ከዚህ በፊት እኛ የተሰጠው ተግባር, በተለያዩ ቀመሮች እና ደንቦች በመመራት የራሱ ተዋጽኦ አግኝቷል. ተዋጽኦው ብዙ አጠቃቀሞች አሉት፡ የእንቅስቃሴው ፍጥነት (ወይም በአጠቃላይ የማንኛውም ሂደት ፍጥነት) ነው። የታንጀንት አንጉላር ኮፊሸን ወደ ተግባሩ ግራፍ; ተዋጽኦውን በመጠቀም ለአንድ ነጠላነት እና ለአክራሪነት ተግባር መመርመር ይችላሉ ። የማመቻቸት ችግሮችን ለመፍታት ይረዳል.
ነገር ግን በሚታወቀው የእንቅስቃሴ ህግ መሰረት ፍጥነትን ከማግኘት ችግር ጋር, የተገላቢጦሽ ችግርም አለ - በሚታወቀው ፍጥነት የእንቅስቃሴ ህግን ወደነበረበት የመመለስ ችግር. ከእነዚህ ችግሮች መካከል አንዱን እንመልከት።
ምሳሌ 1.ቀጥ ባለ መስመር ይንቀሳቀሳል ቁሳዊ ነጥብ, በጊዜው የእንቅስቃሴው ፍጥነት t በቀመር v=gt. የእንቅስቃሴ ህግን ያግኙ.
መፍትሄ። s = s (t) የሚፈለገው የእንቅስቃሴ ህግ ይሁን። s"(t) = v(t) እንደሆነ ይታወቃል።ይህ ማለት ችግሩን ለመፍታት ተግባርን s = s(t) መምረጥ ያስፈልግሃል፣ የርሱ ውፅዓት ከ gt ጋር እኩል ነው። ለመገመት አስቸጋሪ አይደለም። ያ \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\)።
\(s"(t) = \ግራ(\frac(gt^2)(2)\ቀኝ)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2)) cdot 2t = gt\)
መልስ፡- \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
ምሳሌው በትክክል እንደተፈታ, ግን ያልተሟላ መሆኑን ወዲያውኑ እናስተውል. \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) አግኝተናል። እንደ እውነቱ ከሆነ ችግሩ ብዙ መፍትሄዎች አሉት፡ ማንኛውም የቅጹ ተግባር \(s(t) = \frac(gt^2)(2)+C\)፣ ሐ የዘፈቀደ ቋሚ የሆነበት፣ እንደ ህግ ሆኖ ሊያገለግል ይችላል። እንቅስቃሴ፣ ከ \(\ ግራ (\frac(gt^2)(2) +C \ቀኝ)" = gt \)
ችግሩን የበለጠ ግልጽ ለማድረግ, የመነሻውን ሁኔታ ማስተካከል ያስፈልገናል: በተወሰነ ጊዜ ውስጥ የመንቀሳቀስ ቦታን መጋጠሚያ ያመልክቱ, ለምሳሌ በ t = 0 ላይ. ከማለት, s(0) = s 0, ከዚያም ከ. እኩልነት s(t) = (gt 2)/2 + C እናገኛለን፡ s(0) = 0 + C፣ ማለትም C = s 0። አሁን የእንቅስቃሴ ህግ በልዩ ሁኔታ ይገለጻል፡ s(t) = (gt 2)/2 + s 0።
በሂሳብ ውስጥ, የተገላቢጦሽ ስራዎች ተመድበዋል የተለያዩ ስሞች, ልዩ ማስታወሻዎችን ይዘው ይምጡ, ለምሳሌ: ካሬ (x 2) እና ማውጣት ካሬ ሥር(\(\sqrt(x) \))፣ ሳይን (ሲን x) እና አርክሲን (አርክሲን x)፣ ወዘተ. የተሰጠውን ተግባር መነሻ የማግኘት ሂደት ይባላል። ልዩነት, እና የተገላቢጦሽ ክዋኔ, ማለትም ከተሰጠው ተውሳክ ተግባርን የማግኘት ሂደት ነው ውህደት.
“ተወላጅ” የሚለው ቃል ራሱ “በየቀኑ” ሊጸድቅ ይችላል፡ ተግባር y = f(x) “ይወልዳል” አዲስ ተግባር y = f”(x)። ተግባር y = f(x) እንደ “ወላጅ” ሆኖ ይሰራል፣ ነገር ግን የሒሳብ ሊቃውንት፣ በተፈጥሯቸው “ወላጅ” ወይም “አምራች” ብለው አይጠሩትም፤ ከተግባሩ ጋር በተያያዘ y” = f”( x)፣ ዋና ምስል ወይም ጥንታዊ።
ፍቺ y = F(x) እኩልነት F"(x) = f(x) ለ \(x \በ X\) የሚይዝ ከሆነ በ interval X ላይ ለሚሰራው ተግባር y = f(x) ፀረ-ድርሻ ይባላል።
በተግባር ፣ የጊዜ ክፍተት X ብዙውን ጊዜ አልተገለጸም ፣ ግን በተዘዋዋሪ ነው (እንደ የተግባሩ ፍቺ ተፈጥሮአዊ ጎራ)።
ምሳሌዎችን እንስጥ።
1) ተግባሩ y = x 2 ለተግባሩ y = 2x ፀረ ተዋጽኦ ነው ፣ ምክንያቱም ለማንኛውም x እኩልነት (x 2)" = 2x እውነት ነው
2) ተግባሩ y = x 3 ለተግባሩ ፀረ ተዋጽኦ ነው y = 3x 2 ፣ ለማንኛውም x እኩልነት (x 3)" = 3x 2 እውነት ነው ።
3) ተግባሩ y = sin(x) ለተግባሩ ፀረ ተዋጽኦ ነው y = cos(x) ለማንኛውም x እኩልነት (ኃጢአት(x))" = cos(x) እውነት ነውና።
ፀረ-ተውሳኮችን, እንዲሁም ተዋጽኦዎችን ሲያገኙ, ቀመሮች ብቻ ሳይሆን አንዳንድ ደንቦችም ጥቅም ላይ ይውላሉ. ተዋጽኦዎችን ለማስላት ከተዛማጅ ደንቦች ጋር በቀጥታ የተያያዙ ናቸው.
የአንድ ድምር ተዋጽኦ ከውጤቶቹ ድምር ጋር እኩል እንደሆነ እናውቃለን። ይህ ደንብ ፀረ-ተውሳኮችን ለማግኘት ተጓዳኝ ህግን ያመነጫል.
ደንብ 1.የአንድ ድምር ፀረ-ተውጣጣይ ከፀረ-ተውሳኮች ድምር ጋር እኩል ነው።
ቋሚው ምክንያት ከመነጩ ምልክት ሊወጣ እንደሚችል እናውቃለን። ይህ ደንብ ፀረ-ተውሳኮችን ለማግኘት ተጓዳኝ ህግን ያመነጫል.
ደንብ 2. F(x) ለf(x) ፀረ-ድርሻ ከሆነ፣ kF(x) ለ kf(x) ፀረ-ድርሻ ነው።
ቲዎሪ 1. y = F (x) ለተግባሩ y = f (x) ፀረ-ተህዋስያን ከሆነ የተግባር y = f(kx + m) ፀረ-ተግባር \(y=\frac(1)(k)F ተግባር ነው። (kx+m) \)
ቲዎሪ 2. y = F(x) ለ ተግባር y = f(x) በጊዜ ክፍተት X ላይ ፀረ ተውሳክ ከሆነ፣ y = f(x) ተግባር እጅግ ብዙ ፀረ ተውሳኮች አሉት፣ እና ሁሉም y = F(x) ቅጽ አላቸው። + ሲ.
