S fuld

S base- område af baserne;

V– prismets volumen.

For et lige prisme er følgende formler korrekte:

Hvor s– basisomkreds;

l– længden af ​​sideribben;

H- højde.

parallelepipedum kaldes et prisme, hvis basis er et parallelogram. Et parallelepipedum, hvis sidekanter er vinkelrette på bunden, kaldes direkte (Fig. 2). Hvis sidekanterne ikke er vinkelrette på baserne, kaldes parallelepipedet tilbøjelig . Et ret parallelepipedum, hvis basis er et rektangel, kaldes rektangulær. Et rektangulært parallelepipedum med alle kanter lige kaldes terning

Ansigterne på et parallelepipedum, der ikke har fælles hjørner, kaldes modsat . Længderne af kanter, der udgår fra et toppunkt kaldes målinger parallelepipedum. Da et parallelepipedum er et prisme, er dets hovedelementer defineret på samme måde, som de er defineret for prismer.

Sætninger.

1. Diagonalerne på et parallelepipedum skærer hinanden i et punkt og halverer det.

2. I et rektangulært parallelepipedum, kvadratet af længden af ​​diagonalen lig med summen kvadrater af dens tre dimensioner:

3. Alle fire diagonaler i et rektangulært parallelepipedum er lig med hinanden.

For et vilkårligt parallelepipedum er følgende formler gyldige:

Hvor l– længden af ​​sideribben;

H- højde;

P– vinkelret snit omkreds;

Q– Vinkelret tværsnitsareal;

S side– lateral overfladeareal;

S fuld– samlet overfladeareal;

S base- område af baserne;

V– prismets volumen.

For et højre parallelepipedum er følgende formler korrekte:

Hvor s– basisomkreds;

l– længden af ​​sideribben;

H– Højden af ​​et højre parallelepipedum.

For et rektangulært parallelepipedum er følgende formler korrekte:

(3)

Hvor s– basisomkreds;

H- højde;

d– diagonal;

a,b,c– målinger af et parallelepipedum.

Følgende formler er korrekte for en terning:

Hvor -en- ribbens længde;

d- terningens diagonal.

Eksempel 1. Diagonalen af ​​et rektangulært parallelepipedum er 33 dm, og dets dimensioner er i forholdet 2: 6: 9. Find dimensionerne af parallelepipediet.

Løsning. For at finde dimensionerne af parallelepipedet bruger vi formel (3), dvs. ved, at kvadratet af hypotenusen af ​​en kuboid er lig med summen af ​​kvadraterne af dens dimensioner. Lad os betegne med k proportionalitetsfaktor. Så vil dimensionerne af parallelepipedet være lig med 2 k, 6k og 9 k. Lad os skrive formel (3) for problemdataene:

Løsning af denne ligning for k, vi får:

Det betyder, at dimensionerne på parallelepipedet er 6 dm, 18 dm og 27 dm.

Svar: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Eksempel 2. Find volumen af ​​en skrå trekantet prisme, hvis basis er en ligesidet trekant med en side på 8 cm, hvis sidekanten er lig med siden af ​​basen og skråner i en vinkel på 60º i forhold til basen.

Løsning . Lad os lave en tegning (fig. 3).

For at finde volumen af ​​et skrå prisme skal du kende arealet af dets base og højde. Arealet af bunden af ​​dette prisme er arealet af en ligesidet trekant med en side på 8 cm Lad os beregne det:

Højden af ​​et prisme er afstanden mellem dets baser. Fra toppen EN 1 af den øverste base, sænk vinkelret på den nederste bases plan EN 1 D. Dens længde vil være prismets højde. Overvej D EN 1 AD: da dette er sidekantens hældningsvinkel EN 1 EN til basisplanet, EN 1 EN= 8 cm Fra denne trekant finder vi EN 1 D:

Nu beregner vi volumen ved hjælp af formel (1):

Svar: 192 cm 3.

Eksempel 3. Sidekanten af ​​et regulært sekskantet prisme er 14 cm Arealet af det største diagonale snit er 168 cm 2. Find det samlede overfladeareal af prismet.

Løsning. Lad os lave en tegning (fig. 4)

Det største diagonale snit er et rektangel A.A. 1 DD 1 siden diagonal AD regulær sekskant ABCDEF er den største. For at beregne prismets laterale overfladeareal er det nødvendigt at kende siden af ​​basen og længden af ​​sidekanten.

Ved at kende arealet af det diagonale snit (rektangel) finder vi basens diagonal.

Siden da

Siden da AB= 6 cm.

Så er omkredsen af ​​basen:

Lad os finde arealet af prismets laterale overflade:

Arealet af en regulær sekskant med side 6 cm er:

Find prismets samlede overfladeareal:

Svar:

Eksempel 4. Basen af ​​et højre parallelepipedum er en rombe. De diagonale tværsnitsarealer er 300 cm2 og 875 cm2. Find arealet af sidefladen af ​​parallelepipedet.

Løsning. Lad os lave en tegning (fig. 5).

