ኳድራቲክ እኩልታዎች ከሳይን እና ኮሳይን ጋር። ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች

የመፍትሄ ሃሳብ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች.

• የትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ለመፍታት ወደ አንድ ወይም ከዚያ በላይ መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ይለውጡት። የትሪግኖሜትሪክ እኩልታ መፍታት በመጨረሻ አራቱን መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ለመፍታት ይወርዳል።

መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት።

• አራት ዓይነት መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች አሉ፡-
• ኃጢአት x = a; cos x = a
• ታን x = a; ctg x = ሀ
• መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት በክፍል ክበብ ላይ የተለያዩ x ቦታዎችን መመልከትን እንዲሁም የመቀየሪያ ሠንጠረዥን (ወይም ካልኩሌተር) መጠቀምን ያካትታል።
• ምሳሌ 1. sin x = 0.866. የመቀየሪያ ሰንጠረዥ (ወይም ካልኩሌተር) በመጠቀም መልሱን ያገኛሉ፡ x = π/3። የክፍሉ ክበብ ሌላ መልስ ይሰጣል፡ 2π/3። ያስታውሱ: ሁሉም ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ወቅታዊ ናቸው ፣ ማለትም እሴቶቻቸው ይደግማሉ። ለምሳሌ የኃጢአት x እና cos x ወቅታዊነት 2πn ሲሆን የ tg x እና ctg x ወቅታዊነት πn ነው። ስለዚህ መልሱ እንደሚከተለው ተጽፏል።
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• ምሳሌ 2. cos x = -1/2. የመቀየሪያ ሰንጠረዥ (ወይም ካልኩሌተር) በመጠቀም መልሱን ያገኛሉ፡ x = 2π/3። የክፍሉ ክበብ ሌላ መልስ ይሰጣል፡-2π/3።
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• ምሳሌ 3. tg (x - π/4) = 0.
• መልስ፡- x = π/4 + πn።
• ምሳሌ 4. ctg 2x = 1.732.
• መልስ፡ x = π/12 + πn.

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት የሚያገለግሉ ለውጦች።

• ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመቀየር ይጠቀሙ የአልጀብራ ለውጦች(የመሠረተ ልማት, ቅነሳ ተመሳሳይ አባላትወዘተ) እና ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶች.
• ምሳሌ 5፡ ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶችን በመጠቀም፣ እኩልታ ኃጢአት x + sin 2x + sin 3x = 0 ወደ ቀመር 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 ይቀየራል። መፍታት ያስፈልጋል: cos x = 0; ኃጢአት (3x/2) = 0; cos (x/2) = 0.

• ማዕዘኖችን በማግኘት ላይ የታወቁ እሴቶችተግባራት.

  • ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን እንዴት እንደሚፈታ ከመማርዎ በፊት የታወቁ የተግባር እሴቶችን በመጠቀም ማዕዘኖችን እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ መማር ያስፈልግዎታል። ይህ የመቀየሪያ ሰንጠረዥ ወይም ካልኩሌተር በመጠቀም ሊከናወን ይችላል።
  • ምሳሌ፡ cos x = 0.732. ካልኩሌተሩ መልሱ x = 42.95 ዲግሪ ይሰጣል። የንጥል ክበብ ይሰጣል ተጨማሪ ማዕዘኖችየማን ኮሳይን ደግሞ 0,732 ነው.

• መፍትሄውን በንጥል ክበብ ላይ ያስቀምጡት.

  • በክፍል ክበብ ላይ ለትሪግኖሜትሪክ እኩልታ መፍትሄዎችን ማቀድ ይችላሉ። በክፍል ክበብ ላይ ለትራይጎኖሜትሪክ እኩልታ መፍትሄዎች የመደበኛ ፖሊጎን ጫፎች ናቸው።
  • ምሳሌ፡ በንጥል ክበብ ላይ ያሉት መፍትሄዎች x = π/3 + πn/2 የካሬውን ጫፎች ያመለክታሉ።
  • ምሳሌ፡ በንጥል ክበብ ላይ ያሉት መፍትሄዎች x = π/4 + πn/3 የመደበኛ ሄክሳጎን ጫፎች ያመለክታሉ።

• ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዘዴዎች.

  • የተሰጠው ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ አንድ ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ብቻ ከያዘ፣ ያንን እኩልታ እንደ መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ይፍቱት። የተሰጠው እኩልታ ሁለት ወይም ከዚያ በላይ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን የሚያካትት ከሆነ ፣ እንደዚህ ዓይነቱን እኩልታ ለመፍታት 2 ዘዴዎች አሉ (በመቀየር እድሉ ላይ በመመስረት)።
    • ዘዴ 1.
  • ይህን እኩልታ ወደ ቅጹ እኩልነት ይቀይሩት፡ f(x)*g(x)*h(x) = 0፣ f(x)፣ g(x)፣ h(x) መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ሲሆኑ።
  • ምሳሌ 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • መፍትሄ። ባለ ሁለት ማዕዘን ቀመር sin 2x = 2*sin x*cos x በመጠቀም ኃጢአት 2x ተካ።
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. አሁን ሁለቱን መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ይፍቱ፡ cos x = 0 እና (sin x + 1) = 0።
  • ምሳሌ 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • መፍትሄ፡- ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶችን በመጠቀም ይህንን እኩልታ ወደ ቅጹ እኩልነት ይቀይሩት፡ cos 2x(2cos x + 1) = 0. አሁን ሁለቱን መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ይፍቱ፡ cos 2x = 0 እና (2cos x + 1) = 0።
  • ምሳሌ 8. ኃጢአት x - ኃጢአት 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • መፍትሄ፡- ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶችን በመጠቀም ይህንን እኩልታ ወደ ቅጹ እኩልነት ይቀይሩት፡-cos 2x*(2sin x + 1) = 0. አሁን ሁለቱን መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ይፍቱ፡ cos 2x = 0 እና (2sin x + 1) = 0 .
    • ዘዴ 2.
  • የተሰጠውን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ አንድ ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ብቻ ወደያዘ ቀመር ይለውጡት። ከዚያም ይህን ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ባልታወቀ ሰው ይተኩት ለምሳሌ t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, ወዘተ.)
  • ምሳሌ 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0)< x < 2π).
  • መፍትሄ። በዚህ ቀመር (cos^2 x) በ (1 - sin^2 x) (በማንነቱ መሰረት) ይተኩ። የተለወጠው እኩልታ፡-
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. ኃጢአት x በቲ ተካ። አሁን እኩልነቱ፡ 5t^2 - 4t - 9 = 0. ይህ ነው። ኳድራቲክ እኩልታ, ሁለት ሥሮች ያሉት: t1 = -1 እና t2 = 9/5. ሁለተኛው ሥር t2 የተግባር ክልልን አያሟላም (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • ምሳሌ 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • መፍትሄ። tg x በ t ተካ። የመጀመሪያውን እኩልታ እንደሚከተለው ይፃፉ፡ (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. አሁን t ን አግኝ እና ከዚያ x ለ t = ታን x ፈልግ።

የበለጠ ውስብስብ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች

እኩልታዎች

ኃጢአት x = ሀ,
cos x = ሀ,
tg x = ሀ,
ctg x = ሀ

በጣም ቀላሉ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ናቸው። በዚህ አንቀፅ ላይ የተወሰኑ ምሳሌዎችየበለጠ ውስብስብ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን እንመለከታለን። የእነሱ መፍትሔ, እንደ አንድ ደንብ, በጣም ቀላል የሆነውን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ይወርዳል.

ለምሳሌ 1 . እኩልታውን ይፍቱ

ኃጢአት 2 X=ኮስ Xኃጢአት 2 x.

ሁሉንም የዚህን እኩልታ ውሎች ወደ ግራ በኩል በማሸጋገር እና የተገኘውን አገላለጽ በማስተካከል የሚከተለውን እናገኛለን፡-

ኃጢአት 2 X(1 - ኮ X) = 0.

የሁለት አገላለጾች ምርት ከዜሮ ጋር እኩል ነው እና ቢያንስ አንዱ ምክንያቶች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ እና ሌላኛው ማንኛውንም ከወሰደ የቁጥር እሴት, እስከተገለፀ ድረስ.

ከሆነ ኃጢአት 2 X = 0 ከዚያም 2 X= n π ; X = π / 2n.

ከሆነ 1 - cos X = 0 , ከዚያም cos X = 1; X = 2kπ .

ስለዚህ ፣ ሁለት ቡድኖችን አግኝተናል- X = π / 2n; X = 2kπ . ለ n = 4k አገላለጽ ስለሆነ ሁለተኛው የሥሩ ቡድን በግልጽ በመጀመሪያው ውስጥ ይገኛል። X = π / 2nይግባኝ ማለት ነው።
X = 2kπ .

ስለዚህ መልሱ በአንድ ቀመር ሊጻፍ ይችላል፡- X = π / 2n፣ የት n- ማንኛውም ኢንቲጀር.

ይህ እኩልታ በኃጢአት 2 በመቀነስ ሊፈታ እንዳልቻለ ልብ ይበሉ x. በእርግጥ, ከተቀነሰ በኋላ 1 - cos x = 0, ከየት እናገኛለን X= 2k π . ስለዚህ አንዳንድ ሥሮችን እናጣለን, ለምሳሌ π / 2 , π , 3π / 2 .

ምሳሌ 2.እኩልታውን ይፍቱ

ክፍልፋይ ከዜሮ ጋር እኩል የሚሆነው አሃዛዊው ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ብቻ ነው።
ለዚህ ነው ኃጢአት 2 X = 0 ከየት 2 X= n π ; X = π / 2n.

ከእነዚህ እሴቶች X እነዚያን እሴቶች እንደ ውጭ መጣል ያስፈልግዎታል ኃጢአትX ወደ ዜሮ ይሄዳል (ዜሮ ተከፋዮች ያላቸው ክፍልፋዮች ምንም ትርጉም የላቸውም፡ በዜሮ መከፋፈል አልተገለጸም)። እነዚህ እሴቶች ብዙ ቁጥር ያላቸው ቁጥሮች ናቸው። π . በቀመር ውስጥ
X = π / 2nእነሱ እኩል ናቸው n. ስለዚህ, የዚህ እኩልታ ሥሮች ቁጥሮች ይሆናሉ

X = π / 2 (2k + 1)፣

የት k ማንኛውም ኢንቲጀር ነው.

ለምሳሌ 3 . እኩልታውን ይፍቱ

2 ኃጢአት 2 X+ 7ኮስ x - 5 = 0.

እንግለጽ ኃጢአት 2 X በኩል cosx : ኃጢአት 2 X = 1 - ኮስ 2x . ከዚያ ይህ እኩልታ እንደ እንደገና ሊፃፍ ይችላል።

2 (1 - cos 2 x) + 7ኮስ x - 5 = 0 , ወይም

2ቆስ 2 x- 7 ኮ x + 3 = 0.

መሰየም cosx በኩል በ, ወደ ኳድራቲክ እኩልታ ደርሰናል

2у 2 - 7у + 3 = 0፣

የማን ሥሮች ቁጥሮች ናቸው 1/2 እና 3. ይህ ማለት ወይ cos x= 1/2, ወይም cos X= 3. ሆኖም የኋለኛው የማይቻል ነው, ምክንያቱም የየትኛውም ማዕዘን ኮሳይን በፍፁም ዋጋ ከ 1 አይበልጥም.

ያንን መቀበል ይቀራል cos x = 1 / 2 ፣ የት

x = ± 60 ° + 360 ° n.

ለምሳሌ 4 . እኩልታውን ይፍቱ

2 ኃጢአት X+ 3ኮስ x = 6.

ከኃጢአት ጀምሮ xእና cos xበፍፁም እሴት ከ 1 አይበልጡ, ከዚያም አገላለጹ
2 ኃጢአት X+ 3ኮስ x ከዚህ በላይ እሴቶችን መውሰድ አይችልም 5 . ስለዚህ, ይህ እኩልታ ሥር የለውም.

ለምሳሌ 5 . እኩልታውን ይፍቱ

ኃጢአት X+ኮስ x = 1

የዚህን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በማጣመር የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

ኃጢአት 2 X+ 2 ኃጢአት x cos x+ ኮስ 2 x = 1,

ግን ኃጢአት 2 X + cos 2 x = 1 . ለዚህ ነው 2 ኃጢአት x cos x = 0 . ከሆነ ኃጢአት x = 0 ፣ ያ X = nπ ; ከሆነ
cos x ፣ ያ X = π / 2 + ክπ . እነዚህ ሁለት የመፍትሄ ቡድኖች በአንድ ቀመር ሊጻፉ ይችላሉ፡-

X = π / 2n

የዚህን እኩልታ በሁለቱም በኩል አራት ማዕዘን ቅርጾችን ስላደረግን ፣ ባገኘናቸው ሥሮች መካከል ያልተለመዱ ሥሮች ሊኖሩ ይችላሉ። ለዚህም ነው በዚህ ምሳሌ ውስጥ, ከቀደምቶቹ ሁሉ በተለየ, ቼክ ማድረግ አስፈላጊ ነው. ሁሉም ትርጉሞች

X = π / 2nበ 4 ቡድኖች ሊከፈል ይችላል

	1) X = 2kπ .	(n = 4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 3)

በ X = 2 ኪኃጢአት x+ኮስ x= 0 + 1 = 1. ስለዚህ. X = 2 ኪየዚህ እኩልታ መነሻዎች ናቸው.

በ X = π / 2 + 2 ኪ. ኃጢአት x+ኮስ x= 1 + 0 = 1 ስለዚህ X = π / 2 + 2 ኪ- እንዲሁም የዚህ እኩልታ ሥሮች.

በ X = π + 2 ኪኃጢአት x+ኮስ x= 0 - 1 = - 1. ስለዚህ, እሴቶቹ X = π + 2 ኪየዚህ እኩልታ መነሻዎች አይደሉም። በተመሳሳይ መልኩ ታይቷል። X = 3π / 2 + 2 ኪ. ሥር አይደሉም.

ስለዚህ, ይህ እኩልነት የሚከተሉት ሥሮች አሉት: X = 2 ኪእና X = π / 2 + 2 ሜ.፣ የት ክእና ኤም- ማንኛውም ኢንቲጀሮች.

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ቀላል ርዕስ አይደሉም። በጣም የተለያዩ ናቸው።) ለምሳሌ እነዚህ፡-

ኃጢአት 2 x + cos3x = ctg5x

ኃጢአት (5x+π /4) = አልጋ (2x-π /3)

six + cos2x + tg3x = ctg4x

እና የመሳሰሉት...

ነገር ግን እነዚህ (እና ሁሉም) ትሪግኖሜትሪክ ጭራቆች አንድ የሚያመሳስላቸው ሁለት ነገሮች አሏቸው፡- አስገዳጅ ባህሪያት. በመጀመሪያ - አያምኑም - በቀመር ውስጥ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት አሉ።) ሁለተኛ፡ ሁሉም የ x መግለጫዎች ይገኛሉ። በእነዚህ ተመሳሳይ ተግባራት ውስጥ.እና እዚያ ብቻ! X የሆነ ቦታ ከታየ ውጭ ፣ለምሳሌ፡- sin2x + 3x = 3፣ይህ ቀድሞውኑ የተደባለቀ ዓይነት እኩል ይሆናል. እንደዚህ ያሉ እኩልታዎች ያስፈልጋቸዋል የግለሰብ አቀራረብ. እዚህ አንመለከታቸውም።

በዚህ ትምህርት ውስጥም ክፉ እኩልታዎችን አንፈታም.) እዚህ ጋር እንገናኛለን በጣም ቀላሉ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች.ለምን፧ አዎ ምክንያቱም መፍትሄው ማንኛውምትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ሁለት ደረጃዎችን ያቀፈ ነው. በመጀመሪያው ደረጃ, የክፉው እኩልነት በተለያዩ ለውጦች አማካኝነት ወደ ቀላል ይቀንሳል. በሁለተኛው ላይ, ይህ ቀላሉ እኩልታ ተፈትቷል. አለበለዚያ, ምንም መንገድ.