የመዋሃድ ዘዴዎች
ተለዋዋጭ የመተኪያ ዘዴ (የመተካት ዘዴ)
በመተካት የመዋሃድ ዘዴ አዲስ የውህደት ተለዋዋጭ (ማለትም ምትክ) ማስተዋወቅን ያካትታል. በዚህ ሁኔታ, የተሰጠው ውህድ ወደ አዲስ ውህደት ይቀንሳል, እሱም በሠንጠረዥ ወይም በእሱ ላይ ሊቀንስ ይችላል. የተለመዱ ዘዴዎችየመተካት ምርጫ የለም. መተካት በትክክል የመወሰን ችሎታ የሚገኘው በተግባር ነው።
ዋናውን \(\textstyle \int F(x)dx \) ማስላት አስፈላጊ ይሁን። \(\varphi(t) \) ቀጣይነት ያለው አመጣጥ ያለው ተግባር የሆነበትን ምትክ \(x= \varphi(t) \) እናድርገው።
ከዚያ \(dx = \varphi "(t) \cdot dt \) እና የውህደት ፎርሙላ ላልተወሰነ ውህደት ንብረት ላይ በመመስረት የውህደት ቀመሩን በመተካት እናገኛለን።
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi" (t) dt \)
የቅጹ አገላለጾች ውህደት (\textstyle \int \ sin^n x \cos^m x dx \)
m ጎዶሎ ከሆነ፣ m > 0፣ እንግዲያውስ ተተኪውን ኃጢአት x = t ለማድረግ የበለጠ አመቺ ነው።
n ጎዶሎ ከሆነ፣ n> 0፣ ተተኪውን cos x = t ለማድረግ የበለጠ አመቺ ነው።
n እና m እኩል ከሆኑ, ምትክ tg x = t ለማድረግ የበለጠ አመቺ ነው.
በክፍሎች ውህደት
በክፍሎች ውህደት - የሚከተለውን ለመዋሃድ ቀመር መተግበር:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ወይም፡-
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
የአንዳንድ ተግባራት ላልተወሰነ ውህዶች (አንቲዲሪቫቲቭ) ሰንጠረዥ
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$$$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$$$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$$$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$$$ \int \frac(dx)(\ sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$$$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$$$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$$$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +ሲ $$ተዋጽኦው ብዙ ጥቅም እንዳለው አይተናል፡ ተዋጽኦው የእንቅስቃሴ ፍጥነት ነው (ወይም በአጠቃላይ የማንኛውም ሂደት ፍጥነት)። ዲሪቭቲቭ የታንጀንት ተዳፋት ወደ ተግባሩ ግራፍ; ተዋጽኦውን በመጠቀም ለአንድ ነጠላነት እና ለአክራሪነት ተግባር መመርመር ይችላሉ ። ተዋጽኦው የማመቻቸት ችግሮችን ለመፍታት ይረዳል።
ግን ውስጥ እውነተኛ ህይወትየተገላቢጦሽ ችግሮችም መፈታት አለባቸው፡ ለምሳሌ በሚታወቅ የእንቅስቃሴ ህግ መሰረት ፍጥነቱን ከማግኘት ችግር ጋር ተያይዞ የእንቅስቃሴ ህግን በሚታወቅ ፍጥነት የመመለስ ችግርም አለ። ከእነዚህ ችግሮች መካከል አንዱን እንመልከት።
ምሳሌ 1.የቁሳቁስ ነጥብ ቀጥታ መስመር ላይ ይንቀሳቀሳል, ፍጥነቱ በጊዜ t በቀመር u = tg ይሰጣል. የእንቅስቃሴ ህግን ያግኙ.
መፍትሄ። s = s (t) የሚፈለገው የእንቅስቃሴ ህግ ይሁን። s"(t) = u"(t) መሆኑ ይታወቃል። ይህ ማለት ችግሩን ለመፍታት መምረጥ ያስፈልግዎታል ተግባር s = s (t)፣ ውፅኢቱ ከ tg ጋር እኩል ነው። ያንን ለመገመት አስቸጋሪ አይደለም
ምሳሌው በትክክል እንደተፈታ, ግን ያልተሟላ መሆኑን ወዲያውኑ እናስተውል. እንደ እውነቱ ከሆነ ችግሩ እጅግ በጣም ብዙ መፍትሄዎች እንዳሉት አገኘን-የቅጹ ማንኛውም ተግባር 
የዘፈቀደ ቋሚ የእንቅስቃሴ ህግ ሆኖ ሊያገለግል ስለሚችል
ተግባሩን የበለጠ ግልጽ ለማድረግ የመነሻውን ሁኔታ ማስተካከል ያስፈልገናል፡ በተወሰነ ጊዜ ውስጥ የሚንቀሳቀስ ነጥብ ማስተባበርን ለምሳሌ በ t=0 ያመልክቱ። s(0) = s 0 እንበል፣ ከእኩልነት s(0) = 0+C፣ ማለትም S 0 = C እናገኛለን። አሁን የእንቅስቃሴ ህግ በልዩ ሁኔታ ይገለጻል።
በሂሳብ ውስጥ, እርስ በርስ የተገላቢጦሽ ስራዎች የተለያዩ ስሞች ተሰጥተዋል እና ልዩ ማስታወሻዎች ተፈለሰፉ: ለምሳሌ, ስኩዌር (x 2) እና የሲን ስኩዌር ሥር መውሰድ (sinх) እና አርክሲን(arcsin x) ወዘተ. ከተጠቀሰው ተግባር ጋር ተያያዥነት ያለው የማግኘት ሂደት ልዩነት ይባላል, እና የተገላቢጦሽ አሠራር, ማለትም. ከተሰጠ ተወላጅ አንድ ተግባር የማግኘት ሂደት - ውህደት.
“ተወላጅ” የሚለው ቃል ራሱ “በዕለት ተዕለት ሕይወት ውስጥ” ሊጸድቅ ይችላል፡ ተግባሩ y - f(x) “ይወልዳል” አዲስ ተግባር y= f”(x) ተግባር y = f(x) ይሠራል “ወላጅ” ፣ ግን የሂሳብ ሊቃውንት ፣ በተፈጥሮ ፣ “ወላጅ” ወይም “አምራች” ብለው አይጠሩትም ፣ ይህ ከ y = f (x) ተግባር ጋር በተያያዘ ፣ ዋናው ምስል ነው ይላሉ ፣ ወይም ፣ ውስጥ አጭር, ፀረ-ተውጣጣው.
ፍቺ 1.ተግባር y = F (x) ለ ተግባር y = f (x) በአንድ የተወሰነ የጊዜ ክፍተት X ላይ ሁሉ x ከ X እኩልነት F"(x) = f (x) የሚይዝ ከሆነ አንቲደርቫቲቭ ይባላል።
በተግባር ፣ የጊዜ ክፍተት X ብዙውን ጊዜ አልተገለጸም ፣ ግን በተዘዋዋሪ ነው (እንደ የተግባሩ ፍቺ ተፈጥሮአዊ ጎራ)።
አንዳንድ ምሳሌዎች እነሆ፡-
1) y = x 2 ተግባር y = 2x ፀረ ተዋጽኦ ነው፣ ምክንያቱም ለሁሉም x እኩልነት (x 2)" = 2x እውነት ነው።
2) ተግባር y - x 3 ለተግባሩ y-3x 2 ፀረ ተዋጽኦ ነው፣ ምክንያቱም ለሁሉም x እኩልነት (x 3)" = 3x 2 እውነት ነው።
3) y-sinх ተግባር y = cosx ፀረ ተዋጽኦ ነው፣ ምክንያቱም ለሁሉም x እኩልነት (sinx)" = cosx እውነት ነው።
4) በሁሉም x > 0 እኩልነት እውነት ስለሆነ ተግባሩ በየተወሰነ ጊዜ ውስጥ ላለ ተግባር ፀረ-ተመጣጣኝ ነው።
በአጠቃላይ, ተዋጽኦዎችን ለማግኘት ቀመሮችን ማወቅ, ፀረ-ተውሳኮችን ለማግኘት የቀመሮችን ሰንጠረዥ ማዘጋጀት አስቸጋሪ አይደለም.
ይህ ሰንጠረዥ እንዴት እንደተቀናበረ እንደሚረዱት ተስፋ እናደርጋለን-በሁለተኛው ዓምድ ውስጥ የተፃፈው የተግባር አመጣጥ, በመጀመሪያው ረድፍ ላይ ባለው ተጓዳኝ ረድፍ ውስጥ ከተፃፈው ተግባር ጋር እኩል ነው (ይመልከቱት ፣ ሰነፍ አትሁኑ ፣ በጣም ጠቃሚ ነው). ለምሳሌ, ለ ተግባር y = x 5 ፀረ-ተውጣጣው, እርስዎ እንደሚመሰርቱት, ተግባሩ ነው (የሠንጠረዡን አራተኛውን ረድፍ ይመልከቱ).
ማስታወሻዎች፡- 1. ከዚህ በታች y = F (x) ለተግባሩ ፀረ ተዋጽኦ ከሆነ y = f (x) ተግባር y = f (x) እጅግ በጣም ብዙ ፀረ-ተውሳኮች ያሉት ሲሆን ሁሉም y = ቅጽ አላቸው የሚለውን እናረጋግጣለን ። F(x) + C. ስለዚህ፣ ሐ የዘፈቀደ እውነተኛ ቁጥር በሆነበት በሰንጠረዡ ሁለተኛ ዓምድ ውስጥ በየቦታው C የሚለውን ቃል ማከል የበለጠ ትክክል ነው።
2. ለአጭር ጊዜ አንዳንድ ጊዜ "ተግባሩ y = F (x) የተግባር y = f (x) ፀረ-ተመጣጣኝ ነው" ከሚለው ሐረግ ይልቅ F (x) የf (x) ፀረ-ተውጣጣ ነው ይላሉ. ” በማለት ተናግሯል።
2. ፀረ-ተውሳኮችን ለማግኘት ደንቦች
ፀረ-ተውሳኮችን በሚያገኙበት ጊዜ, እንዲሁም ተዋጽኦዎችን በሚያገኙበት ጊዜ, ቀመሮች ብቻ አይደሉም ጥቅም ላይ የሚውሉት (በገጽ 196 ላይ በሰንጠረዡ ውስጥ ተዘርዝረዋል), ግን አንዳንድ ደንቦችም ጭምር. ተዋጽኦዎችን ለማስላት ከተዛማጅ ደንቦች ጋር በቀጥታ የተያያዙ ናቸው.
የአንድ ድምር ተዋጽኦ ከውጤቶቹ ድምር ጋር እኩል እንደሆነ እናውቃለን። ይህ ደንብ ፀረ-ተውሳኮችን ለማግኘት ተጓዳኝ ህግን ያመነጫል.
ደንብ 1.የአንድ ድምር ፀረ-ተውጣጣይ ከፀረ-ተውሳኮች ድምር ጋር እኩል ነው።
የዚህን አጻጻፍ በጥቂቱ ወደ "ብርሃን" ትኩረት እንሰጣለን. በመሠረቱ፣ አንድ ሰው ቲዎሪውን መቅረጽ ይኖርበታል፡ ተግባራቶቹ y = f(x) እና y = g(x) በ interval X ላይ ፀረ ተዋጽኦዎች ካሉት፣ በቅደም y-F(x) እና y-G(x)፣ ከዚያም የተግባሮቹ ድምር y = f(x)+g(x) በክፍተቱ X ላይ ፀረ ተዋፅኦ አለው፣ እና ይህ ፀረ-ተውጣጣይ ተግባር y = F(x)+G(x) ነው። ግን ብዙውን ጊዜ, ደንቦችን ሲቀርጹ (ቲዎሬሞች አይደሉም), ቁልፍ ቃላት ብቻ ይቀራሉ - ይህ በተግባር ህጎቹን ለመተግበር የበለጠ አመቺ ነው.
ምሳሌ 2.ለተግባሩ y = 2x + cos x ፀረ ተዋጽኦን ያግኙ።
መፍትሄ።ለ 2x ፀረ ተዋጽኦው x ነው"፤ ለኮክስ ፀረ ተዋጽኦው ኃጢአት x ነው። ይህ ማለት y = 2x + cos x ተግባር y = x 2 + sin x (እና በአጠቃላይ ማንኛውም የቅጹ ተግባር) ይሆናል። Y = x 1 + six + C)።
ቋሚው ምክንያት ከመነጩ ምልክት ሊወጣ እንደሚችል እናውቃለን። ይህ ደንብ ፀረ-ተውሳኮችን ለማግኘት ተጓዳኝ ህግን ያመነጫል.
ደንብ 2.ቋሚው መንስኤ ከፀረ-ተውጣጣው ምልክት ሊወጣ ይችላል.
ምሳሌ 3.
መፍትሄ።ሀ) ለኃጢአት x ፀረ-ተውጣጣ -ሶዝ x; ይህ ማለት ለተግባሩ y = 5 sin x የፀረ-ተውጣጣ ተግባር y = -5 cos x ተግባር ይሆናል።
ለ) ለኮስ x ፀረ-ተውጣጣው ኃጢአት x ነው; ይህ ማለት የአንድ ተግባር ፀረ-ተውጣጣ ተግባር ነው
ሐ) የ x 3 አንቲደርቭቲቭ ለ x ፣ ፀረ-ተግባሩ y = 1 ተግባር y = x ነው። ፀረ-ተህዋስያንን ለማግኘት የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን ህግን በመጠቀም፣ የተግባር y = 12x 3 + 8x-1 ፀረ-ተውጣጣ ተግባር ሆኖ እናገኘዋለን።
አስተያየት።እንደሚታወቀው የምርት ተዋጽኦው ከተዋዋጮች ምርት ጋር እኩል አይደለም (ምርቱን የመለየት ደንቡ የበለጠ የተወሳሰበ ነው) ስለዚህ የምርቱን ፀረ-ተውሳሽ ወይም የሁለት ተግባራት ንፅፅርን ለማግኘት ምንም ህጎች የሉም። ጠንቀቅ በል!
ፀረ-ተውሳኮችን ለማግኘት ሌላ ህግን እናገኝ። የተግባር y = f(kx+m) አመጣጥ በቀመሩ እንደሚሰላ እናውቃለን
ይህ ደንብ ፀረ-ተውሳኮችን ለማግኘት ተጓዳኝ ህግን ያመነጫል.
ደንብ 3. y = F(x) ለተግባሩ y = f(x) ፀረ ተዋፅኦ ከሆነ y=f(kx+m) የተግባር ፀረ-ድርሻ ነው
እንደውም
ይህ ማለት ለተግባሩ y = f(kx+m) ፀረ-ተውሳሽ ነው።
የሦስተኛው ደንብ ትርጉም እንደሚከተለው ነው. የተግባር y = f(x) ፀረ-ተግባር y = F(x) መሆኑን ካወቁ እና የተግባር y = f(kx+m) ፀረ-ድርሻን ማግኘት ካለቦት ቀጥሎ እንደሚከተለው ይቀጥሉ፡ ውሰድ ተመሳሳይ ተግባር F, ነገር ግን ከክርክሩ x ይልቅ, አገላለጹን kx +m ይተኩ; በተጨማሪም, ከተግባር ምልክት በፊት "የማስተካከያ ሁኔታ" መፃፍን አይርሱ
ምሳሌ 4.ለተሰጡት ተግባራት ፀረ-ተውሳኮችን ያግኙ፡-
መፍትሄ, ሀ) ለኃጢአት x ፀረ-ተውጣጣ -ሶዝ x; ይህ ማለት ለተግባሩ y = sin2x ፀረ-ተውጣጣው ተግባር ይሆናል ማለት ነው።
ለ) ለኮስ x ፀረ-ተውጣጣው ኃጢአት x ነው; ይህ ማለት የአንድ ተግባር ፀረ-ተውጣጣ ተግባር ነው
ሐ) የ x 7 አንቲደርቬቲቭ ማለት ለተግባሩ y = (4-5x) 7 ፀረ-ተውጣጡ ተግባር ይሆናል ማለት ነው።
3. ያልተወሰነ ውህደት
ለአንድ ተግባር y = f(x) ፀረ ተዋጽኦ የማግኘት ችግር ከአንድ በላይ መፍትሄ እንዳለው አስቀድመን ተመልክተናል። ስለዚህ ጉዳይ የበለጠ በዝርዝር እንወያይበት.
ማረጋገጫ። 1. y = F(x) ለ ተግባር y = f(x) በመካከል ክፍተት ላይ ፀረ ተዋጽኦ ይሁን። ይህ ማለት ለሁሉም x ከ X እኩልነት x"(x) = f(x) ይይዛል ማለት ነው። የቅጹ y = F(x)+C የማንኛውም ተግባር መነሻ ያግኙ፡
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x)።
ስለዚህ፣ (F(x)+C) = f(x)። ይህ ማለት y = F(x) + C ለተግባሩ y = f (x) ፀረ-ተመጣጣኝ ነው ማለት ነው።
ስለዚህም y = f(x) ተግባር y=F(x) ፀረ ተውሳክ ካለው ተግባር (f = f(x) እጅግ በጣም ብዙ ፀረ-ተውሳኮች እንዳሉት አረጋግጠናል፣ለምሳሌ ማንኛውም የቅጹ ተግባር y= F(x) +C ፀረ ተዋጽኦ ነው።
2. አሁን የተጠቆመው የተግባር አይነት ሙሉውን የፀረ-ተውሳኮች ስብስብ እንደሚያሟጥጥ እናረጋግጥ.
y=F 1 (x) እና y=F(x) ለተግባር Y = f(x) በጊዜ ልዩነት ሁለት ፀረ ተዋጽኦዎች ይሁኑ። ይህ ማለት ለሁሉም x ከክፍለ ጊዜ X የሚከተሉት ግንኙነቶች ይይዛሉ፡ F^ ( x) = ረ (X); ረ"(x) = f(x)።
y = F 1 (x) -.F(x) የሚለውን ተግባር እናስብ እና ውጤቱን እንፈልግ፡ (F፣ (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
የሚታወቀው በአንድ ክፍተት X ላይ ያለው የተግባር አመጣጥ በተመሳሳይ መልኩ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ፣ ተግባሩ በክፍለ ጊዜው X ላይ ቋሚ እንደሆነ ይታወቃል (ቲዎረም 3 ከአንቀጽ 35 ይመልከቱ)። ይህ ማለት F 1 (x) - F (x) = C, i.e. Fx) = F(x)+C.
ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.
ምሳሌ 5.በጊዜ ሂደት የፍጥነት ለውጥ ህግ ተሰጥቷል፡- v = -5sin2t. የእንቅስቃሴ ህግን ያግኙ s = s (t), በጊዜ t = 0 የነጥቡ መጋጠሚያ ከቁጥር 1.5 (ማለትም s (t) = 1.5) ጋር እኩል እንደሆነ ከታወቀ.
መፍትሄ።ፍጥነት እንደ የጊዜ ተግባር የመጋጠሚያው መነሻ ስለሆነ በመጀመሪያ የፍጥነት ፀረ-ተውሳሽ ማግኘት አለብን, ማለትም. ፀረ-ተግባር v = -5sin2t. ከእንደዚህ አይነት ፀረ-ተውሳኮች አንዱ ተግባር ነው, እና የሁሉም ፀረ-ተውሳኮች ስብስብ ቅጹ አለው.
የቋሚውን C የተወሰነ እሴት ለማግኘት, እንጠቀማለን የመጀመሪያ ሁኔታዎች, በዚህ መሠረት, s (0) = 1.5. እሴቶቹን t=0, S = 1.5 ወደ ቀመር (1) በመተካት:-
የተገኘውን የC እሴት በቀመር (1) በመተካት እኛን የሚፈልገውን የእንቅስቃሴ ህግ እናገኛለን፡-
ፍቺ 2.አንድ ተግባር y = f (x) አንቲደርቫቲቭ y = F (x) በ interval X ላይ ካለው ፣ ከዚያ የሁሉም ፀረ-ተህዋስያን ስብስብ ፣ ማለትም። የቅጹ የተግባር ስብስብ y = F(x) + C የተግባር y = f(x) ያልተወሰነ አካል ተብሎ ይጠራል እና ይገለጻል፡
(አንብብ፡- “ያልተወሰነ ውህደት ef ከ x de x”)።
በሚቀጥለው አንቀጽ ውስጥ የዚህ ስያሜ ድብቅ ትርጉም ምን እንደሆነ እናገኛለን.
በዚህ ክፍል ውስጥ የሚገኙትን ፀረ ተዋጽኦዎች ሠንጠረዥ መሰረት በማድረግ ዋናዎቹ ያልተወሰነ ውህደቶች ሰንጠረዥ እናጠናቅቃለን።
ፀረ ተዋጽኦዎችን ለማግኘት ከላይ በተጠቀሱት ሶስት ህጎች ላይ በመመስረት ተጓዳኝ የውህደት ህጎችን ማዘጋጀት እንችላለን።
ደንብ 1.የተግባሮች ድምር ውህደት ከድምሩ ጋር እኩል ነው።የእነዚህ ተግባራት ዋና ክፍሎች-
ደንብ 2.ቋሚው ሁኔታ ከዋናው ምልክት ሊወጣ ይችላል-
ደንብ 3.ከሆነ
ምሳሌ 6.ያልተወሰነ ውህዶችን ያግኙ፡
መፍትሄሀ) የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን የመዋሃድ ህጎችን በመጠቀም የሚከተሉትን እናገኛለን
አሁን 3ኛውን እና 4ተኛውን የውህደት ቀመሮችን እንጠቀም፡-
በውጤቱም እኛ እናገኛለን:
ለ) ሶስተኛውን የውህደት ህግ እና ቀመር 8 በመጠቀም እናገኛለን፡-
ሐ) የተሰጠውን ውህድ በቀጥታ ለማግኘት፣ ተጓዳኝ ቀመርም ሆነ ተጓዳኝ ደንብ የለንም። በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች, አስቀድሞ ተፈፅሟል የማንነት ለውጦችበዋናው ምልክት ስር የተካተተ አገላለጽ።
እንጠቀምበት ትሪግኖሜትሪክ ቀመርየዲግሪ ቅነሳ;
ከዚያ በቅደም ተከተል እናገኛለን-
አ.ጂ. ሞርዶክቪች አልጀብራ 10ኛ ክፍል
የቀን መቁጠሪያ - ቲማቲክ እቅድ በሂሳብ ፣ ቪዲዮበመስመር ላይ በሂሳብ ፣ በትምህርት ቤት ሂሳብ
Antiderivative ተግባር እና ያልተወሰነ ውህደት
እውነታ 1. ውህደት የልዩነት ተገላቢጦሽ እርምጃ ነው, ማለትም, ከዚህ ተግባር ከሚታወቀው የመነጨው ተግባር ወደነበረበት መመለስ. ተግባሩ በዚህ መንገድ ወደነበረበት ተመልሷል ኤፍ(x) ይባላል ፀረ-ተውጣጣለተግባር ረ(x).
ፍቺ 1. ተግባር ኤፍ(x ረ(x) በተወሰነ ጊዜ ውስጥ X, ለሁሉም ዋጋዎች ከሆነ xከዚህ የጊዜ ክፍተት እኩልነት ይይዛል ኤፍ "(x)=ረ(x), ማለትም ይህ ተግባር ረ(x) የመነጨ ነው። ፀረ-ተውጣጣ ተግባር ኤፍ(x). .
ለምሳሌ, ተግባሩ ኤፍ(x) = ኃጢአት x የተግባሩ ፀረ-ተውጣጣ ነው ረ(x) = ኮ x ለማንኛውም የ x እሴት ስለሆነ በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ (ኃጢአት x)" = (ኮስ x) .
ፍቺ 2. አይደለም የተወሰነ ውህደትተግባራት ረ(x) የሁሉም ፀረ ተዋጽኦዎች ስብስብ ነው።. በዚህ ሁኔታ, ማስታወሻው ጥቅም ላይ ይውላል
∫
ረ(x)dx
,ምልክቱ የት ነው ∫ ዋናው ምልክት, ተግባሩ ይባላል ረ(x) - የተቀናጀ ተግባር, እና ረ(x)dx - የተዋሃደ አገላለጽ.
ስለዚህ, ከሆነ ኤፍ(x) - አንዳንድ ፀረ-ተውሳኮች ለ ረ(x) ፣ ያ
∫
ረ(x)dx = ኤፍ(x) +ሲ
የት ሲ - የዘፈቀደ ቋሚ (ቋሚ).
የአንድ ተግባር ፀረ ተዋጽኦዎች ስብስብ ትርጉም እንደ ላልተወሰነ ውህደት ለመረዳት የሚከተለው ተመሳሳይነት ተገቢ ነው። በር ይኑር (ባህላዊ የእንጨት በር). ተግባሩ “በር መሆን” ነው። በሩ ከምን የተሠራ ነው? ከእንጨት የተሰራ. ይህ ማለት የተግባሩ ውህደት የፀረ-ተህዋሲያን ስብስብ “በር መሆን” ፣ ማለትም ፣ ያልተወሰነ አካል ፣ “ዛፍ + C መሆን” ተግባር ነው ፣ ሐ ቋሚ ነው ፣ በዚህ አውድ ውስጥ ለምሳሌ የዛፉን ዓይነት ያመልክቱ። አንዳንድ መሣሪያዎችን በመጠቀም በር ከእንጨት እንደሚሠራ ሁሉ የአንድ ተግባር ተዋፅኦ “የተሠራው” ከፀረ-ተውሂድ ተግባር ነው ። ተዋጽኦውን ስናጠና የተማርናቸው ቀመሮች .
ከዚያ የጋራ ዕቃዎች እና ተጓዳኝ ፀረ ተዋጽኦዎች (“በር መሆን” - “ዛፍ መሆን” ፣ “ማንኪያ መሆን” - “ብረት መሆን” ወዘተ) የሥራ ሠንጠረዥ ከመሠረታዊ ሠንጠረዥ ጋር ተመሳሳይ ነው ። ያልተወሰነ ውህዶች, ከዚህ በታች ይሰጣሉ. ያልተገደበ ውህደቶች ሠንጠረዥ የተለመዱ ተግባራትን ይዘረዝራል, እነዚህ ተግባራት "የተሰሩ" ፀረ-ተውሳኮችን ያመለክታሉ. ያልተወሰነ ውህደትን በማግኘት ላይ ካሉት ችግሮች በከፊል ብዙ ጥረት ሳያደርጉ በቀጥታ ሊዋሃዱ የሚችሉ ውህደቶች ተሰጥተዋል ፣ ማለትም ፣ ያልተወሰነ ውህደቶችን ሰንጠረዥ በመጠቀም። በጣም ውስብስብ በሆኑ ችግሮች ውስጥ, የጠረጴዛ ውህዶች ጥቅም ላይ እንዲውሉ, ውህደቱ መጀመሪያ መለወጥ አለበት.
እውነታ 2. አንድን ተግባር እንደ ፀረ-ተውጣጣ ወደነበረበት ስንመለስ የዘፈቀደ ቋሚ (ቋሚ) ግምት ውስጥ ማስገባት አለብን. ሲ, እና ከተለያዩ ቋሚዎች ከ 1 እስከ መጨረሻ የሌለው የፀረ-ተውሳኮችን ዝርዝር ላለመጻፍ, የዘፈቀደ ቋሚ የሆነ ፀረ-ተውሳኮችን ስብስብ መፃፍ ያስፈልግዎታል. ሲለምሳሌ እንደዚህ፡- 5 x³+ ሲ ስለዚህ, የዘፈቀደ ቋሚ (ቋሚ) በፀረ-ተውጣጣው አገላለጽ ውስጥ ተካትቷል, ምክንያቱም ፀረ-ተውጣጣው ተግባር ሊሆን ስለሚችል, ለምሳሌ, 5. x³+4 ወይም 5 x³+3 እና ሲለዩ 4 ወይም 3፣ ወይም ሌላ ማንኛውም ቋሚ ወደ ዜሮ ይሄዳል።
የውህደት ችግርን እናስቀምጠው: ለዚህ ተግባር ረ(x) እንደዚህ አይነት ተግባር ያግኙ ኤፍ(x), የማን ተዋጽኦዎችጋር እኩል ነው። ረ(x).
ምሳሌ 1.የአንድ ተግባር ፀረ ተዋጽኦዎች ስብስብ ያግኙ
መፍትሄ። ለዚህ ተግባር, ፀረ-ተውጣጣው ተግባር ነው
ተግባር ኤፍ(x) ለሥራው ፀረ-ተውሳሽ ተብሎ ይጠራል ረ(x), ተዋጽኦው ከሆነ ኤፍ(x) እኩል ነው። ረ(x), ወይም, ተመሳሳይ ነገር ነው, ልዩነት ኤፍ(x) እኩል ነው። ረ(x) dx፣ ማለትም እ.ኤ.አ.
(2)
ስለዚህ, ተግባሩ የተግባር ፀረ-ተውጣጣ ነው. ይሁን እንጂ ብቸኛው ፀረ-ተውጣጣ አይደለም. እንደ ተግባራትም ያገለግላሉ
የት ጋር- የዘፈቀደ ቋሚ. ይህ በልዩነት ሊረጋገጥ ይችላል.
ስለዚህ ፣ ለአንድ ተግባር አንድ ፀረ-ተህዋስያን ካለ ፣ ለእሱ በቋሚ ቃል የሚለያዩ ማለቂያ የለሽ ቁጥር ያላቸው ፀረ-ተውሳኮች አሉ። ለአንድ ተግባር ሁሉም ፀረ ተዋጽኦዎች ከላይ ባለው ቅጽ ተጽፈዋል። ይህ ከሚከተለው ቲዎሪ ይከተላል.
ቲዎረም (የእውነታው መደበኛ መግለጫ 2).ከሆነ ኤፍ(x) - ለተግባሩ ፀረ-ተውጣጣ ረ(x) በተወሰነ ጊዜ ውስጥ X, ከዚያ ሌላ ማንኛውም ፀረ-ተውጣጣ ለ ረ(x) በተመሳሳይ ክፍተት በቅጹ ውስጥ ሊወከል ይችላል ኤፍ(x) + ሲ፣ የት ጋር- የዘፈቀደ ቋሚ.
በሚቀጥለው ምሳሌ, ከማይታወቅ የመዋሃድ ባህሪያት በኋላ, በአንቀጽ 3 ላይ ወደሚቀርበው የመገጣጠሚያዎች ሰንጠረዥ እንሸጋገራለን. ከላይ ያለው ይዘት ግልጽ እንዲሆን ሙሉውን ጠረጴዛ ከማንበብ በፊት ይህን እናደርጋለን. እና ከጠረጴዛው እና ከንብረቶቹ በኋላ, በመዋሃድ ጊዜ ሙሉ ለሙሉ እንጠቀማቸዋለን.
ምሳሌ 2.የፀረ-ተውጣጣ ተግባራትን ስብስቦችን ያግኙ:
መፍትሄ። እነዚህ ተግባራት "የተሰሩ" የፀረ-ተግባር ስብስቦችን እናገኛለን. ከተዋሃዱ ጠረጴዛዎች ውስጥ ቀመሮችን ሲጠቅሱ, አሁን እንደዚህ አይነት ቀመሮች መኖራቸውን ይቀበሉ, እና ላልተወሰነ የመዋሃድ ሰንጠረዥ እራሱን ትንሽ ወደፊት እናጠናለን.
1) ቀመሩን (7) ከመዋሃድ ሠንጠረዥ ውስጥ ማመልከት n= 3, እናገኛለን
2) ቀመር (10) ከመዋሃድ ሰንጠረዥ ለ n= 1/3, አለን
3) ጀምሮ
ከዚያም በቀመር (7) ከ ጋር n= -1/4 እናገኛለን
በዋና ምልክት ስር የተጻፈው ተግባሩ ራሱ አይደለም ረ, እና ምርቱ በልዩ ልዩነት dx. ይህ በዋነኝነት የሚደረገው በየትኛው ተለዋዋጭ ፀረ-ተውጣጣው እንደሚፈለግ ለማመልከት ነው. ለምሳሌ፡-
,
;
እዚህ በሁለቱም ሁኔታዎች ውህደቱ እኩል ነው, ግን በውስጡ ያልተወሰነ ውህዶችበሚታዩ ጉዳዮች ላይ የተለያዩ ናቸው ። በመጀመሪያው ሁኔታ, ይህ ተግባር እንደ ተለዋዋጭ ተግባር ይቆጠራል x, እና በሁለተኛው - እንደ ተግባር ዝ .
ያልተገደበ የተግባር ዋና አካል የማግኘት ሂደት ያንን ተግባር ማዋሃድ ይባላል።
ያልተወሰነ ውህደት ጂኦሜትሪክ ትርጉም
ኩርባ መፈለግ አለብን እንበል y=F(x)እና በእያንዳንዱ ነጥብ ላይ ያለው የታንጀንት አንግል ታንጀንት የተሰጠው ተግባር መሆኑን አስቀድመን አውቀናል ረ(x)የዚህ ነጥብ abscissa.
በመነጩ ጂኦሜትሪ ፍቺ መሰረት፣ የታንጀንት የማዕዘን ዝንባሌ ታንጀንት በተወሰነ የጥምዝ ነጥብ ላይ። y=F(x)ከመነጩ ዋጋ ጋር እኩል ነው። ረ"(x). ስለዚህ እንዲህ አይነት ተግባር ማግኘት አለብን ረ(x), ለዚህም ረ"(x)=f(x). ተግባር ውስጥ አስፈላጊ ተግባር ረ(x)ፀረ ተዋጽኦ ነው። ረ(x). የችግሩ ሁኔታዎች የሚረኩት በአንድ ኩርባ አይደለም, ነገር ግን በኩርባ ቤተሰብ. y=F(x)- ከእንደዚህ አይነት ኩርባዎች ውስጥ አንዱ እና ሌላ ማንኛውም ኩርባ በዘንጉ በኩል በትይዩ መተርጎም ከእሱ ሊገኝ ይችላል። ወይ.
የፀረ-ተውጣጣ ተግባርን ግራፍ እንጠራዋለን ረ(x)የተዋሃደ ኩርባ. ከሆነ ረ"(x)=f(x), ከዚያም የተግባሩ ግራፍ y=F(x)አንድ ጥምዝ አለ.
እውነታ 3. ያልተወሰነው ውህደት በጂኦሜትሪ መልኩ በሁሉም የመገጣጠሚያ ኩርባዎች ቤተሰብ ይወከላል , ከታች በስዕሉ ላይ እንደሚታየው. የእያንዳንዱ ኩርባ ርቀት ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ የሚወሰነው በዘፈቀደ ውህደት ቋሚ ነው። ሲ.
ያልተወሰነ ውህደት ባህሪያት
እውነታ 4. ቲዎሬም 1. ያልተወሰነ ውህድ ውህደት ከተዋሃዱ ጋር እኩል ነው, እና ልዩነቱ ከተዋሃደ ጋር እኩል ነው.
እውነታ 5. ቲዎረም 2. የአንድ ተግባር ልዩነት ያልተወሰነ ውህደት ረ(x) ከተግባሩ ጋር እኩል ነው ረ(x) እስከ ቋሚ ቃል ድረስ ፣ ማለትም እ.ኤ.አ.
(3)
ንድፈ ሐሳቦች 1 እና 2 እንደሚያሳዩት ልዩነት እና ውህደት እርስ በርስ የተገላቢጦሽ ስራዎች ናቸው.
እውነታ 6. ቲዎሪም 3. በተዋሃዱ ውስጥ ያለው ቋሚ ምክንያት ከማይታወቅ ውህደት ምልክት ሊወጣ ይችላል. ፣ ማለትም እ.ኤ.አ.
ፀረ-ተውጣጣ.
ፀረ-ተውጣጣው በምሳሌ ለመረዳት ቀላል ነው.
ተግባሩን እንውሰድ y = x 3. ከቀደምት ክፍሎች እንደምናውቀው, የመነጩ X 3 ነው 3 X 2:
(X 3)" = 3X 2 .
ስለዚህ, ከተግባሩ y = x 3 አዲስ ተግባር እናገኛለን በ = 3X 2 .
በምሳሌያዊ አነጋገር, ተግባሩ በ = X 3 የተመረተ ተግባር በ = 3X 2 እና የእሱ "ወላጅ" ነው. በሂሳብ ውስጥ “ወላጅ” የሚል ቃል የለም ፣ ግን ተዛማጅ ጽንሰ-ሀሳብ አለ-አንቲደርቭቲቭ።
ማለትም፡ ተግባር y = x 3 የተግባሩ ፀረ-ተውጣጣ ነው በ = 3X 2 .
የፀረ-ተውሳክ ፍቺ;
በእኛ ምሳሌ (እ.ኤ.አ.) X 3)" = 3X 2 ስለዚህ y = x 3 - ፀረ-ተውጣጣ ለ በ = 3X 2 .
ውህደት
እንደምታውቁት, የአንድን ተግባር አመጣጥ የማግኘት ሂደት ልዩነት ይባላል. እና የተገላቢጦሽ ክዋኔው ውህደት ይባላል.
ምሳሌ - ማብራሪያ:
በ = 3X 2+ ኃጢአት x.
መፍትሄ፡
ለ 3 ፀረ-ተውሳኮች እናውቃለን X 2 ነው X 3 .
ለኃጢያት ፀረ-ተውጣጣ xነው -ኮስ x.
ሁለት ፀረ-ተውሳኮችን እንጨምራለን እና ለተሰጠው ተግባር ፀረ ተዋጽኦውን እናገኛለን፡-
y = x 3+ (–ኮስ x),
y = x 3 - ኮ x.
መልስ፡-
ለተግባር በ = 3X 2+ ኃጢአት x y = x 3 - ኮ x.
ምሳሌ - ማብራሪያ:
ለተግባሩ ፀረ ተዋጽኦን እንፈልግ በ= 2 ኃጢአት x.
መፍትሄ፡
እናስተውላለን k = 2. የኃጢአት ፀረ ተዋጽኦ xነው -ኮስ x.
ስለዚህ, ለተግባሩ በ= 2 ኃጢአት xፀረ-ተውጣጣው ተግባር ነው በ= -2ኮስ x.
Coefficient 2 በተግባሩ y = 2 ኃጢአት xይህ ተግባር ከተሰራበት የፀረ-ተውሳሽ መጠን ጋር ይዛመዳል.
ምሳሌ - ማብራሪያ:
ለተግባሩ ፀረ ተዋጽኦን እንፈልግ y= ኃጢአት 2 x.
መፍትሄ፡
ያንን እናስተውላለን ክ= 2. ለኃጢያት ፀረ-ተውጣጣ xነው -ኮስ x.
የተግባሩን ፀረ-ተውጣጣ ለማግኘት የእኛን ቀመር እንተገብራለን y= ኮስ 2 x:
1
y= - · (–cos 2 x),
2
cos 2 x
y = – ----
2
cos 2 x
መልስ፡ ለአንድ ተግባር y= ኃጢአት 2 xፀረ-ተውጣጣው ተግባር ነው y = – ----
2
(4)
ምሳሌ - ማብራሪያ.
ተግባሩን ከቀዳሚው ምሳሌ እንውሰድ፡- y= ኃጢአት 2 x.
ለዚህ ተግባር ሁሉም ፀረ ተዋጽኦዎች ቅፅ አላቸው፡
cos 2 x
y = – ---- + ሲ.
2
ማብራሪያ.
የመጀመሪያውን መስመር እንይ. እንደሚከተለው ይነበባል፡ ተግባሩ y = f( ከሆነ) x) 0 ነው፣ ከዚያም ፀረ ተዋጽኦው 1. ለምን? ምክንያቱም የአንድነት መነሻው ዜሮ ነው፡ 1" = 0።
የተቀሩት መስመሮች በተመሳሳይ ቅደም ተከተል ይነበባሉ.
ከጠረጴዛ ላይ ውሂብ እንዴት እንደሚፃፍ? መስመር ስምንትን እንውሰድ፡-
(-ኮስ x)" = ኃጢአት x
ሁለተኛውን ክፍል በመነሻ ምልክት እንጽፋለን, ከዚያም በእኩል ምልክት እና በመነጩ.
እናነባለን፡- ለኃጢያት ተግባር ፀረ-ተውሳሽ xየ -cos ተግባር ነው x.
ወይም፡ ተግባር -cos xለኃጢያት ተግባር ፀረ-ተውጣጣ ነው x.
ተግባር ረ(x ) ተብሎ ይጠራል ፀረ-ተውጣጣ ለተግባር ረ(x) በተሰጠው ክፍተት, ለሁሉም ከሆነ x ከዚህ የጊዜ ክፍተት እኩልነት ይይዛል
ረ"(x ) = ረ(x ) .
ለምሳሌ, ተግባሩ ረ(x) = x 2 ረ(x ) = 2X , ምክንያቱም
ረ"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x)። ◄
የፀረ-ተውጣጣው ዋና ንብረት
ከሆነ ረ(x) - የአንድ ተግባር ፀረ-ተውጣጣ ረ(x) በተሰጠው ክፍተት, ከዚያም ተግባሩ ረ(x) እጅግ በጣም ብዙ ፀረ-ተውሳኮች አሉት ፣ እና እነዚህ ሁሉ ፀረ-ተውሳኮች በቅጹ ሊፃፉ ይችላሉ። ረ(x) + ሲ፣ የት ጋር የዘፈቀደ ቋሚ ነው.
ለምሳሌ. ተግባር ረ(x) = x 2 + 1 የተግባሩ ፀረ-ተውጣጣ ነው ረ(x ) = 2X , ምክንያቱም ረ"(x) = (x 2+ 1 )" = 2 x = f(x); ተግባር ረ(x) = x 2 - 1 የተግባሩ ፀረ-ተውጣጣ ነው ረ(x ) = 2X , ምክንያቱም ረ"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; ተግባር ረ(x) = x 2 - 3 የተግባሩ ፀረ-ተውጣጣ ነው ረ(x) = 2X , ምክንያቱም ረ"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); ማንኛውም ተግባር ረ(x) = x 2 + ጋር ፣ የት ጋር - የዘፈቀደ ቋሚ, እና እንዲህ ዓይነቱ ተግባር ብቻ የተግባር ፀረ-ተውጣጣ ነው ረ(x) = 2X . ◄ |
ፀረ-ተውሳኮችን ለማስላት ደንቦች
- ከሆነ ረ(x) - ፀረ-ተውጣጣ ለ ረ(x) , ኤ ጂ(x) - ፀረ-ተውጣጣ ለ ሰ (x) ፣ ያ ረ(x) +ጂ(x) - ፀረ-ተውጣጣ ለ ረ(x) + g(x) . በሌላ አነጋገር። የድምሩ ፀረ-ተውጣጣው ከፀረ-ተውሳኮች ድምር ጋር እኩል ነው .
- ከሆነ ረ(x) - ፀረ-ተውጣጣ ለ ረ(x) , እና ክ - ቋሚ, ከዚያ ክ · ረ(x) - ፀረ-ተውጣጣ ለ ክ · ረ(x) . በሌላ አነጋገር። ቋሚው መንስኤ ከመነሻው ምልክት ሊወጣ ይችላል .
- ከሆነ ረ(x) - ፀረ-ተውጣጣ ለ ረ(x) , እና ክ,ለ- ቋሚ, እና k ≠ 0 ፣ ያ 1 / ክ ረ(ክ x+ለ ) - ፀረ-ተውጣጣ ለ ረ(ክ x+ ለ) .
ያልተወሰነ ውህደት
ያልተወሰነ ውህደት ከተግባር ረ(x) አገላለጽ ይባላል ረ(x) + ሲ፣ ማለትም ፣ የአንድ የተወሰነ ተግባር የሁሉንም ፀረ-ተውሳኮች ስብስብ ረ(x) . ያልተወሰነ ውህደት በሚከተለው ይገለጻል
∫ f(x) dx = F(x) + ሲ ,
ረ(x)- እነሱ ይደውሉ የተቀናጀ ተግባር ;
f (x) dx- እነሱ ይደውሉ ውህደት ;
x - እነሱ ይደውሉ ውህደት ተለዋዋጭ ;
ረ(x) - ከጥንታዊ ተግባራት ውስጥ አንዱ ረ(x) ;
ጋር የዘፈቀደ ቋሚ ነው.