Lad os betegne siden af ​​rhombus ved EN, diagonaler af en rombe d 1 og d 2, parallelepipedumhøjde h. For at finde arealet af den laterale overflade af et ret parallelepipedum er det nødvendigt at gange omkredsen af ​​basen med højden: (formel (2)). Base omkreds p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, fordi ABCD- rombe H = AA 1 = h. At. Skal finde EN Og h.

Lad os overveje diagonale sektioner. AA 1 SS 1 – et rektangel, hvis ene side er diagonalen på en rombe AC = d 1, anden – sidekant AA 1 = h, Så

Tilsvarende for afsnittet BB 1 DD 1 får vi:

Ved at bruge egenskaben af ​​et parallelogram, således at summen af ​​kvadraterne af diagonalerne er lig med summen af ​​kvadraterne på alle dets sider, opnår vi ligheden. Vi opnår følgende.

Forskellige prismer er forskellige fra hinanden. Samtidig har de meget til fælles. For at finde arealet af prismets base skal du forstå, hvilken type det har.

Generel teori

Et prisme er ethvert polyeder, hvis sider har form af et parallelogram. Desuden kan dens base være et hvilket som helst polyeder - fra en trekant til en n-gon. Desuden er prismets baser altid lig med hinanden. Hvad der ikke gør sig gældende for sidefladerne er, at de kan variere betydeligt i størrelse.

Når man løser problemer, støder man ikke kun på arealet af prismebunden. Det kan kræve viden om sidefladen, det vil sige alle de flader, der ikke er baser. Den komplette overflade vil være foreningen af ​​alle de ansigter, der udgør prismet.

Nogle gange involverer problemer højden. Det er vinkelret på baserne. Diagonalen af ​​et polyeder er et segment, der parvis forbinder to spidser, der ikke hører til den samme flade.

Det skal bemærkes, at grundarealet af et lige eller skrå prisme ikke afhænger af vinklen mellem dem og sidefladerne. Hvis de har de samme figurer på top- og bundfladen, vil deres områder være lige store.

Trekantet prisme

Den har i bunden en figur med tre spidser, det vil sige en trekant. Det kan som bekendt være anderledes. Hvis det er tilfældet, er det nok at huske, at dets område er bestemt af halvdelen af ​​produktet af benene.

Den matematiske notation ser således ud: S = ½ av.

For at finde ud af området af basen i generel opfattelse, vil formlerne være nyttige: Heron og den, hvor halvdelen af ​​siden tages til den højde, der er trukket til den.

Den første formel skal skrives som følger: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Denne notation indeholder en semi-perimeter (p), det vil sige summen af ​​tre sider divideret med to.

For det andet: S = ½ n a * a.

Hvis du vil finde ud af arealet af bunden af ​​et trekantet prisme, som er regelmæssigt, viser trekanten sig at være ligesidet. Der er en formel for det: S = ¼ a 2 * √3.

Firkantet prisme

Dens base er en hvilken som helst af de kendte firkanter. Det kan være et rektangel eller kvadratisk, parallelepipedum eller rombe. I hvert tilfælde skal du bruge din egen formel for at beregne arealet af bunden af ​​prismet.

Hvis grundfladen er et rektangel, så bestemmes dens areal som følger: S = ab, hvor a, b er rektanglets sider.

Når vi taler om omkring et firkantet prisme, så beregnes arealet af bunden af ​​et regulært prisme ved hjælp af formlen for et kvadrat. For det er ham, der ligger i fundamentet. S = a 2.

I det tilfælde, hvor basen er et parallelepipedum, vil følgende lighed være nødvendig: S = a * n a. Det sker, at siden af ​​et parallelepipedum og en af ​​vinklerne er givet. Derefter, for at beregne højden, skal du bruge en ekstra formel: n a = b * sin A. Desuden er vinkel A støder op til siden "b", og højden n er modsat denne vinkel.

Hvis der er en rombe i bunden af ​​prismet, skal du for at bestemme dets areal have brug for den samme formel som for et parallelogram (da det er et særligt tilfælde af det). Men du kan også bruge dette: S = ½ d 1 d 2. Her er d 1 og d 2 to diagonaler af romben.

Regelmæssigt femkantet prisme

Dette tilfælde involverer opdeling af polygonen i trekanter, hvis områder er lettere at finde ud af. Selvom det sker, at figurer kan have et andet antal hjørner.

Da bunden af ​​prismet er en regulær femkant, kan den opdeles i fem ligesidede trekanter. Så er arealet af bunden af ​​prismet lig med arealet af en sådan trekant (formlen kan ses ovenfor), ganget med fem.

Regelmæssigt sekskantet prisme

Ifølge princippet beskrevet for et femkantet prisme er det muligt at opdele basens sekskant i 6 ligesidede trekanter. Formlen for basisarealet af et sådant prisme ligner den forrige. Kun det skal ganges med seks.

Formlen vil se sådan ud: S = 3/2 a 2 * √3.