ስለዚህ, በሁለተኛው ደረጃ ላይ ችግሮች ካጋጠሙዎት, የመጀመሪያው ደረጃ ብዙ ትርጉም አይሰጥም.)

የአንደኛ ደረጃ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ምን ይመስላሉ?

sinx = ሀ

cosx = አ

tgx = አ

ctgx = አ

እዚህ ሀ ለማንኛውም ቁጥር ይቆማል. ማንኛውም።

በነገራችን ላይ፣ በአንድ ተግባር ውስጥ ንፁህ X ላይኖር ይችላል፣ ነገር ግን አንዳንድ አይነት አገላለጾች፣ እንደ፡-

cos (3x+π /3) = 1/2

እና የመሳሰሉት. ይህ ህይወትን ያወሳስበዋል፣ ነገር ግን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታን የመፍታት ዘዴን አይጎዳም።

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት ይቻላል?

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች በሁለት መንገዶች ሊፈቱ ይችላሉ. የመጀመሪያው መንገድ: አመክንዮ እና ትሪግኖሜትሪክ ክብ በመጠቀም. ይህንን መንገድ እዚህ እንመለከታለን. ሁለተኛው መንገድ - ማህደረ ትውስታን እና ቀመሮችን በመጠቀም - በሚቀጥለው ትምህርት ውስጥ ይብራራል.

የመጀመሪያው መንገድ ግልጽ፣ አስተማማኝ እና ለመርሳት አስቸጋሪ ነው። ሎጂክ ከማስታወስ የበለጠ ጠንካራ ነው!)

ትሪግኖሜትሪክ ክበብ በመጠቀም እኩልታዎችን መፍታት።

የአንደኛ ደረጃ አመክንዮ እና ትሪግኖሜትሪክ ክብ የመጠቀም ችሎታን እናጨምራለን ። እንዴት እንደሆነ አታውቅም? ሆኖም ግን ... በትሪግኖሜትሪ ውስጥ አስቸጋሪ ጊዜ ይኖርዎታል ...) ግን ምንም አይደለም. ትምህርቶቹን ተመልከት "Trigonometric circle...... ምንድን ነው?" እና "በትሪግኖሜትሪክ ክበብ ላይ ማዕዘኖችን መለካት." እዚያ ሁሉም ነገር ቀላል ነው. ከመማሪያ መጽሐፍት በተለየ...)

ኦህ ታውቃለህ!? እና "ተግባራዊ ስራን ከትሪግኖሜትሪክ ክበብ" ጋር እንኳን ተማርኩ!? እንኳን ደስ አላችሁ። ይህ ርዕስ ለእርስዎ ቅርብ እና ለመረዳት የሚቻል ይሆናል.) በተለይ የሚያስደስተው ይህ ነው ትሪግኖሜትሪክ ክበብየትኛውንም እኩልነት ብትፈታው ለውጥ የለውም። ሳይን, ኮሳይን, ታንጀንት, ኮታንጀንት - ሁሉም ነገር ለእሱ ተመሳሳይ ነው. አንድ የመፍትሄ መርህ ብቻ ነው.

ስለዚህ ማንኛውንም ኤሌሜንታሪ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ እንወስዳለን። ቢያንስ ይህ፡-

cosx = 0.5

X ማግኘት አለብን። በሰው ቋንቋ መናገር ያስፈልግዎታል ኮሳይኑ 0.5 የሆነውን አንግል (x) ያግኙ።

ከዚህ ቀደም ክበቡን እንዴት እንጠቀም ነበር? በላዩ ላይ አንግል አነሳን. በዲግሪዎች ወይም ራዲያን. እና ወዲያውኑ አየሁ የዚህ አንግል ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት. አሁን ተቃራኒውን እናድርግ። በክበቡ ላይ አንድ ኮሳይን ከ 0.5 ጋር እኩል እና ወዲያውኑ እንሳል እናያለን ጥግ. የቀረው መልሱን መፃፍ ብቻ ነው።) አዎ፣ አዎ!

ክበብ ይሳሉ እና ኮሳይን ከ 0.5 ጋር እኩል ምልክት ያድርጉ። በኮሳይን ዘንግ ላይ, በእርግጥ. እንደዚህ፡-

አሁን ይህ ኮሳይን የሚሰጠንን አንግል እንሳበው። መዳፊትዎን በሥዕሉ ላይ አንዣብቡ (ወይም በጡባዊዎ ላይ ያለውን ሥዕል ይንኩ) እና ታያለህይህ በጣም ጥግ X.

የየትኛው አንግል ኮሳይን 0.5 ነው?

x = π /3

cos 60°=ኮስ( π /3) = 0,5

አንዳንድ ሰዎች በጥርጣሬ ይንጫጫሉ ፣ አዎ ... ልክ ፣ ሁሉም ነገር ቀድሞውኑ ግልፅ በሚሆንበት ጊዜ ክበብ መሥራት ጠቃሚ ነበር… በእርግጥ ፣ መሳቅ ይችላሉ…) እውነታው ግን ይህ የተሳሳተ መልስ ነው። ወይም ይልቁንስ በቂ ያልሆነ። የክበብ ጠያቂዎች 0.5 ኮሳይን የሚሰጡ ሌሎች አጠቃላይ ማዕዘኖች እንዳሉ ይገነዘባሉ።

የሚንቀሳቀሰውን ጎን OA ካዞሩ ሙሉ መዞር, ነጥብ A ወደ መጀመሪያው ቦታው ይመለሳል. ከ 0.5 ጋር እኩል በሆነ ተመሳሳይ ኮሳይን. እነዚያ። አንግል ይለወጣልበ 360 ° ወይም 2π ራዲያን, እና ኮሳይን - አይ.አዲሱ አንግል 60° + 360° = 420° ለኛ እኩልታም መፍትሄ ይሆናል።

እንደዚህ ያሉ የተሟላ አብዮቶች ቁጥር የሌለው ቁጥር ሊደረግ ይችላል... እና እነዚህ ሁሉ አዳዲስ ማዕዘኖች ለትሪግኖሜትሪክ እኩልታችን መፍትሄዎች ይሆናሉ። እና ሁሉም በምላሹ በሆነ መንገድ መፃፍ አለባቸው። ሁሉም።አለበለዚያ ውሳኔው አይቆጠርም, አዎ ...)

ሒሳብ ይህን በቀላሉ እና በሚያምር ሁኔታ ማድረግ ይችላል። በአንድ አጭር መልስ ጻፍ ማለቂያ የሌለው ስብስብውሳኔዎች. ለእኩልታችን ምን እንደሚመስል እነሆ፡-

x = π /3 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

እኔ እፈታዋለሁ። አሁንም ጻፍ ትርጉም ያለውአንዳንድ ሚስጥራዊ ፊደላትን ከመሳል የበለጠ አስደሳች ነው ፣ አይደል?)

π /3 - ይህ እኛ ተመሳሳይ ጥግ ነው አየሁበክበብ ላይ እና ተወስኗልእንደ ኮሳይን ሰንጠረዥ.

2π በራዲያን ውስጥ አንድ ሙሉ አብዮት ነው።

n - ይህ የተሟሉ ሰዎች ቁጥር ነው, ማለትም. ሙሉራፒኤም እንደሆነ ግልጽ ነው። n ከ 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... እና የመሳሰሉት ጋር እኩል ሊሆን ይችላል. በአጭር መግቢያ እንደተመለከተው፡-

n ∈ ዘ

n የ() ነው ∈ ኢንቲጀሮች ስብስብ ( ዜድ ). በነገራችን ላይ ከደብዳቤው ይልቅ n ፊደሎች በደንብ ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ k, m, t ወዘተ.

ይህ ምልክት ማለት ማንኛውንም ኢንቲጀር መውሰድ ይችላሉ። n . ቢያንስ -3፣ ቢያንስ 0፣ ቢያንስ +55። የፈለጉትን. ይህንን ቁጥር ወደ መልሱ ከቀየሩት የተወሰነ ማዕዘን ያገኛሉ፣ ይህም በእርግጠኝነት ለጠንካራ እኩልታችን መፍትሄ ይሆናል።)

ወይም፣ በሌላ አነጋገር፣ x = π /3 ማለቂያ የሌለው ስብስብ ብቸኛው ሥር ነው። ሌሎቹን ሥሮች ለማግኘት ማንኛውንም ቁጥር ሙሉ አብዮቶች ወደ π/3 ማከል በቂ ነው። n ) በራዲያን ውስጥ። እነዚያ። 2πn ራዲያን.

ሁሉም? አይ። ሆን ብዬ ደስታን አራዝማለሁ። የበለጠ ለማስታወስ።) ለእኩልታችን ከተሰጡት መልሶች በከፊል ብቻ ነው የተቀበልነው። የመፍትሄውን የመጀመሪያ ክፍል እንደሚከተለው እጽፋለሁ-

x 1 = π /3 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

x 1 - አንድ ሥር ብቻ ሳይሆን ሙሉ ተከታታይ ሥሮች, በአጭር ቅርጽ የተጻፉ ናቸው.

ግን ደግሞ 0.5 ኮሳይን የሚሰጡ ማዕዘኖችም አሉ!

መልሱን ወደ ጻፍንበት ፎቶአችን እንመለስ። እነሆ፡-

መዳፊትዎን በምስሉ ላይ አንዣብቡ እና እናያለንሌላ አንግል በተጨማሪም ኮሳይን 0.5 ይሰጣል.ከምን ጋር እኩል ነው ብለው ያስባሉ? የሶስት ማዕዘኑ ተመሳሳይ ናቸው ... አዎ! ከማዕዘን ጋር እኩል ነው X , በአሉታዊ አቅጣጫ ብቻ ዘግይቷል. ይህ ጥግ ነው። -X. ግን አስቀድመን x አስልተናል. π/3 ወይም 60° ስለዚህ፣ በደህና መፃፍ እንችላለን፡-

x 2 = - π /3

ደህና ፣ በእርግጥ ፣ በሙሉ አብዮቶች የተገኙትን ሁሉንም ማዕዘኖች እንጨምራለን-

x 2 = - π /3 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

አሁን ያ ብቻ ነው።) በትሪግኖሜትሪክ ክበብ ላይ እኛ አየሁ(በእርግጥ ማን ያውቃል)) ሁሉምኮሳይን 0.5 የሚሰጡ ማዕዘኖች. እና እነዚህን ማዕዘኖች በአጭር የሂሳብ ቅርጽ ጻፍናቸው. መልሱ ሁለት ማለቂያ የሌላቸው ተከታታይ ስሮች አስገኝቷል፡

x 1 = π /3 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

x 2 = - π /3 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

ትክክለኛው መልስ ይህ ነው።

ተስፋ፣ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት አጠቃላይ መርህክብ መጠቀም ግልጽ ነው. በክበብ ላይ ከተሰጠው ቀመር ኮሳይን (ሳይን, ታንጀንት, ኮታንጀንት) ምልክት እናደርጋለን, ከእሱ ጋር የሚዛመዱትን ማዕዘኖች ይሳሉ እና መልሱን እንጽፋለን.እርግጥ ነው, እኛ ምን ዓይነት ማዕዘኖች እንደሆንን ማወቅ አለብን አየሁበክበቡ ላይ. አንዳንድ ጊዜ በጣም ግልጽ አይደለም. ደህና፣ እዚህ ሎጂክ ያስፈልጋል አልኩኝ።)

ለምሳሌ፣ ሌላ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ እንይ፡-

እባክዎን ግምት ውስጥ ያስገቡ ቁጥር 0.5 በቀመር ውስጥ ብቸኛው ሊሆን የሚችል ቁጥር አይደለም!) ከሥሮች እና ክፍልፋዮች ይልቅ ለመጻፍ ለእኔ የበለጠ ምቹ ነው።

በአጠቃላይ መርህ መሰረት እንሰራለን. አንድ ክበብ እንሰራለን, ምልክት (በሳይን ዘንግ ላይ, በእርግጥ!) 0.5. ከዚህ ሳይን ጋር የሚዛመዱትን ሁሉንም ማዕዘኖች በአንድ ጊዜ እናስባለን. ይህንን ምስል እናገኛለን:

መጀመሪያ አንግልን እንይ X በመጀመሪያው ሩብ ዓመት ውስጥ. የሳይንስ ሰንጠረዥን እናስታውሳለን እና የዚህን አንግል ዋጋ እንወስናለን. ቀላል ጉዳይ ነው፡-

x = π /6

ስለ ሙሉ አብዮቶች እናስታውሳለን ንፁህ ህሊናየመጀመሪያዎቹን ተከታታይ መልሶች እንጽፋለን-

x 1 = π /6 + 2π n፣ n ∈ ዚ

ግማሹ ስራው ተከናውኗል. አሁን ግን መወሰን አለብን ሁለተኛ ጥግ...ኮሳይን ከመጠቀም የበለጠ ተንኮለኛ ነው፣ አዎ... አመክንዮ ግን ያድነናል! ሁለተኛውን አንግል እንዴት እንደሚወስኑ በ x በኩል? ቀላል ነው! በሥዕሉ ላይ ያሉት ሦስት ማዕዘኖች ተመሳሳይ ናቸው, እና ቀይ ማዕዘን X ከአንግል ጋር እኩል X . ከአንግል π ብቻ በአሉታዊ አቅጣጫ ይቆጠራል. ለዚያም ነው ቀይ ቀለም ያለው.) እና ለመልሱ አንግል ያስፈልገናል, በትክክል ይሰላል, ከአዎንታዊው ከፊል ዘንግ ኦክስ, ማለትም. ከ 0 ዲግሪ ማዕዘን.

ጠቋሚውን በስዕሉ ላይ እናንሳለን እና ሁሉንም ነገር እናያለን. ስዕሉን ላለማወሳሰብ የመጀመሪያውን ጥግ አስወግጄዋለሁ. የምንፈልገው (በአረንጓዴ የተሳለ) አንግል ከሚከተሉት ጋር እኩል ይሆናል።

π - x

X ይህንን እናውቃለን π /6 . ስለዚህ, ሁለተኛው ማዕዘን ይሆናል:

π - π /6 = 5π /6

ሙሉ አብዮቶችን ስለማከል እንደገና እናስታውሳለን እና የሁለተኛውን ተከታታይ መልሶች ጻፍ፡-

x 2 = 5π /6 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

ያ ነው. የተሟላ መልስ ሁለት ተከታታይ ሥሮችን ያቀፈ ነው-

x 1 = π /6 + 2π n፣ n ∈ ዚ

x 2 = 5π /6 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

የታንጀንት እና የኮታንጀንት እኩልታዎች ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ተመሳሳይ አጠቃላይ መርህ በመጠቀም በቀላሉ ሊፈቱ ይችላሉ። በትሪግኖሜትሪክ ክበብ ላይ ታንጀንት እና ኮታንጀንት እንዴት መሳል እንደሚችሉ ካወቁ።

ከላይ ባሉት ምሳሌዎች የሲን እና ኮሳይን የሠንጠረዥ ዋጋ ተጠቀምኩ: 0.5. እነዚያ። ተማሪው ከሚያውቃቸው ትርጉሞች አንዱ ተገድዷል።አሁን አቅማችንን እናስፋፋ ሁሉም ሌሎች እሴቶች.ይወስኑ እና ይወስኑ!)