ለምሳሌ፡- ∫ 2 x dx =X 2 + ጋር , ∫ cosx dx =ኃጢአት X + ጋር ወዘተ. ◄
"መዋሃድ" የሚለው ቃል የመጣው ከላቲን ቃል ነው። ኢንቲጀር , ትርጉሙም "ተመለሰ" ማለት ነው. ያልተወሰነ ውህደትን ከግምት ውስጥ በማስገባት 2 x, ተግባሩን ወደነበረበት ለመመለስ እንመስላለን X 2 , የማን ተዋጽኦ እኩል ነው 2 x. አንድን ተግባር ከመነጩ ወደነበረበት መመለስ፣ ወይም ተመሳሳይ የሆነው፣ በተሰጠው ውህደት ላይ ያልተወሰነ ውህድ ማግኘት ይባላል። ውህደት ይህ ተግባር. ውህደት የልዩነት ተገላቢጦሽ ስራ ነው ውህደቱ በትክክል መፈጸሙን ለማረጋገጥ ውጤቱን ለመለየት እና ውህደቱን ለማግኘት በቂ ነው።
ያልተወሰነ ውህደት መሰረታዊ ባህሪያት
- ላልተወሰነው ውህደት የመነጨው ከተዋሃዱ ጋር እኩል ነው፡-
- የውህደቱ ቋሚ ምክንያት ከዋናው ምልክት ሊወጣ ይችላል፡-
- የተግባሮች ድምር (ልዩነት) ዋና ከእነዚህ ተግባራት ውህዶች ድምር (ልዩነት) ጋር እኩል ነው።
- ከሆነ ክ,ለ- ቋሚ, እና k ≠ 0 ፣ ያ
(∫ f (x) dx )" = ረ(x) .
∫ ክ · f (x) dx = ክ · ∫ f (x) dx .
∫ ( ረ (x) ± g (x ) ) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ ሰ (x ) dx .
∫ ረ ክ x+ ለ) dx = 1 / ክ ረ(ክ x+ለ ) + ሲ .
ፀረ-ተውሳኮች እና ያልተወሰነ ውህዶች ሰንጠረዥ
| ረ(x)
| ረ(x) + ሲ
| ∫
f(x) dx = F(x) + ሲ
|
|
| አይ. | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II. | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| ቪ. | $$\ sin x$$ | $$-\ኮስ x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\ኮስ x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| VIII | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~ x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX. | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X. | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| XI. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| XII. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| XIII. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| XIV. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| XVI. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \መጀመር(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\መጨረሻ(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \መጀመር(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\መጨረሻ(vmatrix)+ ሲ$$ |
| XVII. | $$\textrm(tg) ~ x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII. | $$\textrm(ctg) ~ x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX. | $$ \frac(1)(\ sin x) $$ | $$\ln \መጀመር(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\መጨረሻ(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \ጀማሪ(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\መጨረሻ(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \ጀማሪ(vmatrix)\textrm(tg)\ግራ (\frac(x)(2)+\frac(\pi)(4) \ቀኝ) \መጨረሻ(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \ጀማሪ(vmatrix)\textrm(tg)\ግራ (\frac(x)(2)+\frac(\pi)(4) \ቀኝ ) \መጨረሻ(vmatrix)+C $$ |
| በዚህ ሠንጠረዥ ውስጥ የተሰጡ ፀረ-ተውጣጣ እና ያልተወሰነ ውህዶች ብዙውን ጊዜ ይባላሉ የሠንጠረዥ ፀረ-ተውሳኮች
እና የጠረጴዛ ውህዶች
. |
|||
የተወሰነ ውህደት
መካከል እንግባ [ሀ; ለ] ቀጣይነት ያለው ተግባር ተሰጥቷል y = f(x) , ከዚያም የተወሰነ ውህደት ከ ሀ እስከ ለ ተግባራት ረ(x) የፀረ-ተውጣጣ መጨመር ይባላል ረ(x) ይህ ተግባር, ማለትም
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b)$$
ቁጥሮች ሀእና ለበዚሁ መሰረት ይጠራሉ ዝቅ ያለ እና ከላይ የመዋሃድ ገደቦች.
አንድ የተወሰነ ውህደትን ለማስላት መሰረታዊ ህጎች
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx፣\) የት ክ - ቋሚ;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g (x) dx\);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\)፣ የት ረ(x) - እንኳን ተግባር;
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\)፣ የት ረ(x) እንግዳ ተግባር ነው።
አስተያየት . በሁሉም ሁኔታዎች, ውህደቶቹ በቁጥር ክፍተቶች ላይ የተዋሃዱ ናቸው ተብሎ ይታሰባል, ድንበሮቹ የመዋሃድ ገደቦች ናቸው.
የተወሰነው ውህደት ጂኦሜትሪክ እና አካላዊ ትርጉም
| ጂኦሜትሪክ ትርጉም የተወሰነ ውህደት | አካላዊ ትርጉም
የተወሰነ ውህደት |
 |  |
ካሬ ኤስ curvilinear trapezoid (በጊዜ ክፍተት ላይ ቀጣይነት ባለው አዎንታዊ ግራፍ የተገደበ ምስል [ሀ; ለ] ተግባራት ረ(x) , ዘንግ ኦክስ እና ቀጥታ x=a , x=b ) በቀመርው ይሰላል $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | መንገድ ኤስ, ቁሱ ነጥቡ ያሸነፈው, በህጉ መሰረት በሚለዋወጥ ፍጥነት ወደ rectilinearly ይንቀሳቀሳል ቪ(ቲ)
, ለተወሰነ ጊዜ ሀ ;
ለ], ከዚያም የምስሉ ስፋት በእነዚህ ተግባራት እና ቀጥታ መስመሮች ግራፎች የተገደበ ነው x = ሀ
, x = ለ
, በቀመር ይሰላል $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | ለምሳሌ. የስዕሉን ስፋት እናሰላለን ፣ በመስመሮች የተገደበ y = x 2 እና y= 2-x . የእነዚህን ተግባራት ግራፎች በስዕል እናሳይ እና አካባቢው መገኘት ያለበትን ምስል በተለያየ ቀለም እናሳይ። የውህደት ገደቦችን ለማግኘት፣ እኩልታውን እንፈታዋለን፡- x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2) dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\ግራ (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \ቀኝ )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2)። $$ ◄ |
|
የመዞሪያ አካል መጠን
 | አንድ አካል ስለ ዘንግ በማዞር ምክንያት ከተገኘ ኦክስ የታጠፈ ትራፔዞይድ ፣ በጊዜ መርሐግብር የተገደበበክፍተቱ ላይ ቀጣይ እና አሉታዊ ያልሆነ [ሀ; ለ] ተግባራት y = f(x) እና ቀጥታ x = ሀእና x = ለ , ከዚያም ይባላል የማሽከርከር አካል . የአንድ አብዮት አካል መጠን በቀመሩ ይሰላል $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ ከላይ እና ከታች በተግባሮች ግራፎች የታሰረ ምስል በማሽከርከር የአብዮት አካል ከተገኘ y = f(x) እና y = g (x) , በዚህ መሠረት, ከዚያም $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x)) dx.$$ |
 | ለምሳሌ. የኮን መጠን በራዲየስ እናሰላ አር
እና ቁመት ሸ
. ሾጣጣውን በ ላይ እናስቀምጠው አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ስርዓትየእሱ ዘንግ ዘንግ ጋር እንዲገጣጠም ያስተባብራል። ኦክስ
, እና የመሠረቱ መሃከል በመነሻው ላይ ይገኛል. የጄነሬተር ሽክርክሪት ABሾጣጣን ይገልፃል. ከእኩልታ ጀምሮ AB $$\frac(x)(ሸ)+\frac(y)(r)=1፣$$ $$y=r-\frac(rx)(ሸ)$$ |
| እና ለኮንሱ መጠን እኛ አለን $$V=\pi\int_(0)^(ሸ)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac x)(ሸ))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2ሰ\ግራ (0-\frac(1)(3) \ቀኝ)=\frac(\pi r^2h)(3)።$$ ◄ |
|