Primtal er et naturligt (positivt heltal) tal, der er deleligt uden en rest med kun to naturlige tal: af og af sig selv. Med andre ord har et primtal præcis to naturlig divisor: og selve nummeret.
Per definition er mængden af alle divisorer af et primtal to-element, dvs. repræsenterer et sæt.
Mættet af alle primtal er angivet med symbolet. På grund af definitionen af sættet af primtal kan vi altså skrive:.
Rækkefølgen af primtal ser således ud:
Aritmetikkens grundlæggende sætning
Aritmetikkens grundlæggende sætning hævder, at hver naturligt tal, større end én, kan repræsenteres som et produkt af primtal, og den eneste måde op til rækkefølgen af faktorerne. Således, primtal er de elementære "byggesten" i mængden af naturlige tal.
Naturlig taludvidelse title="Gengivet af QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanonisk:
hvor er et primtal, og . For eksempel ser den kanoniske udvidelse af et naturligt tal således ud: .
Repræsentation af et naturligt tal som et produkt af primtal kaldes også faktorisering af et tal.
Primtals egenskaber
Sigte af Eratosthenes
En af de mest berømte algoritmer til at søge og genkende primtal er sigte af Eratosthenes. Så denne algoritme blev opkaldt efter den græske matematiker Eratosthenes fra Cyrene, som anses for at være forfatteren til algoritmen.
Følg disse trin for at finde alle primtal mindre end et givet tal ved at følge Eratosthenes' metode:
Trin 1. Skriv alle de naturlige tal fra to til , dvs. .
Trin 2. Tildel variabel værdi, altså værdien lig med det mindste primtal.
Trin 3. Overstrege i listen alle tal fra til, der er multipla af , det vil sige tallene: .
Trin 4. Find det første ukrydsede tal på listen større end , og tildel værdien af dette tal til en variabel.
Trin 5. Gentag trin 3 og 4, indtil nummeret er nået.
Processen med at anvende algoritmen vil se sådan ud:
Alle resterende ukrydsede tal på listen i slutningen af processen med at anvende algoritmen vil være sættet af primtal fra til .
Goldbach formodning
Omslag til bogen "Onkel Petros og Goldbach-hypotesen"
På trods af at primtal er blevet undersøgt af matematikere i ret lang tid, forbliver mange relaterede problemer uløste i dag. Et af de mest berømte uløste problemer er Goldbachs hypotese, som er formuleret således:
- Er det rigtigt, at hvert lige tal større end to kan repræsenteres som summen af to primtal (Goldbachs binære hypotese)?
- Er det sandt, at hvert ulige tal større end 5 kan repræsenteres som en sum? tre enkle tal (ternær Goldbach-hypotese)?
Det skal siges, at den ternære Goldbach-hypotese er et specialtilfælde af den binære Goldbach-hypotese, eller som matematikere siger, den ternære Goldbach-hypotese er svagere end den binære Goldbach-hypotese.
Goldbachs formodning blev almindeligt kendt uden for det matematiske samfund i 2000 takket være et salgsfremmende marketingstunt fra forlagsselskaberne Bloomsbury USA (USA) og Faber and Faber (UK). Disse forlag, efter at have udgivet bogen "Onkel Petros og Goldbachs formodning", lovede at betale en præmie på 1 million amerikanske dollars til enhver, der beviser Goldbachs hypotese inden for 2 år fra bogens udgivelsesdato. Nogle gange forveksles den nævnte pris fra udgivere med præmier for at løse Millennium-prisproblemerne. Tag ikke fejl, Goldbachs hypotese er ikke klassificeret af Clay Institute som en "millennium challenge", selvom den er tæt forbundet med Riemanns hypotese- en af "millennium-udfordringerne".
Bogen ”Primtal. Lang vej til det uendelige"
Omslag til bogen "Matematikkens verden. Primtal. Lang vej til det uendelige"
Derudover anbefaler jeg at læse en fascinerende populærvidenskabelig bog, hvortil der står: "Søgen efter primtal er et af de mest paradoksale problemer i matematik. Forskere har forsøgt at løse det i flere årtusinder, men i takt med nye versioner og hypoteser er dette mysterium stadig uløst. Fremkomsten af primtal er ikke underlagt noget system: de optræder spontant i rækken af naturlige tal og ignorerer alle matematikeres forsøg på at identificere mønstre i deres rækkefølge. Denne bog vil give læseren mulighed for at spore udviklingen af videnskabelige begreber fra oldtiden til i dag og introducere de mest interessante teorier om at søge efter primtal."
Derudover vil jeg citere begyndelsen af det andet kapitel i denne bog: "Primtal er et af vigtige emner, som fører os tilbage til selve begyndelsen af matematikken og derefter, ad en vej med stigende kompleksitet, fører os til forkant moderne videnskab. Derfor ville det være meget nyttigt at spore primtalsteoriens fascinerende og komplekse historie: præcis hvordan den udviklede sig, præcis hvordan de fakta og sandheder, der nu er almindeligt accepteret, blev indsamlet. I dette kapitel vil vi se, hvordan generationer af matematikere omhyggeligt studerede de naturlige tal i jagten på en regel, der forudsagde fremkomsten af primtal – en regel, der blev mere og mere uhåndgribelig, efterhånden som søgningen skred frem. Vi vil også se nærmere på den historiske kontekst: under hvilke forhold matematikere arbejdede, og i hvilket omfang deres arbejde involverede mystiske og semi-religiøse praksisser, som slet ikke ligner videnskabelige metoder, bruges i dag. Ikke desto mindre blev jorden langsomt og med besvær forberedt for nye synspunkter, der inspirerede Fermat og Euler i det 17. og 18. århundrede.”
Ilyas svar er korrekt, men ikke særlig detaljeret. I 1700-tallet blev man i øvrigt stadig betragtet som et primtal. For eksempel så store matematikere som Euler og Goldbach. Goldbach er forfatter til et af årtusindets syv problemer - Goldbach-hypotesen. Den oprindelige formulering siger, at hvert lige tal kan repræsenteres som summen af to primtal. Desuden blev 1 oprindeligt taget i betragtning som et primtal, og vi ser dette: 2 = 1+1. Denne mindste eksempel, der opfylder den oprindelige formulering af hypotesen. Senere blev det rettet, og formuleringen blev moderne look: "hvert lige tal, der starter med 4, kan repræsenteres som summen af to primtal."
Lad os huske definitionen. Et primtal er et naturligt tal p, der kun har 2 forskellige naturlige divisorer: p selv og 1. Følge af definitionen: et primtal p har kun én primtal divisor - p selv.
Lad os nu antage, at 1 er et primtal. Per definition har et primtal kun én primtalsdivisor - sig selv. Så viser det sig, at ethvert primtal større end 1 er deleligt med et primtal forskelligt fra det (med 1). Men to forskellige primtal kan ikke divideres med hinanden, pga ellers er de ikke primtal, men sammensatte tal, og det er i modstrid med definitionen. Med denne tilgang viser det sig, at der kun er 1 primtal - selve enheden. Men det her er absurd. Derfor er 1 ikke et primtal.
1, såvel som 0, danner en anden klasse af tal - klassen af neutrale elementer med hensyn til n-ære operationer i en delmængde af det algebraiske felt. Med hensyn til driften af addition er 1 desuden også et genererende element for ringen af heltal.
Med denne betragtning er det ikke svært at opdage analoger af primtal i andre algebraiske strukturer. Antag, at vi har en multiplikativ gruppe dannet af potenser 2, startende fra 1: 2, 4, 8, 16, ... osv. 2 fungerer her som et dannelseselement. Et primtal i denne gruppe er et tal større end det mindste element og kun deleligt med sig selv og med mindste element. I vores gruppe har kun 4 sådanne egenskaber. Der er ikke flere primtal i vores gruppe.
Hvis 2 også var et primtal i vores gruppe, så se første afsnit - igen skulle det vise sig, at kun 2 er et primtal.
Tal er forskellige: naturlige, rationelle, rationelle, heltal og brøker, positive og negative, komplekse og primtal, ulige og lige, reelle osv. Fra denne artikel kan du finde ud af, hvad primtal er.
Hvilke tal kaldes "simple" på engelsk?
Meget ofte ved skolebørn ikke, hvordan man besvarer et af de mest enkle spørgsmål i matematik ved første øjekast, om hvad et primtal er. De forveksler ofte primtal med naturlige tal (det vil sige de tal, som folk bruger, når de tæller objekter, mens de i nogle kilder begynder med nul, og i andre med et). Men det er to helt forskellige begreber. Primtal er naturlige tal, det vil sige heltal og positive tal, der er større end et, og som kun har 2 naturlige divisorer. Desuden er en af disse divisorer det givne tal, og den anden er en. For eksempel er tre et primtal, fordi det ikke kan divideres uden en rest med et andet tal end sig selv og en.
Sammensatte tal
Det modsatte af primtal er sammensatte tal. De er også naturlige, også større end en, men har ikke to, men mere skillevægge. Altså f.eks. tallene 4, 6, 8, 9 osv. er naturlige, sammensatte, men ikke primtal. Som du kan se, er disse for det meste lige tal, men ikke alle. Men "to" er et lige tal og det "første tal" i en række af primtal.
Efterfølgende
For at konstruere en række primtal er det nødvendigt at vælge fra alle naturlige tal under hensyntagen til deres definition, det vil sige, at du skal handle ved selvmodsigelse. Det er nødvendigt at undersøge hvert af de positive naturlige tal for at se, om det har mere end to divisorer. Lad os prøve at bygge en række (sekvens), der består af primtal. Listen starter med to, efterfulgt af tre, da den kun er delelig med sig selv og en. Overvej tallet fire. Har den andre divisorer end fire og en? Ja, det tal er 2. Så fire er ikke et primtal. Fem er også primtal (det er ikke deleligt med noget andet tal, undtagen 1 og 5), men seks er deleligt. Og generelt, hvis du følger alle de lige tal, vil du bemærke, at bortset fra "to", er ingen af dem prime. Ud fra dette konkluderer vi, at lige tal, undtagen to, ikke er primtal. En anden opdagelse: alle tal, der er delelige med tre, undtagen de tre selv, uanset om de er lige eller ulige, er heller ikke primtal (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 osv.). Det samme gælder for tal, der er delelige med fem og syv. Hele deres mangfoldighed er heller ikke enkel. Lad os opsummere. Så til de simple enkeltcifrede tal Alle ulige tal er inkluderet undtagen et og ni, og lige "to" er lige tal. Tierne i sig selv (10, 20,... 40 osv.) er ikke simple. Tocifrede, trecifrede osv. primtal kan bestemmes ud fra ovenstående principper: hvis de ikke har andre divisorer end dem selv og en.
Teorier om primtals egenskaber
Der er en videnskab, der studerer egenskaberne af heltal, herunder primtal. Dette er en gren af matematik kaldet højere. Udover heltals egenskaber beskæftiger hun sig også med algebraiske og transcendentale tal, samt funktioner af forskellig oprindelse relateret til aritmetikken af disse tal. I disse undersøgelser anvendes der udover elementære og algebraiske metoder også analytiske og geometriske. Konkret beskæftiger "Talteori" sig med studiet af primtal.
Primtal er "byggestenene" af naturlige tal
I aritmetik er der en sætning kaldet grundsætningen. Ifølge den kan ethvert naturligt tal, undtagen ét, repræsenteres som et produkt, hvis faktorer er primtal, og rækkefølgen af faktorerne er unik, hvilket betyder, at fremstillingsmetoden er unik. Det kaldes at faktorisere et naturligt tal i primfaktorer. Der er et andet navn for denne proces - faktorisering af tal. Ud fra dette kan primtal kaldes " byggemateriale”, “blokke” til at konstruere naturlige tal.
Søg efter primtal. Enkelthedstest
Mange videnskabsmænd fra forskellige tider forsøgte at finde nogle principper (systemer) til at finde en liste over primtal. Videnskaben kender til systemer kaldet Atkin-sien, Sundartham-sien og Eratosthenes-sien. De giver dog ingen signifikante resultater, og en simpel test bruges til at finde primtallene. Matematikere skabte også algoritmer. De kaldes normalt primalitetstest. For eksempel er der en test udviklet af Rabin og Miller. Det bruges af kryptografer. Der er også Kayal-Agrawal-Sasquena-testen. På trods af tilstrækkelig nøjagtighed er det dog meget vanskeligt at beregne, hvilket reducerer dens praktiske betydning.
Har sættet af primtal en grænse?
Den antikke græske videnskabsmand Euclid skrev i sin bog "Elementer", at sættet af primtal er uendeligt. Han sagde dette: "Lad os et øjeblik forestille os, at primtal har en grænse. Lad os derefter gange dem med hinanden og tilføje én til produktet. Antallet som følge af disse simple handlinger, kan ikke divideres med nogen af rækkerne af primtal, fordi resten altid vil være ét. Det betyder, at der er et andet tal, som endnu ikke er med på listen over primtal. Derfor er vores antagelse ikke sand, og dette sæt kan ikke have en grænse. Udover Euklids bevis er der en mere moderne formel givet af den schweiziske matematiker Leonhard Euler fra det attende århundrede. Ifølge den vokser den gensidige sum af summen af de første n tal ubegrænset, når tallet n stiger. Og her er formlen for sætningen vedrørende fordelingen af primtal: (n) vokser som n/ln (n).
Hvad er det største primtal?
Den samme Leonard Euler var i stand til at finde det største primtal i sin tid. Dette er 2 31 - 1 = 2147483647. Men i 2013 blev en anden mest nøjagtig største på listen over primtal beregnet - 2 57885161 - 1. Det kaldes Mersenne-tallet. Den indeholder omkring 17 millioner decimaler. Som du kan se, er antallet fundet af en videnskabsmand fra det attende århundrede flere gange mindre end dette. Dette var som det skulle være, for Euler foretog denne beregning manuelt, mens vores samtid nok blev hjulpet af en computer. Desuden er dette nummer opnået på det matematiske fakultet i et af de amerikanske fakulteter. Tal opkaldt efter denne videnskabsmand består Luc-Lemaire-primalitetstesten. Videnskaben ønsker dog ikke at stoppe der. Electronic Frontier Foundation, som blev grundlagt i 1990 i USA (EFF), har tilbudt en pengebelønning for at finde store primtal. Og hvis prisen indtil 2013 blev tildelt de videnskabsmænd, der ville finde dem blandt 1 og 10 mio. decimaltal, så i dag er dette tal nået fra 100 mio. til 1 mia. Præmierne spænder fra 150 til 250 tusind amerikanske dollars.
Navne på særlige primtal
De tal, der blev fundet takket være algoritmer skabt af visse videnskabsmænd og bestod enkelhedstesten, kaldes specielle. Her er nogle af dem:
1. Merssen.
4. Cullen.
6. Mills et al.
Enkelheden af disse tal, opkaldt efter ovennævnte videnskabsmænd, fastslås ved hjælp af følgende tests:
1. Luc-Lemaire.
2. Pepina.
3. Riesel.
4. Billhart - Lemaire - Selfridge og andre.
Moderne videnskab stopper ikke der, og sandsynligvis vil verden i den nærmeste fremtid lære navnene på dem, der var i stand til at modtage prisen på $250.000 ved at finde det største primtal.
primtal
et naturligt tal større end én og uden andre divisorer end sig selv og én: 2, 3, 5, 7, 11, 13... Antallet af primtal er uendeligt.
Primtal
et positivt heltal større end én, som ikke har andre divisorer end sig selv og én: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Begrebet et tal er grundlæggende i studiet af deleligheden af naturlige (positive heltal) ) tal; Hovedsætningen i delelighedsteorien fastslår nemlig, at hvert positivt heltal, undtagen 1, er entydigt dekomponeret i produktet af et antal tal (faktorernes rækkefølge tages ikke i betragtning). Der er uendeligt mange primtal (denne påstand var kendt af oldgræske matematikere; dets bevis er tilgængeligt i den 9. bog af Euklids elementer). Spørgsmål om naturlige tals delelighed, og derfor spørgsmål relateret til primtal, er vigtige i studiet af grupper; især er strukturen af en gruppe med et endeligt antal elementer tæt forbundet med den måde, hvorpå dette antal elementer (rækkefølgen af gruppen) er dekomponeret i primfaktorer. Teorien om algebraiske tal beskæftiger sig med spørgsmålene om delelighed af algebraiske heltal; Begrebet et partielt tal viste sig at være utilstrækkeligt til at konstruere en teori om delelighed, hvilket førte til skabelsen af et ideal. P. G. L. Dirichlet i 1837 konstaterede, at i aritmetisk progression a + bx for x = 1, 2,... med coprime heltal a og b indeholder uendeligt mange primtal At bestemme fordelingen af primtal i den naturlige talrække er et meget vanskeligt problem i talteori. Det er formuleret som en undersøgelse af den asymptotiske opførsel af funktionen p(x), der angiver antallet af partielle tal, der ikke overstiger positivt tal X. De første resultater i denne retning tilhører P.L. Chebyshev, som i 1850 beviste, at der er to konstanter a og A, således at ═.< p(x) < ═при любых x ³ 2 [т. е., что p(х) растет, как функция ]. Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотический закон распределения П. ч. (Ж. Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения p(х) к ═равен
Efterfølgende blev betydelige bestræbelser fra matematikere rettet mod at tydeliggøre den asymptotiske lov om fordeling af frekvensen af tal Spørgsmål om fordeling af frekvensen af numre studeres både ved hjælp af elementære metoder og ved metoder til matematisk analyse. Særligt frugtbar er metoden baseret på brugen af identiteten
(produktet strækker sig til alle P. h. p = 2, 3,...), først angivet af L. Euler; denne identitet er gyldig for alle komplekse s med en reel del større end enhed. På baggrund af denne identitet ledes spørgsmål om fordelingen af P.-tal til studiet af en speciel funktion ≈ zetafunktion x(s), bestemt for Res > 1 af serien
Denne funktion blev brugt i spørgsmål om fordelingen af primtal for reelle s af Chebyshev; B. Riemann påpegede vigtigheden af at studere x(s) for komplekse værdier af s. Riemann antog, at alle rødder af ligningen x(s) = 0, der ligger i højre halvplan, har en reel del lig med 1/
Denne hypotese er ikke blevet bevist til dato (1975); dets bevis ville gøre meget for at løse problemet med fordelingen af primtal Spørgsmål om fordelingen af primtal er tæt forbundet med Goldbachs problem, det stadig uløste problem med "tvillinger" og andre problemer med analytisk talteori. Problemet med "tvillingerne" er at finde ud af, om antallet af P.-tal, der adskiller sig med 2 (som f.eks. 11 og 13) er endeligt eller uendeligt. Tabeller med P.-tal, der ligger inden for de første 11 millioner naturlige tal, viser tilstedeværelsen af meget store "tvillinger" (f.eks. 10006427 og 10006429), men dette er ikke et bevis på uendeligheden af deres antal. Uden for de kompilerede tabeller kendes individuelle P.-tal, der tillader et simpelt aritmetisk udtryk [for eksempel blev det fastslået (1965), at 211213 ≈1 er et P.-tal; den har 3376 cifre].
Lit.: Vinogradov I.M., Fundamentals of Number Theory, 8. udgave, M., 1972; Hasse G., Forelæsninger om talteori, trans. fra German, M., 1953; Ingham A.E., Fordeling af primtal, trans. fra engelsk, M. ≈ L., 1936; Prahar K., Fordeling af primtal, trans. fra German, M., 1967; Trost E., Primtal, oversættelse, fra tysk, M., 1959.
Wikipedia
Primtal
Primtal- et naturligt tal, der har præcis to forskellige naturlige divisorer - og sig selv. Med andre ord antallet x er primtal, hvis den er større end 1 og er delelig uden rest kun med 1 og x. For eksempel er 5 et primtal, og 6 er et sammensat tal, da det ud over 1 og 6 også er deleligt med 2 og 3.
Naturlige tal, der er større end et og ikke er primtal, kaldes sammensatte tal. Således er alle naturlige tal opdelt i tre klasser: en. Talteori studerer primtals egenskaber. I ringteori svarer primtal til irreducerbare elementer.
Rækkefølgen af primtal starter således:
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 …
Alle andre naturlige tal kaldes sammensatte. Det naturlige tal 1 er hverken primtal eller sammensat.
Eksempel
Øvelse. Hvilke af de naturlige tal skrevet nedenfor er primtal:
Svar.
Faktorerer et tal
Repræsentation af et naturligt tal som et produkt af naturlige tal kaldes faktorisering. Hvis i faktoriseringen af et naturligt tal alle faktorer er primtal, så kaldes en sådan faktorisering primfaktorisering.
Sætning
(Fundamental sætning for aritmetik)
Hvert andet naturligt tal end 1 kan faktoriseres til primtal og på en unik måde (hvis vi identificerer faktoriseringerne og , hvor og er primtal).
Ved at kombinere identiske primfaktorer i nedbrydningen af et tal, opnår vi den såkaldte kanoniske dekomponering af et tal:
hvor , er forskellige primtal og er naturlige tal.
Eksempel
Øvelse. Find den kanoniske udvidelse af tal:
Løsning. For at finde den kanoniske nedbrydning af tal skal du først faktorisere dem i primfaktorer og derefter kombinere de samme faktorer og skrive deres produkt som en potens med en naturlig eksponent:
Svar.
Historisk baggrund
Hvordan bestemmer man hvilket tal der er primtal, og hvilket tal der ikke er? Den mest almindelige metode til at finde alle primtal i ethvert talområde blev foreslået i det 3. århundrede. f.Kr e. Eratosthenes (metoden kaldes "Eratosthenes si"). Antag, at vi skal bestemme, hvilke tal der er primtal. Lad os skrive dem ud i en række og krydse ud for hvert andet tal fra dem efter tallet 2 - de er alle sammensatte, da de er multipla af tallet 2. Det første af de resterende tal, der ikke er overstreget - 3 - er primtal. Lad os overstrege hvert tredje tal fra dem efter tallet 3; det næste af de ukrydsede tal - 5 - vil også være primtal. Ved at bruge det samme princip vil vi overstrege hvert femte tal fra dem, der følger tallet 5, og generelt hvert femte tal fra dem, der følger tallet . Alle resterende ukrydsede tal vil være primtal.
Efterhånden som primtal stiger, bliver de gradvist mindre og mindre almindelige. De gamle var dog allerede godt klar over, at der er uendeligt mange af dem. Hans bevis er givet i Euklids elementer.