የትኛው ፖሊጎን ኮንቬክስ ተብሎ ይጠራል. ኮንቬክስ ፖሊጎኖች

በአንድ አውሮፕላን ላይ የነጥብ ስብስብ።

በአውሮፕላን ውስጥ ወይም በ ውስጥ ብዙ ነጥቦች ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታተብሎ ይጠራል ኮንቬክስየዚህ ስብስብ ሁለት ነጥቦች በሙሉ በዚህ ስብስብ ውስጥ ባለው የመስመር ክፍል ሊገናኙ የሚችሉ ከሆነ።

ቲዎሪ 1. የአንድ ውሱን የኮንቬክስ ስብስቦች መገናኛ (ኮንቬክስ) ስብስብ ነው.

መዘዝ።የአንድ ውሱን የኮንቬክስ ስብስቦች መገናኛ (ኮንቬክስ) ስብስብ ነው.

የማዕዘን ነጥቦች.

የአንድ ኮንቬክስ ስብስብ ድንበር ነጥብ ይባላል ማዕዘን, በእሱ በኩል አንድ ክፍል መሳል ከተቻለ, ሁሉም ነጥቦች በተሰጠው ስብስብ ውስጥ አይደሉም.

የተለያየ ቅርጽ ያላቸው ስብስቦች ውሱን ወይም ማለቂያ የሌላቸው የማዕዘን ነጥቦች ሊኖራቸው ይችላል.

ኮንቬክስ ፖሊጎን.

ፖሊጎንተብሎ ይጠራል ኮንቬክስ, በሁለት የአጎራባች ጫፎች ውስጥ በሚያልፉ በእያንዳንዱ መስመር በአንድ በኩል ቢተኛ.

ቲዎረም፡ የኮንቬክስ n-ጎን ማዕዘኖች ድምር 180˚ *(n-2) ነው።

6) የ m መስመራዊ አለመመጣጠን ስርዓቶችን ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር መፍታት

ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር የመስመራዊ አለመመጣጠን ስርዓት ተሰጥቷል።

የአንዳንድ ወይም ሁሉም እኩል ያልሆኑ ምልክቶች ≥ ሊሆኑ ይችላሉ።

በ X1OX2 መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ የመጀመሪያውን አለመመጣጠን እናስብ። ቀጥ ያለ መስመር እንስራ

የትኛው የድንበር መስመር ነው.

ይህ ቀጥተኛ መስመር አውሮፕላኑን ወደ ሁለት ግማሽ አውሮፕላኖች 1 እና 2 ይከፍላል (ምሥል 19.4).

ግማሽ-አውሮፕላን 1 መነሻውን ይዟል, ግማሽ-አውሮፕላን 2 መነሻውን አልያዘም.

የተወሰነው የግማሽ አውሮፕላን በየትኛው የድንበር መስመር ላይ እንደሚገኝ ለመወሰን በአውሮፕላኑ ላይ የዘፈቀደ ነጥብ መውሰድ ያስፈልግዎታል ( የተሻለ ጅምርመጋጠሚያዎች) እና የዚህን ነጥብ መጋጠሚያዎች ወደ እኩልነት ይተኩ. እኩልነት እውነት ከሆነ, ግማሽ-አውሮፕላኑ ወደዚህ ነጥብ ይመለከታሉ, እውነት ካልሆነ, ከነጥቡ ተቃራኒ በሆነ አቅጣጫ.

የግማሽ አውሮፕላኑ አቅጣጫ በቀስት በስዕሎቹ ላይ ይታያል.

ፍቺ 15. ለእያንዳንዱ የስርአቱ እኩልነት መፍትሄው የድንበሩን መስመር የያዘው ግማሽ አውሮፕላን እና በአንድ በኩል ይገኛል.

ፍቺ 16. የግማሽ አውሮፕላኖች መገናኛ, እያንዳንዳቸው በስርዓቱ ተጓዳኝ እኩልነት የሚወሰኑት, የስርዓቱ የመፍትሄ ጎራ (SO) ይባላል.

ፍቺ 17. አሉታዊ ያልሆኑ ሁኔታዎችን የሚያረካ ስርዓት የመፍትሄው ክልል (xj ≥ 0, j =) አሉታዊ ያልሆኑ ወይም ተቀባይነት ያላቸው መፍትሄዎች (ኤዲኤስ) ተብሎ ይጠራል.

የእኩልነት ስርዓቱ ወጥነት ያለው ከሆነ፣ OR እና ODR ፖሊሄድሮን፣ ያልተገደበ የ polyhedral ክልል ወይም አንድ ነጥብ ሊሆኑ ይችላሉ።

የእኩልነት ስርዓቱ የማይጣጣም ከሆነ OR እና ODR ባዶ ስብስብ ናቸው።

ምሳሌ 1. የእኩልነት ስርዓትን OR እና ODE ን ይፈልጉ እና የኦህዴድን የማዕዘን ነጥቦችን መጋጠሚያዎች ይወስኑ

መፍትሄ። የመጀመሪያውን አለመመጣጠን OR እንፈልግ፡ x1 + 3x2 ≥ 3. የድንበሩን መስመር x1 + 3x2 – 3 = 0 (ምስል 19.5) እንገንባ። የነጥቡን መጋጠሚያዎች (0,0) ወደ አለመመጣጠን እንተካ: 1∙0 + 3∙0> 3; የነጥቡ መጋጠሚያዎች (0,0) ስላላሟሉ, ለእኩልነት (19.1) መፍትሄው ነጥቡን (0,0) የማይይዝ ግማሽ-አውሮፕላን ነው.

በተመሳሳይ ሁኔታ ለቀሪዎቹ የስርዓቱ እኩልነት መፍትሄዎችን እናገኝ። የእኩልነት ስርዓት OR እና ODE convex polyhedron ABCD መሆናቸውን አግኝተናል።

የ polyhedron ጥግ ነጥቦችን እንፈልግ. ነጥብ ሀን የመስመሮች መገናኛ ነጥብ ብለን እንገልፃለን።

ስርዓቱን መፍታት, A (3/7, 6/7) እናገኛለን.

ነጥብ B እንደ የመስመሮች መገናኛ ነጥብ ሆኖ እናገኛለን

ከስርዓቱ ውስጥ B (5/3, 10/3) እናገኛለን. በተመሳሳይ፣ የነጥቦች C እና D፡ C (11/4፣ 9/14)፣ መ (3/10፣ 21/10) መጋጠሚያዎችን እናገኛለን።

ምሳሌ 2. የእኩልነት ስርዓትን OR እና ODE ያግኙ

መፍትሄ። ቀጥታ መስመሮችን እንገንባ እና የእኩልነት መፍትሄዎችን እንወስን (19.5) - (19.7). OR እና ODR ያልተገደቡ የ polyhedral ክልሎች ACFM እና ABDEKM ናቸው (ምስል 19.6)።

ምሳሌ 3. የእኩልነት ስርዓቱን OR እና ODE ያግኙ

መፍትሄ። ለእኩልነት መፍትሄ እንፈልግ (19.8)-(19.10) (ምስል 19.7)። OR ያልተገደበ የ polyhedral ክልል ABCን ይወክላል; ODR - ነጥብ B.

ምሳሌ 4. የእኩልነት ስርዓት OP እና ODP ያግኙ

መፍትሄ። ቀጥታ መስመሮችን በመገንባት ለስርዓቱ እኩልነት መፍትሄዎችን እናገኛለን. OR እና ODR ተኳሃኝ አይደሉም (ምስል 19.8)።

መልመጃዎች

የእኩልነት ስርዓቶችን OR እና ODE ያግኙ

ቲዎረም. xn® a ከሆነ፣ እንግዲህ።

ማረጋገጫ። ከ xn ® a የሚከተለው ነው። በተመሳሳይ ጊዜ:

፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. . ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ቲዎረም. xn ® a ከሆነ፣ ቅደም ተከተል (xn) የታሰረ ነው።

የተገላቢጦሽ መግለጫው እውነት እንዳልሆነ ልብ ሊባል ይገባል, ማለትም. የአንድ ቅደም ተከተል ወሰን መገናኘቱን አያመለክትም.

ለምሳሌ, ቅደም ተከተል ምንም እንኳን ገደብ የለውም

ተግባራትን ወደ ኃይል ተከታታይ ማስፋፋት.

ውስጥ ተግባራትን ማስፋፋት የኃይል ተከታታይአለው ትልቅ ዋጋተግባራትን በማጥናት የተለያዩ ችግሮችን ለመፍታት ፣ ልዩነትን ፣ ውህደትን ፣ ልዩነቶችን እኩልታዎችን መፍታት ፣ ገደቦችን በማስላት ፣ የአንድ ተግባር ግምታዊ እሴቶችን ለማስላት።

ፍቺ 1.የተሰበረ መስመር የመጨረሻ ክፍል ሲሆን ይህም የመጀመሪያው ክፍል አንድ ጫፍ የሁለተኛው ጫፍ ሆኖ የሚያገለግል ሲሆን የሁለተኛው ክፍል ሌላኛው ጫፍ እንደ ሶስተኛው መጨረሻ, ወዘተ.

የተሰበረ መስመር የሚሠሩት ክፍሎች ሊንኮች ይባላሉ። ተጓዳኝ ክፍሎች በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ አይዋሹም. የተሰበረ መስመር ጫፎች ከተገጣጠሙ, ከዚያም ይባላል ዝግ. አንድ ፖሊላይን እርስ በርስ መቆራረጥ, እራሱን መንካት እና በራሱ ላይ ማረፍ ይችላል. የተሰበረ መስመር እንደዚህ አይነት ባህሪያት ከሌለው, ከዚያም ይባላል ቀላል.

ፍቺ 2.ቀላል የተዘጋ የተሰበረ መስመር ከአውሮፕላኑ የታሰረበት ክፍል ጋር አንድ ላይ ፖሊጎን ይባላል።

የተሰበረው መስመር ራሱ የፖሊጎን ወሰን ተብሎ ይጠራል, የተሰበረው መስመር አገናኞች ይባላሉ ፓርቲዎችፖሊጎን, የአገናኞቹ ጫፎች የፖሊጎን ጫፎች ናቸው. ባለብዙ ጎን ሁለት ጎን ለጎን አንድ አንግል ይመሰርታሉ። በፖሊጎን ውስጥ ያሉት ማዕዘኖች ቁጥር ከጎኖቹ ቁጥር ጋር እኩል ነው. እያንዳንዱ ፖሊጎን ከ180° በታች ማዕዘኖች አሉት። የአንድ ፖሊጎን ጎኖች እና ማዕዘኖች ተጠርተዋል ንጥረ ነገሮችባለብዙ ጎን

ከአንድ ፖሊጎን ሁለት ተያያዥ ያልሆኑ ጫፎችን የሚያገናኝ የመስመር ክፍል ሰያፍ ይባላል። ማንኛውም n-gon n-2 ሰያፍ ሊኖረው ይችላል።

ፍቺ 3.ፖሊጎን ይባላል ኮንቬክስ, ጎን ለጎን በያዘው በእያንዳንዱ መስመር አንድ ጎን ላይ ቢተኛ. ይህንን ሁኔታ የማያሟሉ ፖሊጎኖች ያልሆኑ ኮንቬክስ ይባላሉ.

የኮንቬክስ ፖሊጎኖች ባህሪያት.

ንብረት 1.ዩ ኮንቬክስ ፖሊጎንሁሉም ማዕዘኖች ከ 180 ° ያነሱ ናቸው.

ማረጋገጫ፡- የኮንቬክስ ፖሊጎን ፒ ማንኛውንም አንግል እና ጎኑን ከወርድ ሀ የሚመጣውን ውሰድ። ጎን ሀ የያዘ ቀጥተኛ መስመር ይሁን። ፖሊጎን ፒ ኮንቬክስ ስለሆነ በመስመሩ ላይ በአንደኛው በኩል ይተኛል l. ስለዚህ, አንግል A በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ ይገኛል l. ስለዚህ፣ አንግል A ከተዘረጋው ያነሰ ነው፣ ማለትም ÐA< 180°.

ንብረት 2.የኮንቬክስ ፖሊጎን ማናቸውንም ሁለት ነጥቦች የሚያገናኝ የመስመር ክፍል በዚያ ፖሊጎን ውስጥ ይገኛል።

ማረጋገጫ፡- ከኮንቬክስ ፖሊጎን P ማንኛውንም ሁለት ነጥብ M እና N ውሰድ። ፖሊጎን ፒ የበርካታ የግማሽ አውሮፕላኖች መገናኛ ነው። የ MN ክፍል በእያንዳንዱ በእነዚህ ግማሽ አውሮፕላኖች ውስጥ ይገኛል. ስለዚህ, እሱ በፖሊጎን አር ውስጥም ይገኛል.

ንብረት 3.የኮንቬክስ ፖሊጎን ማዕዘኖች ድምር (n - 2)∙180° ነው።

ማረጋገጫ፡ የዘፈቀደ ነጥብ O በኮንቬክስ ፖሊጎን ፒ ውስጥ ይውሰዱ እና ከሁሉም የፖሊጎን ጫፎች ጋር ያገናኙት። n ትሪያንግሎች ተፈጥረዋል, የእያንዳንዳቸው ማዕዘኖች ድምር 180 ° ነው. በ vertex O ላይ ያሉት ማዕዘኖች እስከ 360° = 2∙180° ይጨምራሉ። ስለዚህ የፖሊጎን ማዕዘኖች ድምር n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180° ነው።

ትይዩ ፅንሰ-ሀሳብ። ትይዩዎች ባህሪያት.

ፍቺ 1.ተቃራኒ ጎኖቹ በጥንድ ትይዩ የሆነ ባለአራት ጎን ትይዩ ይባላል።

እያንዳንዱ ትይዩ አራት ጫፎች፣ አራት ጎኖች እና አራት ማዕዘኖች አሉት። የጋራ ጫፎች ያላቸው ሁለት ጎኖች ይባላሉ አጎራባች. እያንዳንዱ ትይዩ ሁለት ዲያግራኖች አሉት - ከትይዩ ተቃራኒ ጫፎች ጋር የሚያገናኙ ክፍሎች። የትይዩ አንግሎች ድምር 360° ነው።

ትይዩዎች ባህሪያት.

ንብረት 1.ትይዩ ተቃራኒ ጎኖች እኩል እና ተቃራኒ ማዕዘኖች በጥንድ እኩል ናቸው።

ማረጋገጫ፡ ዲያግናል ኤሲ እንሳል። AC - አጠቃላይ;

РВАС = РАСD (ውስጣዊ መስቀለኛ መንገድ በ AB II BC እና secant AC ላይ መዋሸት);

РВСА = РСАD (ውስጣዊ መስቀለኛ መንገድ በ AD II BC እና secant AC ላይ ይተኛል);

Þ DABC = DADC (በ 2 ባህሪያት ላይ የተመሰረተ).

AB = ሲዲ; BC = AD; РВ = РD.

RA = РВАС + РСAD; РС = РАСB + РАСD; Ş РА = РС.

ንብረት 2.በትይዩ ሎግራም, ከአንዱ ጎን አጠገብ ያሉ ማዕዘኖች እስከ 180 ° ይጨምራሉ.

ማረጋገጫ፡-

РВ + РА = 180 ° (ውስጣዊ አንድ-ጎን ከBC II AD እና secant AB ጋር).

ÐB + ÐС =180° (ውስጣዊ አንድ-ጎን ከ AB II ሲዲ እና ሴካንት ዓ.ዓ.)።

ÐD + ÐC =180° (ውስጣዊ አንድ-ጎን ከBC II AD እና secant CD)።

ÐA + ÐD =180° (ውስጣዊ አንድ-ጎን ከ AB II ሲዲ እና ሴካንት AD)።

ንብረት 3.የፓራሌሎግራም ዲያግራኖች በመስቀለኛ መንገድ በግማሽ ይከፈላሉ.

ማረጋገጫ፡ በነጥብ O ላይ AC እና BD intersecting diagonals እንሳል።

AB = ሲዲ (በመጀመሪያው ትይዩ መሠረት);

ÐABO = ÐODC (ውስጣዊ መስቀለኛ መንገድ በ AB II CD እና secant BD ላይ መዋሸት)።

РБАО = РОСD (ውስጣዊ መስቀለኛ መንገድ በ AB II ሲዲ እና ሴካንት ኤሲ ላይ ተኝቷል);

Þ DABO = DODC (በ 2 ባህሪያት ላይ የተመሰረተ).

BO = OD; አኦ = ኦ.ሲ.

ትይዩዎች ምልክቶች.

ምልክት 1.የአራት ማዕዘን ሁለት ጎኖች እኩል እና ትይዩ ከሆኑ, አራት ማዕዘን (አራት ማዕዘን) ትይዩ ነው.

የተሰጠው: ABCD - አራት ማዕዘን; ከክርስቶስ ልደት በፊት II ፣

የአንድ ፖሊጎን ውሱንነት መወሰን.

የኪሩስ-ተመለስ ስልተ ቀመር እንደ መስኮት የሚያገለግል ኮንቬክስ ፖሊጎን እንዳለ ይገምታል።

ነገር ግን, በተግባር, ፖሊጎን የመቁረጥ ተግባር ብዙ ጊዜ ይነሳል, እና ኮንቬክስ ስለመሆኑ ወይም ስለሌለው መረጃ መጀመሪያ ላይ አልተሰጠም. በዚህ ሁኔታ, የመቁረጥ ሂደቱን ከመጀመሩ በፊት, የትኛው ፖሊጎን እንደሚሰጥ - ኮንቬክስ ወይም እንዳልሆነ መወሰን ያስፈልጋል.

የአንድ ፖሊጎን ውሱንነት አንዳንድ ፍቺዎችን እንስጥ

ከሚከተሉት ሁኔታዎች ውስጥ አንዱ ከተሟላ ፖሊጎን እንደ ኮንቬክስ ይቆጠራል።

1) በኮንቬክስ ፖሊጎን ውስጥ ፣ ሁሉም ጫፎች ማንኛውንም ጠርዝ በተሸከሙት መስመር በአንድ በኩል ይገኛሉ ። ውስጣዊ ጎንከተሰጠው ጠርዝ አንጻር ሲታይ);

2) ሁሉም የ polygon ውስጣዊ ማዕዘኖች ከ 180 ° ያነሱ ናቸው;

3) የፖሊጎን ጫፎች የሚያገናኙት ሁሉም ዲያግራኖች በዚህ ፖሊጎን ውስጥ ይተኛሉ ።

4) ሁሉም የ polygon ማዕዘኖች ወደ አንድ አቅጣጫ ይጓዛሉ (ምሥል 3.3-1).

የመጨረሻውን የተዛባ መስፈርት የትንታኔ ውክልና ለማዘጋጀት፣ የቬክተር ምርቱን እንጠቀማለን።

የቬክተር ጥበብ ስራ ወ ሁለት ቬክተሮች ሀ እና ለ (ምስል 3.3-2 ሀ) እንደ፡-

A x፣a y፣a z እና b x፣by፣b z በቅደም ተከተል የፋክተር ቬክተር ዘንጎች X፣Y፣Z ላይ ያሉ ትንበያዎች ናቸው። ሀእና ለ,

- እኔ, ጄ, ክ- በመጋጠሚያው ዘንጎች X ፣ Y ፣ Z ላይ ያሉ ክፍሎች።

ሩዝ.3.3 ‑ 1

ሩዝ.3.3 ‑ 2

የአንድ ባለ ብዙ ጎን ባለ ሁለት ገጽታ ውክልና እንደ ውክልና ከወሰድን። አውሮፕላን አስተባባሪ XY ባለሶስት-ልኬት መጋጠሚያ ስርዓት X,Y,Z (ምስል 3.3-2 ለ) ከዚያም የቬክተሮች የቬክተር ምርትን የመፍጠር መግለጫ ዩእና ቪ, የት ቬክተሮች ዩእና ቪየፖሊጎን ጥግ የሚሠሩ አጎራባች ጠርዞች ናቸው፣ እንደ ወሳኙ ሊጻፍ ይችላል፡

የመስቀለኛ ምርቱ ቬክተር ፋክተር ቬክተሮች በሚገኙበት አውሮፕላን ላይ ቀጥ ያለ ነው. የምርት ቬክተር አቅጣጫ የሚወሰነው በጂምሌት ደንብ ወይም በቀኝ-እጅ ጠመዝማዛ ደንብ ነው.

በስእል ውስጥ ለቀረበው ጉዳይ. 3.3-2 ለ), ቬክተር ወ, ከቬክተሮች የቬክተር ምርት ጋር የሚዛመድ ቪ, ዩ, ከ Z አስተባባሪ ዘንግ አቅጣጫ አቅጣጫ ጋር ተመሳሳይ አቅጣጫ ይኖረዋል.

በዚህ ጉዳይ ላይ የፋክተር ቬክተሮች ትንበያ ከዜሮ ጋር እኩል መሆኑን ከግምት ውስጥ በማስገባት የቬክተር ምርቱ እንደሚከተለው ሊወከል ይችላል-

(3.3-1)

ክፍል ቬክተር ክሁልጊዜ አዎንታዊ, ስለዚህ የቬክተር ምልክት ወየቬክተር ምርት የሚወሰነው ከላይ በተጠቀሰው አገላለጽ ውስጥ ባለው ወሳኙ D ምልክት ብቻ ነው። በቬክተር ምርት ንብረት ላይ ተመስርተው የፋክተር ቬክተሮችን ሲቀይሩ ልብ ይበሉ ዩእና ቪየቬክተር ምልክት ወወደ ተቃራኒው ይለወጣል.

እንደ ቬክተር ከሆነ ይከተላል ቪእና ዩከአንድ ባለ ብዙ ጎን ጎን ሁለት ጠርዞችን አስቡ ፣ ከዚያ በቬክተር ምርቱ ውስጥ ያሉትን ቬክተሮች የመዘርዘር ቅደም ተከተል ከግምት ውስጥ ባለው የፖሊጎን ጥግ መሻገሪያ ወይም ይህንን አንግል በሚፈጥሩት ጠርዞች መሠረት ሊቀመጥ ይችላል። ይህ የፖሊጎን ውሱንነት ለመወሰን የሚከተለውን ህግ እንደ መስፈርት እንዲጠቀሙ ይፈቅድልዎታል፡

ለሁሉም የፖሊጎን ጥንድ ጫፎች የሚከተለው ሁኔታ ረክቷል

ለግል ማዕዘኖች የቬክተር ምርቶች ምልክቶች የማይጣጣሙ ከሆነ, ፖሊጎን ኮንቬክስ አይደለም.

የአንድ ፖሊጎን ጠርዞች በመጨረሻ ነጥቦቻቸው መጋጠሚያዎች መልክ ስለተገለጹ የቬክተር ምርቱን ምልክት ለመወሰን መወሰኛን መጠቀም የበለጠ አመቺ ነው.

በዚህ ትምህርት አዲስ ርዕስ እንጀምራለን እና ለእኛ አዲስ ጽንሰ-ሀሳብ እናስተዋውቃለን: "ፖሊጎን". ከፖሊጎኖች ጋር የተያያዙትን መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦችን እንመለከታለን: ጎኖች, የቬርቴክስ ማዕዘኖች, ሾጣጣ እና አለመጣጣም. ከዚያም እናረጋግጣለን በጣም አስፈላጊ እውነታዎችእንደ ድምር ቲዎሪ ውስጣዊ ማዕዘኖችፖሊጎን, ድምር ቲዎረም ውጫዊ ማዕዘኖችባለብዙ ጎን በውጤቱም, የ polygons ልዩ ጉዳዮችን ለማጥናት እንቀርባለን, ይህም ተጨማሪ ትምህርቶችን ይመለከታል.

ርዕስ፡ አራት ማዕዘን

ትምህርት: ፖሊጎኖች

በጂኦሜትሪ ኮርስ ውስጥ የጂኦሜትሪክ ምስሎችን ባህሪያት እናጠናለን እና ቀደም ሲል በጣም ቀላሉን መርምረናል-ትሪያንግል እና ክበቦች. በተመሳሳይ ጊዜ ስለእነዚህ አሃዞች እንደ ቀኝ, ኢሶሴልስ እና መደበኛ ትሪያንግሎች ያሉ ልዩ ልዩ ጉዳዮችን ተወያይተናል. ስለ አጠቃላይ እና ውስብስብ አሃዞች ለመነጋገር ጊዜው አሁን ነው - ፖሊጎኖች.

ከልዩ ጉዳይ ጋር ፖሊጎኖችእኛ ቀድሞውኑ እናውቃለን - ይህ ሶስት ማዕዘን ነው (ምስል 1 ይመልከቱ)።

ሩዝ. 1. ትሪያንግል

ስሙ ራሱ ቀድሞውኑ አፅንዖት ይሰጣል, ይህ ሶስት ማዕዘኖች ያሉት ምስል ነው. ስለዚህ ፣ በ ባለብዙ ጎንብዙዎቹ ሊኖሩ ይችላሉ, ማለትም. ከሶስት በላይ. ለምሳሌ, ፔንታጎን እንሳል (ምሥል 2 ይመልከቱ), ማለትም. አምስት ማዕዘኖች ያሉት ምስል.

ሩዝ. 2. ፔንታጎን. ኮንቬክስ ፖሊጎን

ፍቺፖሊጎን- በርካታ ነጥቦችን (ከሁለት በላይ) እና በቅደም ተከተል የሚያገናኙ ተጓዳኝ ክፍሎችን የያዘ ምስል። እነዚህ ነጥቦች ይባላሉ ጫፎችፖሊጎን, እና ክፍሎቹ ናቸው ፓርቲዎች. በዚህ ሁኔታ, ሁለት ተጓዳኝ ጎኖች በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ አይተኛም እና ሁለት ተያያዥ ያልሆኑ ጎኖች አይገናኙም.

ፍቺመደበኛ ፖሊጎንሁሉም ጎኖች እና ማዕዘኖች እኩል የሆኑበት ሾጣጣ ፖሊጎን ነው።

ማንኛውም ባለብዙ ጎንአውሮፕላኑን በሁለት ክፍሎች ይከፍላል: ውስጣዊ እና ውጫዊ. የውስጣዊው አካባቢም እንዲሁ ይባላል ባለብዙ ጎን.

በሌላ አነጋገር፣ ለምