Решение систем уравнений алгебраическим сложением. Решение систем уравнений способом сложения

На этом уроке мы продолжим изучение метод решения систем уравнений, а именно: метода алгебраического сложения. Вначале рассмотрим применение этого метода на примере линейных уравнений и его суть. Также вспомним, как уравнивать коэффициенты в уравнениях. И решим ряд задач на применение этого метода.

Тема: Системы уравнений

Урок: Метод алгебраического сложения

1. Метод алгебраического сложения на примере линейных систем

Рассмотрим метод алгебраического сложения на примере линейных систем.

Пример 1. Решить систему

Если мы сложим эти два уравнения, то y взаимно уничтожатся, и останется уравнение относительно x.

Если же вычтем из первого уравнения второе, взаимно уничтожатся x, и мы получим уравнение относительно y. В этом и заключается смысл метода алгебраического сложения.

Мы решили систему и вспомнили метод алгебраического сложения. Повторим его суть: мы можем складывать и вычитать уравнения, но при этом необходимо обеспечить, чтобы получилось уравнение только с одним неизвестным.

2. Метод алгебраического сложения с предварительным уравниванием коэффициентов

Пример 2. Решить систему

Член присутствует в обоих уравнениях, поэтому удобен метод алгебраического сложения. Вычтем из первого уравнения второе.

Ответ: (2; -1).

Таким образом, проанализировав систему уравнений, можно увидеть, что она удобна для метода алгебраического сложения, и применить его.

Рассмотрим еще одну линейную систему.

3. Решение нелинейных систем

Пример 3. Решить систему

Мы хотим избавиться от y, но в двух уравнениях коэффициенты при y разные. Уравняем их, для этого умножим первое уравнение на 3, второе - на 4.

Пример 4. Решить систему

Уравняем коэффициенты при x

Можно сделать иначе - уравнять коэффициенты при y.

Мы решили систему, дважды применив метод алгебраического сложения.

Метод алгебраического сложения применим и при решении нелинейных систем.

Пример 5. Решить систему

Сложим эти уравнения, и мы избавимся от y.

Эту же систему можно решить, дважды применив метод алгебраического сложения. Сложим и вычтем из одного уравнения другое.

Пример 6. Решить систему

Ответ:

Пример 7. Решить систему

Методом алгебраического сложения избавимся от члена xy. Умножим первое уравнение на .

Первое уравнение остается без изменений, вместо второго записываем алгебраическую сумму.

Ответ:

Пример 8. Решить систему

Умножим второе уравнение на 2, чтобы выделить полный квадрат.

Наша задача свелась к решению четырех простейших систем.

4. Заключение

Мы рассмотрели метод алгебраического сложения на примере решения линейных и нелинейных систем. На следующем уроке рассмотрим метод введения новых переменных.

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Раздел College. ru по математике.

2. Интернет-проект «Задачи» .

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» .

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 125 - 127.

Нужно скачать поурочный план по теме » Метод алгебраического сложения ?

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Только решая самостоятельно различной сложности системы уравнений, вы научитесь быстро определять методы решения любой системы. Иногда бывает довольно сложно решить систему квадратных уравнений. Однако наиболее часто используемым методом для решения данных уравнений является способ подстановки/сложения.

Допустим, дана такая система уравнений:

\[\left\{\begin{matrix} x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \end{matrix}\right.\]

Выполним сложение уравнений системы:

\[\left\{\begin{matrix} x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \end{matrix}\right.\]

Решим полученную систему:

\[\left\{\begin{matrix} x(x -y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \end{matrix}\right.\]

\[(x - y) = -1 \] или \[(x - y) = 1\] - получаем из 2 уравнения

Подставим в 1 уравнение 1 или -1:

\ или \

Поскольку теперь мы знаем значение одной неизвестной, можем найти 2-ю:

\[-3 - y= -1\] или \

\ или \

Ответ: \[(-3; -2); (3; 4)\]

Если вам необходимо решить систему 2 степени и 1 линейное, то из линейного можно выразить 1 из переменных и подставить данное уравнение в квадратное.

Где можно решить систему квадратных уравнений онлайн - калькулятором?

Решить систему уравнений онлайн вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.

Очень часто ученики затрудняются с выбором способа решения систем уравнений.

В данной статье мы рассмотрим один из способов решения систем – способ подстановки.

Если находят общее решение двух уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему. В системе уравнений каждое неизвестное обозначает одно и то же число во всех уравнениях. Чтобы показать, что данные уравнения образуют систему, их обычно записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой, например

Замечаем, что при х = 15 , а у = 5 оба уравнения системы верны. Эта пара чисел и есть решение системы уравнений. Каждая пара значений неизвестных, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям системы, называется решением системы.

Система может иметь одно решение (как в нашем примере), бесконечно много решений и не иметь решений.

Как же решать системы способом подстановки? Если коэффициенты при каком – нибудь неизвестном в обоих уравнениях равны по абсолютной величине (если же не равны, то уравниваем), то, складывая оба уравнения (или вычитая одно из другого), можно получить уравнение с одним неизвестным. Затем решаем это уравнение. Определяем одно неизвестное. Подставляем полученное значение неизвестного в одно из уравнений системы (в первое или во второе). Находим другое неизвестное. Давайте рассмотрим на примерах применение этого способа.

Пример 1. Решите систему уравнений

Здесь коэффициенты при у по абсолютному значению равны между собой, но противоположны по знаку. Давайте попробуем почленно сложить уравнения системы.

Полученное значение х=4, подставляем в какое–нибудь уравнение системы (например в первое) и находим значение у:

2 *4 +у = 11, у = 11 – 8, у = 3.

Наша система имеет решение х = 4, у = 3. Или же ответ можно записать в круглых скобках, как координаты точки, на первом месте х, на втором у.

Ответ: (4; 3)

Пример 2 . Решить систему уравнений

Уравняем коэффициенты при переменной х, для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на (-2), получим

Будьте внимательны при сложении уравнений

Тогда у = - 2. Подставим в первое уравнение вместо у число (-2), получим

4х + 3(-2) = - 4. Решаем это уравнение 4х = - 4 + 6, 4х = 2, х = ½.

Ответ: (1/2; - 2)

Пример 3. Решите систему уравнений

Умножим первое уравнение на (-2)

Решаем систему

получаем 0 = - 13.

Система решений не имеет, так ка 0 не равен (-13).

Ответ: решений нет.

Пример 4. Решите систему уравнений

Замечаем, что все коэффициенты второго уравнения делятся на 3,

давайте разделим второе уравнение на три и мы получаем систему, которая состоит из двух одинаковых уравнений.

Эта система имеет бесконечно много решений, так как первое и второе уравнения одинаковы (мы получили всего одно уравнение с двумя переменными). Как же представить решение этой системы? Давайте выразим переменную у из уравнения х + у = 5. Получим у = 5 – х.

Тогда ответ запишется так: (х; 5-х), х – любое число.

Мы рассмотрели решение систем уравнений способом сложения. Если остались вопросы или что – то непонятно запишитесь на урок и мы с вами устраним все проблемы.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

ОГБОУ «Центр образования для детей с особыми образовательными потребностями г. Смоленска»

Центр дистанционного образования

Урок алгебры в 7 классе

Тема урока: Метод алгебраического сложения.

1. 1. Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний.

Цель урока: контроль уровня усвоения знаний и умений решения систем уравнений способом подстановки; формирование умений и навыков решения систем уравнений способом сложения.

Задачи урока:

Предметные: научиться выполнять решения систем уравнений с двумя переменными методом сложения.

Метапредметные: Познавательные УУД : анализировать (выделять главное), определять понятия, обобщать, делать выводы. Регулятивные УУД : определять цель, проблему в учебной деятельности. Коммуникативные УУД : излагать своё мнение, аргументируя его. Личностные УУД: ф ормировать положительную мотивацию к обучению, создавать позитивное эмоциональное отношение обучающегося к уроку и предмету.

Форма работы: индивидуальная

Этапы урока:

1) Организационный этап.

организовать работу обучающейся по теме через создание установки на целостность мышления и понимание данной темы.

2. Опрос обучающейся по заданному на дом материалу, актуализация знаний.

Цель: проверить знания обучающейся, полученные в ходе выполнения домашней работы, выявить ошибки, сделать работу над ошибками. Повторить материал прошлого урока.

3. Изучение нового материала.

1). формировать умение решать системы линейных уравнений способом сложения;

2). развивать и совершенствовать имеющиеся знания в новых ситуациях;

3). воспитывать навыки контроля и самоконтроля, развивать самостоятельность.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

Цель: сохранение зрения, снятие усталости с глазво время работы на уроке.

5. Закрепление изученного материала

Цель: проверить знания, умения и навыки, полученные на уроке

6. Итог урока, информация о домашнем задании, рефлексия.

Ход урока (работа в электронном документе Google):

1. Сегодня урок я хотела начать с философской загадки Вальтера.

Что самое быстрое, но и самое медленное, самое большое, но и самое маленькое, самое продолжительное и короткое, самое дорогое, но и дешево ценимое нами?

Время

Вспомним основные понятия по теме:

Перед нами система двух уравнений.

Вспомним, как мы решали системы уравнений на прошлом уроке.

Методом подстановки

Еще раз обрати внимание на решенную систему и скажи, почему мы не можем решить каждое уравнение системы не прибегая к методу подстановки?

Потому что это - уравнения системы с двумя переменными. Мы умеем решать уравнение только с одной переменной.

Только получив уравнение с одной переменной нам удалось решить систему уравнений.

3. Мы приступаем к решению следующей системы:

Выберем уравнение, в котором удобно одну переменную выразить через другую.

Такого уравнения нет.

Т.е. в данной ситуации нам не подходит изученный ранее метод. Какой выход из данной ситуации?

Найти новый метод.

Попытаемся сформулировать цель урока.

Научиться решать системы новым методом.

Что нам необходимо сделать, чтобы научиться решать системы новым методом?

знать правила (алгоритм) решения системы уравнения, выполнить практические задания

Приступим к выведению нового метода.

Обрати внимание на вывод, который мы сделали после решения первой системы. Решить систему удалось только после того, как мы получили линейное уравнение с одной переменной.

Посмотри на систему уравнений и подумай, как из двух данных уравнений получить одно уравнение с одной переменной.

Сложить уравнения.

Что значит сложить уравнения?

По отдельности составить сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять.

Попробуем. Работаем вместе со мной.

13x+14x+17y-17y=43+11

Получили линейное уравнение с одной переменной.

Решили систему уравнений?

Решение системы - пара чисел.

Как найти у?

Найденное значение х подставить в уравнение системы.

Имеет значение, в какое уравнение подставим значение х?

Значит найденное значение х можно подставить в...

любое уравнение системы.

Мы познакомились с новым методом - методом алгебраического сложения.

Решая систему, мы проговорили алгоритм решения системы данным методом.

Алгоритм мы рассмотрели. Теперь применим его к решению задач.

Умение решать системы уравнений может пригодится в практике.

Рассмотрим задачу:

В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе 19 голов и 46 ног?

Зная, что всего кур и овец 19, составим первое уравнение: х + у =19

4х - число ног у овец

2у - число ног у кур

Зная, что всего 46 ног, составим второе уравнение: 4х + 2у =46

Составим систему уравнений:

Решим систему уравнений, применяя алгоритм решения методом сложения.

Проблема! Коэффициенты перед х и у - не равные и не противоположные! Что же делать?

Рассмотрим ещё один пример!

Добавим в наш алгоритм ещё один шаг и поставим его на первое место: Если коэффициенты перед переменными- не одинаковые и не противоположные, то надо уравнять модули при какой-нибудь переменной! А далее уже будем действовать по алгоритму.

4. Электронная физкультминутка для глаз: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. Дорешаем задачу методом алгебраического сложения, закрепив новый материал и узнаем, сколько же кур и овец было в хозяйстве.

Дополнительные задания:

6.

Рефлексия.

Я за свою работу на уроке ставлю оценку - …

6. Использованные ресурсы-интернет:

сервисы Google для образования

Учитель математики Соколова Н. Н.