Opgaver

Nr. 1. Givet en regulær lige linje er dens diagonal 22 cm, højden af ​​polyederet er 14 cm. Beregn arealet af bunden af ​​prismet og hele overfladen.

Løsning. Prismets bund er en firkant, men dens side er ukendt. Du kan finde dens værdi fra kvadratets diagonal (x), som er relateret til prismets diagonal (d) og dets højde (h). x 2 = d 2 - n 2. På den anden side er dette segment "x" hypotenusen i en trekant, hvis ben er lig med siden af ​​kvadratet. Det vil sige, x 2 = a 2 + a 2. Således viser det sig, at a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Erstat tallet 22 i stedet for d, og erstat "n" med dets værdi - 14, det viser sig, at siden af ​​firkanten er 12 cm. Find nu bare arealet af basen: 12 * 12 = 144 cm 2.

For at finde ud af arealet af hele overfladen skal du tilføje to gange basisarealet og firdoble sidearealet. Sidstnævnte kan let findes ved hjælp af formlen for et rektangel: gange højden af ​​polyederet og siden af ​​basen. Det vil sige 14 og 12, dette tal vil være lig med 168 cm 2. Samlet areal Prismets overflade viser sig at være 960 cm 2.

Svar. Arealet af bunden af ​​prismet er 144 cm 2. Hele overfladen er 960 cm 2.

Nr. 2. Givet Ved basen er der en trekant med en side på 6 cm. I dette tilfælde er diagonalen på sidefladen 10 cm.

Løsning. Da prismet er regelmæssigt, er dets base en ligesidet trekant. Derfor viser dens areal sig at være 6 i anden, ganget med ¼ og kvadratroden af ​​3. En simpel beregning fører til resultatet: 9√3 cm 2. Dette er arealet af en base af prismet.

Alle sideflader er ens og er rektangler med sider på 6 og 10 cm For at beregne deres arealer skal du bare gange disse tal. Gang dem derefter med tre, fordi prismet har præcis så mange sideflader. Så viser området af sårets laterale overflade at være 180 cm 2.

Svar. Områder: base - 9√3 cm 2, lateral overflade af prismet - 180 cm 2.

En gren af ​​matematikken, der beskæftiger sig med studiet af forskellige figurers egenskaber (punkter, linjer, vinkler, todimensionelle og tredimensionelle objekter), deres størrelser og relative positioner. For at lette undervisningen er geometri opdelt i planimetri og stereometri. I … … Colliers Encyclopedia

Geometri af rum med dimensioner større end tre; udtrykket anvendes på de rum, hvis geometri oprindeligt blev udviklet til tre dimensioner og først derefter generaliseret til antallet af dimensioner n>3, primært euklidisk rum, ... ... Matematisk encyklopædi

N-dimensionel euklidisk geometri generalisering af euklidisk geometri til rummet mere målinger. Selvom det fysiske rum er tredimensionelt, og menneskelige sanser er designet til at opfatte tre dimensioner, er N dimensionelt... ... Wikipedia

Dette udtryk har andre betydninger, se Pyramidatsu (betydninger). Der er sat spørgsmålstegn ved pålideligheden af ​​dette afsnit af artiklen. Du skal verificere nøjagtigheden af ​​de fakta, der er angivet i dette afsnit. Der kan være forklaringer på diskussionssiden... Wikipedia

- (Constructive Solid Geometry, CSG) teknologi brugt til modellering faste stoffer. Konstruktiv blokgeometri er ofte, men ikke altid, måden at modellere i 3D-grafik og CAD. Det giver dig mulighed for at skabe en kompleks scene eller... Wikipedia

Constructive Solid Geometry (CSG) er en teknologi, der bruges til solid modellering. Konstruktiv blokgeometri er ofte, men ikke altid, måden at modellere i 3D-grafik og CAD. Hun... ... Wikipedia

Dette udtryk har andre betydninger, se bind (betydninger). Volumen er en additiv funktion af et sæt (et mål), der karakteriserer kapaciteten af ​​det rumareal, det optager. Opstod oprindeligt og blev anvendt uden streng... ... Wikipedia

Terningtype Regelmæssig polyeder Ansigt firkantet Hjørnepunkter Kanter Ansigter ... Wikipedia

Volumen er en additiv funktion af et sæt (et mål), der karakteriserer kapaciteten af ​​det rumareal, det optager. Oprindeligt opstod det og blev anvendt uden en streng definition i forhold til tredimensionelle legemer af tredimensionelt euklidisk rum.... ... Wikipedia

En del af rummet afgrænset af en samling af et endeligt antal plane polygoner (se GEOMETRI) forbundet på en sådan måde, at hver side af enhver polygon er en side af nøjagtig en anden polygon (kaldet... ... Colliers Encyclopedia

Bøger

• Sæt af borde. Geometri. 10. klasse. 14 tabeller + metode, . Bordene er trykt på tykt printet karton, der måler 680 x 980 mm. Sættet indeholder en brochure med metodiske anbefalinger