ስለዚህ፣ ይህንን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ መፍታት አለብን እንበል፡-

እንደዚህ ያለ የኮሳይን ዋጋ በ አጭር ጠረጴዛዎችአይ። ይህንን አስከፊ እውነታ በቅዝቃዛነት ችላ እንላለን። ክበብ ይሳሉ, በኮሳይን ዘንግ ላይ 2/3 ምልክት ያድርጉ እና ተዛማጅ ማዕዘኖችን ይሳሉ. ይህንን ምስል እናገኛለን.

በመጀመሪያ በመጀመሪያ ሩብ ውስጥ ያለውን አንግል እንመልከት። ምነው x ምን እኩል እንደሆነ ብናውቅ መልሱን ወዲያው እንጽፍልን ነበር! አናውቅም... ውድቀት!? ተረጋጋ! ሂሳብ የራሱን ሰዎች ችግር ውስጥ አይጥልም! ለዚህ ጉዳይ አርክ ኮሳይን አመጣች። አላውቅም፧ በከንቱ። ይወቁ፣ ከሚያስቡት በላይ በጣም ቀላል ነው። በዚህ አገናኝ ላይ ስለ “ተገላቢጦሽ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት” አንድም ተንኮለኛ ፊደል የለም… ይህ በዚህ ርዕስ ውስጥ እጅግ የላቀ ነው።

በእውቀት ላይ ከሆንክ ለራስህ ብቻ በል፡- “X ኮሳይኑ ከ2/3 ጋር እኩል የሆነ አንግል ነው። እና ወዲያውኑ ፣ በአርክ ኮሳይን ትርጉም ብቻ ፣ መጻፍ እንችላለን-

ስለ ተጨማሪ አብዮቶች እናስታውሳለን እና የመጀመሪያዎቹን የትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ስሮች በእርጋታ እንጽፋለን፡

x 1 = አርክኮስ 2/3 + 2π n፣ n ∈ ዚ

ለሁለተኛው አንግል ሁለተኛው ተከታታይ ሥሮች በራስ-ሰር ይጻፋሉ። ሁሉም ነገር አንድ ነው፣ X ብቻ (arccos 2/3) ከሚቀነስ ጋር ይሆናል፡-

x 2 = - አርክኮስ 2/3 + 2π n፣ n ∈ ዚ

እና ያ ነው! ትክክለኛው መልስ ይህ ነው። ከሠንጠረዥ ዋጋዎች የበለጠ ቀላል። ምንም ነገር ማስታወስ አያስፈልግም.) በነገራችን ላይ, በጣም በትኩረት የሚከታተሉ ሰዎች ይህ ስዕል በአርክ ኮሳይን በኩል መፍትሄ እንደሚያሳይ ያስተውላሉ. በመሠረቱ, ለቀመር cosx = 0.5 ከሥዕሉ የተለየ አይደለም.

ልክ ነው! አጠቃላይ መርህለዚህ ነው የተለመደ የሆነው! ሆን ብዬ ሁለት ተመሳሳይ ምስሎችን ሣልኩ። ክበቡ አንግል ያሳየናል X እንደ አጋጣሚ ሆኖ። የጠረጴዛ ኮሳይን ይሁን አይሁን ለሁሉም ሰው የማይታወቅ ነው። ይህ ምን አይነት አንግል ነው፣ π/3፣ ወይም ምን አይነት አርክ ኮሳይን ነው - እኛ የምንወስነው ይህ ነው።

ከሳይን ጋር ተመሳሳይ ዘፈን። ለምሳሌ፡-

እንደገና አንድ ክበብ ይሳሉ, ሳይን ከ 1/3 ጋር እኩል የሆነ ምልክት ያድርጉ, ማዕዘኖቹን ይሳሉ. የምናገኘው ምስል ይህ ነው፡-

እና እንደገና ምስሉ ከሞላ ጎደል ልክ እንደ እኩልታው ተመሳሳይ ነው። six = 0.5.እንደገና ከመጀመሪያው ሩብ ውስጥ ከማዕዘን እንጀምራለን. የእሱ ሳይን 1/3 ከሆነ X ምን ያህል እኩል ነው? ምንም ጥያቄ የለም!

አሁን የመጀመሪያው እሽግ ሥሮች ዝግጁ ናቸው-

x 1 = አርክሲን 1/3 + 2π n፣ n ∈ ዜድ

ከሁለተኛው አንግል ጋር እንገናኝ. በምሳሌው 0.5 የሰንጠረዥ እሴት ጋር እኩል ነበር፡-

π - x

እዚህም እንዲሁ ተመሳሳይ ይሆናል! x ብቻ የተለየ ነው፣ አርክሲን 1/3። ታዲያ ምን!? ሁለተኛውን የስር እሽግ በጥንቃቄ መጻፍ ይችላሉ-

x 2 = π - አርክሲን 1/3 + 2π n፣ n ∈ ዚ

ይህ ፍጹም ትክክለኛ መልስ ነው። ምንም እንኳን በጣም የተለመደ ባይመስልም. ግን ግልጽ ነው, ተስፋ አደርጋለሁ.)

ክብ በመጠቀም ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች የሚፈቱት በዚህ መንገድ ነው። ይህ መንገድ ግልጽ እና ሊረዳ የሚችል ነው. እሱ ነው በትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ከሥሮች ምርጫ ጋር፣ በ ውስጥ ትሪግኖሜትሪክ አለመመጣጠን- እነዚህ በአጠቃላይ ሁልጊዜ ማለት ይቻላል በክበብ ውስጥ ይፈታሉ. በአጭሩ, ከመደበኛ ደረጃዎች ትንሽ አስቸጋሪ በሆኑ ማናቸውም ስራዎች.

እውቀትን በተግባር እንጠቀም?)

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ይፍቱ

በመጀመሪያ ፣ ቀላል ፣ ከዚህ ትምህርት በቀጥታ።

አሁን የበለጠ የተወሳሰበ ነው።

ፍንጭ: እዚህ ስለ ክበብ ማሰብ አለብዎት. በግል።)

እና አሁን እነሱ በውጫዊ መልኩ ቀላል ናቸው ... ልዩ ጉዳዮች ተብለውም ይጠራሉ.

six = 0

six = 1

ኮስክስ = 0

ኮስክስ = -1

ፍንጭ: እዚህ ሁለት ተከታታይ መልሶች ባሉበት እና አንድ ባለበት ክበብ ውስጥ ማወቅ ያስፈልግዎታል ... እና ከሁለት ተከታታይ መልሶች ይልቅ አንድ እንዴት እንደሚፃፍ። አዎ፣ ከማይወሰን ቁጥር አንድም ሥር እንዳይጠፋ!)

ደህና ፣ በጣም ቀላል):

six = 0,3

ኮስክስ = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

ፍንጭ: እዚህ አርክሲን እና አርኮሲን ምን እንደሆኑ ማወቅ አለብዎት? አርክታንጀንት ፣ አርኮታንጀንት ምንድን ነው? በጣም ቀላሉ ትርጓሜዎች. ግን ምንም የሰንጠረዥ እሴቶችን ማስታወስ አያስፈልግዎትም!)

በእርግጥ መልሱ የተመሰቃቀለ ነው፡-

x 1= arcsin0,3 + 2π n፣ n ∈ ዚ
x 2= π - arcsin0.3 + 2

ሁሉም ነገር አይሰራም? ይከሰታል። ትምህርቱን እንደገና ያንብቡ። ብቻ በአስተሳሰብ(እንዲህ ያለ አለ ጊዜ ያለፈበት ቃል...) እና አገናኞችን ይከተሉ. ዋናዎቹ አገናኞች ስለ ክበብ ናቸው. ያለ እሱ ፣ ትሪጎኖሜትሪ መንገዱን በአይነ ስውር መንገድ እንደማቋረጥ ነው። አንዳንድ ጊዜ ይሰራል.)

ይህን ጣቢያ ከወደዱት...

በነገራችን ላይ ለአንተ ይበልጥ አስደሳች የሆኑ ሁለት ጣቢያዎች አሉኝ።)

ምሳሌዎችን የመፍታት ልምምድ ማድረግ እና ደረጃዎን ማወቅ ይችላሉ. በፈጣን ማረጋገጫ መሞከር። እንማር - በፍላጎት!)

ከተግባሮች እና ተዋጽኦዎች ጋር መተዋወቅ ይችላሉ።

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዘዴዎች

መግቢያ 2

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴዎች 5

አልጀብራ 5

ተመሳሳይ ስም ያላቸው ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት የእኩልነት ሁኔታን በመጠቀም እኩልታዎችን መፍታት 7

መመረት 8

ወደ ተመሳሳይ እኩልነት መቀነስ 10

የረዳት አንግል መግቢያ 11

ምርቱን ወደ ድምር 14 ይለውጡ

ሁለንተናዊ ምትክ 14

መደምደሚያ 17

መግቢያ

እስከ አስረኛ ክፍል ድረስ ፣ ወደ ግብ የሚያመሩ የብዙ መልመጃዎች የድርጊት ቅደም ተከተል ፣ እንደ አንድ ደንብ ፣ በግልጽ ይገለጻል። ለምሳሌ፣ መስመራዊ እና ባለአራት እኩልታዎች እና አለመመጣጠን፣ ክፍልፋይ እኩልታዎች እና እኩልታዎች ወደ ኳድራቲክ የሚቀነሱ ወዘተ. የተጠቀሱትን ምሳሌዎች እያንዳንዱን የመፍታት መርህ በዝርዝር ሳንመረምር, ለስኬታማው መፍትሄ አስፈላጊ የሆኑትን አጠቃላይ ነገሮች እናስተውላለን.

በአብዛኛዎቹ ሁኔታዎች ተግባሩ ምን ዓይነት ተግባር እንደሆነ መመስረት, ወደ ግቡ የሚወስዱትን የእርምጃዎች ቅደም ተከተል ማስታወስ እና እነዚህን ድርጊቶች ማከናወን ያስፈልግዎታል. በግልጽ እንደሚታየው፣ የተማሪው እኩልታዎችን የመፍታት ቴክኒኮችን በመማር ላይ ያለው ስኬት ወይም ውድቀት በዋነኝነት የተመካው የእኩልቱን አይነት በትክክል ለመወሰን እና የመፍትሄውን ሁሉንም ደረጃዎች ቅደም ተከተል ለማስታወስ በሚችልበት ሁኔታ ላይ ነው። በእርግጥ ይህ ተማሪው የማከናወን ችሎታ እንዳለው ይገምታል የማንነት ለውጦችእና ማስላት.

አንድ የትምህርት ቤት ልጅ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ሲያጋጥመው ፍጹም የተለየ ሁኔታ ይፈጠራል። ከዚህም በላይ እኩልታው ትሪግኖሜትሪክ የመሆኑን እውነታ ማረጋገጥ አስቸጋሪ አይደለም. ወደ አወንታዊ ውጤት የሚያመራውን የእርምጃ አካሄድ ሲፈልጉ ችግሮች ይከሰታሉ። እና እዚህ ተማሪው ሁለት ችግሮች ያጋጥመዋል. በ መልክእኩልታዎች አይነት ለመወሰን አስቸጋሪ ናቸው. እና አይነቱን ሳያውቅ የሚፈለገውን ቀመር ከብዙ ደርዘን ውስጥ ለመምረጥ ፈጽሞ የማይቻል ነው.

ተማሪዎች ውስብስብ በሆነው የትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ውስጥ መንገዳቸውን እንዲያገኙ ለመርዳት በመጀመሪያ አዲስ ተለዋዋጭ ሲገባ ወደ ኳድራቲክ እኩልታዎች ወደ ሚቀነሱ እኩልታዎች ይተዋወቃሉ። ከዚያ ተመሳሳይ እኩልታዎችን እና ለእነሱ የሚቀነሱትን ይፈታሉ። ሁሉም ነገር ያበቃል, እንደ አንድ ደንብ, በእኩልታዎች, የትኛውን የግራ ጎኑን ለመለካት አስፈላጊ እንደሆነ ለመፍታት, ከዚያም እያንዳንዱን ምክንያቶች ወደ ዜሮ ያመሳስላሉ.

በትምህርቶቹ ውስጥ የተብራሩት ደርዘን ተኩል እኩልታዎች ተማሪውን በትሪግኖሜትሪክ “ባህር” ላይ በገለልተኛ ጉዞ ለማድረግ በቂ አለመሆናቸውን በመገንዘብ መምህሩ ጥቂት ተጨማሪ ምክሮችን ያክላል።

የትሪግኖሜትሪክ እኩልታን ለመፍታት፣ መሞከር ያስፈልግዎታል፡-

በቀመር ውስጥ የተካተቱትን ሁሉንም ተግባራት ወደ "ተመሳሳይ ማዕዘኖች" አምጣ;

እኩልታውን ወደ "ተመሳሳይ ተግባራት" ይቀንሱ;

የእኩልታውን የግራ ጎን ለይ፣ ወዘተ.

ነገር ግን መሰረታዊ የትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች እና የመፍትሄ ሃሳቦችን ለማግኘት ብዙ መርሆችን ቢያውቁም፣ ብዙ ተማሪዎች አሁንም ከዚህ በፊት ከተፈቱት ትንሽ ለየት ባለ በእያንዳንዱ እኩልነት ተደናቅፈዋል። አንድ ሰው ይህንን ወይም ያንን እኩልነት ሲይዝ ምን መሞከር እንዳለበት ግልፅ አይደለም ፣ ለምን በአንድ ጉዳይ ላይ ባለ ሁለት ማዕዘን ቀመሮችን መጠቀም አስፈላጊ ነው ፣ በሌላ - ግማሽ አንግል ፣ እና በሦስተኛው - የመደመር ቀመሮች ፣ ወዘተ.

ፍቺ 1.ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ የማይታወቅ በትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ምልክት ስር የሚገኝበት እኩልታ ነው።

ፍቺ 2.በውስጡ የተካተቱት ሁሉም ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት እኩል ነጋሪ እሴቶች ካላቸው ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ እኩል ማዕዘኖች አሉት ተብሏል። ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ከትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ውስጥ አንዱን ብቻ የያዘ ከሆነ ተመሳሳይ ተግባራት አሉት ተብሏል።

ፍቺ 3.ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን የያዘ የአንድ ሞኖሚል ኃይል በውስጡ የተካተቱት የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ሃይሎች ድምር ነው።

ፍቺ 4.በእሱ ውስጥ የተካተቱት ሁሉም ሞኖሚሎች ተመሳሳይ ዲግሪ ካላቸው እኩልታ ተመሳሳይነት ይባላል። ይህ ዲግሪ የእኩልታ ቅደም ተከተል ይባላል.

ፍቺ 5.ተግባራትን ብቻ የያዘ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ኃጢአትእና cos, ሁሉም monomials ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ካላቸው ተመሳሳይ ይባላል ተመሳሳይ ዲግሪ, እና ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት እራሳቸው አሏቸው እኩል ማዕዘኖችእና የሞኖሚሎች ብዛት በ 1 ተጨማሪ ትዕዛዝእኩልታዎች

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዘዴዎች.

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት ሁለት ደረጃዎችን ያቀፈ ነው፡- እኩልታውን በጣም ቀላል የሆነውን ቅጽ ለማግኘት መለወጥ እና የተገኘውን ቀላሉ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ መፍታት። ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ሰባት መሰረታዊ ዘዴዎች አሉ።

አይ. የአልጀብራ ዘዴ.ይህ ዘዴ ከአልጀብራ በደንብ ይታወቃል. (ተለዋዋጭ የመተካት እና የመተካት ዘዴ).

እኩልታዎችን ይፍቱ.

1)

ማስታወሻውን እናስተዋውቅ x=2 ኃጢአት3 ቲ, እናገኛለን

ይህንን እኩልታ ስንፈታ፣ እናገኛለን፡-
ወይም

እነዚያ። ሊጻፍ ይችላል

ምልክቶች በመኖራቸው ምክንያት የተገኘውን መፍትሄ ሲመዘግቡ ዲግሪ
መጻፉ ምንም ፋይዳ የለውም።

መልስ፡-

እንጥቀስ

ኳድራቲክ እኩልታ እናገኛለን
. ሥሩ ቁጥሮች ናቸው።
እና
. ስለዚህ, ይህ እኩልታ ወደ ቀላሉ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ይቀንሳል
እና
. እነሱን መፍታት, ያንን እናገኛለን
ወይም
.

መልስ፡-
;
.

እንጥቀስ

ሁኔታውን አያሟላም

ማለት ነው።

መልስ፡-

የእኩልታውን ግራ ጎን እንለውጥ፡-

ስለዚህ ይህ የመጀመሪያ እኩልታ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-

፣ ማለትም እ.ኤ.አ.

ሾመ
, እናገኛለን
ይህንን ባለአራት እኩልታ በመፍታት ላይ፡-

ሁኔታውን አያሟላም

መፍትሄውን ወደ ዋናው ቀመር እንጽፋለን-

መልስ፡-

መተካት
ይህንን እኩልታ ወደ ኳድራቲክ እኩልታ ይቀንሳል
. ሥሩ ቁጥሮች ናቸው።
እና
. ምክንያቱም
, ከዚያም የተሰጠው እኩልነት ሥሮች የሉትም.

መልስ: ምንም ሥሮች የሉም.

II. ተመሳሳይ ስም ያላቸውን ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት የእኩልነት ሁኔታን በመጠቀም እኩልታዎችን መፍታት።

ሀ)
፣ ከሆነ

ለ)
፣ ከሆነ

ቪ)
፣ ከሆነ

እነዚህን ሁኔታዎች በመጠቀም፣ የሚከተሉትን እኩልታዎች መፍታት ያስቡበት፡

6)

በከፊል ሀ) የተነገረውን ተጠቅመን ከሆነ እና ብቻ ከሆነ እኩልቱ መፍትሄ እንዳለው እናገኘዋለን
.

ይህንን እኩልታ በመፍታት, እናገኛለን
.

ሁለት የመፍትሄ ቡድኖች አሉን:

.

7) እኩልታውን መፍታት;
.

የንጥል ሁኔታን በመጠቀም ለ) ያንን እንቀንሳለን
.

እነዚህን ባለአራት እኩልታዎች ስንፈታ፣ እናገኛለን፡-

.

8) እኩልታውን ይፍቱ
.

ከዚህ እኩልነት የምንወስነው . ይህንን ኳድራቲክ እኩልታ በመፍታት፣ ያንን እናገኛለን

.

III. ፋክተርላይዜሽን

ይህንን ዘዴ በምሳሌዎች እንመለከታለን.

9) እኩልታውን ይፍቱ
.

መፍትሄ። ሁሉንም የእኩልታ ውሎች ወደ ግራ እናንቀሳቅስ፡.

በቀመርው በግራ በኩል ያለውን አገላለጽ እንለውጥ እና ከፋፍለን፡-
.

.

.

1)
2)

ምክንያቱም
እና
ዋጋውን ዜሮ አይቀበሉ

በተመሳሳይ ጊዜ, ከዚያም ሁለቱንም ክፍሎች እናካፋለን

እኩልታዎች ለ
,

መልስ፡-

10) እኩልታውን ይፍቱ;

መፍትሄ።

ወይም

መልስ፡-

11) እኩልታውን ይፍቱ

መፍትሄ፡-

1)
2)
3)

,

መልስ፡-

IV. ወደ ተመሳሳይ እኩልነት መቀነስ።

ተመሳሳይ እኩልታ ለመፍታት የሚከተሉትን ያስፈልግዎታል

ሁሉንም አባላቱን ወደ ግራ በኩል ያንቀሳቅሱ;

ሁሉንም የተለመዱ ምክንያቶች በቅንፍ ውስጥ ያስቀምጡ;

ሁሉንም ምክንያቶች እና ቅንፎች ከዜሮ ጋር ያመሳስሉ;

ከዜሮ ጋር እኩል የሆኑ ቅንፎች አንድ ወጥ የሆነ የአነስተኛ ዲግሪ እኩልታ ይሰጣሉ፣ እሱም መከፋፈል አለበት።
(ወይም
) በከፍተኛ ዲግሪ;

ውጤቱን ይፍቱ የአልጀብራ እኩልታበአንጻራዊ ሁኔታ
.

ምሳሌዎችን እንመልከት፡-

12) እኩልታውን ይፍቱ;

መፍትሄ።

የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች እንከፋፍል።
,

ስያሜዎችን በማስተዋወቅ ላይ
፣ ስም

የዚህ እኩልታ መነሻዎች፡-

ስለዚህ 1)
2)

መልስ፡-

13) እኩልታውን ይፍቱ;

መፍትሄ። ባለ ሁለት ማዕዘን ቀመሮችን እና መሰረታዊን በመጠቀም ትሪግኖሜትሪክ ማንነትይህን እኩልታ ወደ ግማሽ ክርክር እንቀንሳለን፡-

ካመጣ በኋላ ተመሳሳይ ቃላትአለን።

ተመሳሳይ የሆነውን የመጨረሻውን እኩልታ በማካፈል
, እናገኛለን

እጠቁማለሁ።
, አራት ማዕዘን እኩልታ እናገኛለን
ሥሮቻቸው ቁጥሮች ናቸው።

ስለዚህም

አገላለጽ
ወደ ዜሮ ይሄዳል በ
፣ ማለትም እ.ኤ.አ. በ
,
.

ያገኘነው እኩልታ መፍትሄ እነዚህን ቁጥሮች አያካትትም.

መልስ፡-
, .

ቪ. የረዳት አንግል መግቢያ.

የቅጹን እኩልነት ግምት ውስጥ ያስገቡ

የት a, b, c- ቅንጅቶች, x- ያልታወቀ.

የዚህን እኩልታ በሁለቱም በኩል እንከፋፍል።

አሁን የእኩልታ ውህዶች የሳይን እና ኮሳይን ባህሪያት አሏቸው-የእያንዳንዳቸው ሞጁል ከአንድ አይበልጥም ፣ እና የካሬዎቻቸው ድምር ከ 1 ጋር እኩል ነው።

ከዚያ እንደዚያው ልንመድባቸው እንችላለን
( እዚህ - ረዳት አንግል) እና የእኛ እኩልነት ቅጹን ይወስዳል።

ከዚያም

እና የእሱ ውሳኔ

የገቡት ማስታወሻዎች እርስ በርሳቸው የሚለዋወጡ መሆናቸውን ልብ ይበሉ።

14) እኩልታውን ይፍቱ;

መፍትሄ። እዚህ
, ስለዚህ የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በ

መልስ፡-

15) እኩልታውን ይፍቱ

መፍትሄ። ምክንያቱም
, ከዚያ ይህ እኩልታ ከሂሳብ ጋር እኩል ነው

ምክንያቱም
, ከዚያ እንደዚህ ያለ ማዕዘን አለ
,
(እነዚያ.
).

አለን።

ምክንያቱም
በመጨረሻ የሚከተሉትን እናገኛለን: -

.

የቅጹ እኩልታዎች ከሆነ እና ከሆነ ብቻ መፍትሄ እንዳላቸው ልብ ይበሉ

16) እኩልታውን ይፍቱ;

ይህንን እኩልታ ለመፍታት፣ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ከተመሳሳዩ ነጋሪ እሴቶች ጋር እንመድባለን።

የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በሁለት ይከፋፍሉት

የትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ድምር ወደ ምርት እንለውጥ፡-

መልስ፡-

VI. ምርትን ወደ ድምር በመቀየር ላይ።

ተጓዳኝ ቀመሮች እዚህ ጥቅም ላይ ይውላሉ.

17) እኩልታውን ይፍቱ;

መፍትሄ። ግራውን ወደ ድምር እንለውጥ፡-

VII.ሁለንተናዊ ምትክ.

,

እነዚህ ቀመሮች ለሁሉም ሰው እውነት ናቸው

መተካት
ሁለንተናዊ ተብሎ ይጠራል.

18) እኩልታውን ይፍቱ;

መፍትሄው: መተካት እና
ወደ አገላለጻቸው
እና አመልክት
.

ምክንያታዊ እኩልታ እናገኛለን
, ወደ ካሬ የሚለወጠው
.

የዚህ እኩልታ መነሻ ቁጥሮች ናቸው።
.

ስለዚህ, ችግሩ ሁለት እኩልታዎችን ወደ መፍታት ቀንሷል
.

ያንን እናገኛለን
.

የእይታ እሴት
ዋናውን እኩልታ አያሟላም, ይህም በማጣራት - መተካት የተሰጠው ዋጋ ቲወደ መጀመሪያው እኩልታ.

መልስ፡-
.

አስተያየት. ቀመር 18 በሌላ መንገድ ሊፈታ ይችል ነበር።

የዚህን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ 5 እንከፋፍላቸው (ማለትም በ
):
.

ምክንያቱም
, ከዚያ እንደዚህ ያለ ቁጥር አለ
፣ ምን
እና
. ስለዚህ ቀመር ቅጹን ይወስዳል-
ወይም
. ከዚህ እናገኛለን
የት
.

19) እኩልታውን ይፍቱ
.

መፍትሄ። ከተግባራት ጀምሮ
እና
አላቸው ከፍተኛ ዋጋ, ከ 1 ጋር እኩል ነው, ከዚያም ድምራቸው 2 ከሆነ
እና
, በአንድ ጊዜ, ማለትም
.

መልስ፡-
.

ይህንን እኩልታ ሲፈታ, የተግባሮቹ ወሰን እና ጥቅም ላይ ውሏል.

መደምደሚያ.

"የትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት" በሚለው ርዕስ ላይ ሲሰሩ ለእያንዳንዱ አስተማሪ የሚከተሉትን ምክሮች መከተል ጠቃሚ ነው.

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዘዴዎችን በስርዓት ያስቀምጡ።

አንድ የተወሰነ የመፍትሄ ዘዴን የመጠቀም አስፈላጊነትን እና የእኩልታ እና ምልክቶችን ትንተና ለማካሄድ እርምጃዎችን ለራስዎ ይምረጡ።

ዘዴውን በመተግበር እንቅስቃሴዎችዎን እራስዎን የሚቆጣጠሩባቸውን መንገዶች ያስቡ.

ለሚጠኑት እያንዳንዱ ዘዴዎች "የራስህ" እኩልታዎችን መፃፍ ተማር።

አባሪ ቁጥር 1

ተመሳሳይነት ያለው ወይም ሊቀንስ የሚችል ወደ ተመሳሳይ እኩልታዎች ይፍቱ።

1.	ሪፐብሊክ
	ሪፐብሊክ
	ሪፐብሊክ
5.	ሪፐብሊክ
	ሪፐብሊክ
7.	ሪፐብሊክ
	ሪፐብሊክ

የተቀናጀ የእውቀት አተገባበር ትምህርት።

የትምህርት ዓላማዎች.

1. አስቡበት የተለያዩ ዘዴዎችትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት.
2. ልማት ፈጠራተማሪዎች እኩልታዎችን በመፍታት.
3. ተማሪዎች ራሳቸውን እንዲገዙ፣ እርስ በርስ እንዲቆጣጠሩ እና የትምህርት እንቅስቃሴዎቻቸውን በራስ እንዲተነትኑ ማበረታታት።

መሳሪያዎች: ስክሪን, ፕሮጀክተር, የማጣቀሻ ቁሳቁስ.

የትምህርት ሂደት

የመግቢያ ውይይት።

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዋናው ዘዴ እነሱን ወደ ቀላሉ ቅፅ መቀነስ ነው. በዚህ ሁኔታ, ተግባራዊ ይሆናሉ የተለመዱ መንገዶችእንደ ፋክተሪንግ፣ እንዲሁም ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ብቻ የሚያገለግሉ ቴክኒኮች። በጣም ብዙ እነዚህ ቴክኒኮች አሉ ፣ ለምሳሌ ፣ የተለያዩ ትሪግኖሜትሪክ መተኪያዎች ፣ የማዕዘን ለውጦች ፣ የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ለውጦች። የማንኛውም ትሪግኖሜትሪክ ትራንስፎርሜሽን አድሎአዊ አተገባበር አብዛኛውን ጊዜ እኩልታውን አያቃልለውም፣ ነገር ግን በአሰቃቂ ሁኔታ ያወሳስበዋል። ውስጥ ለመስራት አጠቃላይ መግለጫእኩልታውን ለመፍታት እቅድ ያውጡ ፣ እኩልታውን ወደ ቀላሉ የሚቀንስበትን መንገድ ይግለጹ ፣ በመጀመሪያ ማዕዘኖቹን መተንተን አለብዎት - በቀመር ውስጥ የተካተቱት የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ክርክሮች።

ዛሬ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ስለ ዘዴዎች እንነጋገራለን. በትክክለኛው መንገድ የተመረጠው ዘዴ ብዙውን ጊዜ መፍትሄውን በእጅጉ ሊያቃልል ይችላል, ስለዚህ ሁሉንም የተማርናቸው ዘዴዎች በጣም ትክክለኛውን ዘዴ በመጠቀም ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ሁልጊዜ ግምት ውስጥ መግባት አለባቸው.

II. (ፕሮጀክተርን በመጠቀም፣ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴዎችን እንደግማለን።)

1. ትሪግኖሜትሪክ እኩልታን ወደ አልጀብራ የመቀነስ ዘዴ።

ሁሉንም ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን በአንድ ፣ በተመሳሳዩ ክርክር መግለጽ አስፈላጊ ነው። ይህ በመሠረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ማንነት እና ውጤቱን በመጠቀም ሊከናወን ይችላል። ከአንድ ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ጋር እኩልታ እናገኛለን። እንደ አዲስ ያልታወቀ ወስደን፣ የአልጀብራ እኩልታ እናገኛለን። ሥሩን እናገኛለን እና ወደ አሮጌው ያልታወቀ ተመለስን ፣ ቀላሉን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች በመፍታት።

2. የማምረት ዘዴ.

ማዕዘኖችን ለመለወጥ፣ የመቀነስ፣ የመደመር እና የክርክር ልዩነት ቀመሮች ብዙ ጊዜ ጠቃሚ ናቸው፣ እንዲሁም የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ድምርን (ልዩነትን) ወደ ምርት ለመቀየር እና በተገላቢጦሽ ቀመሮች ናቸው።

ኃጢአት x + ኃጢአት 3x = ኃጢአት 2x + sin4x

3. ተጨማሪ ማዕዘን የማስተዋወቅ ዘዴ.

4. ሁለንተናዊ ምትክ የመጠቀም ዘዴ.

የF(sinx፣cosx፣tanx) = 0 እኩልታዎች ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ ምትክ በመጠቀም ወደ አልጀብራ ይቀነሳሉ።

በግማሽ አንግል ታንጀንት አንፃር ሳይን ፣ ኮሳይን እና ታንጀንት መግለጽ። ይህ ዘዴ ወደ ከፍተኛ ቅደም ተከተል እኩልነት ሊያመራ ይችላል. መፍትሄው አስቸጋሪ ነው.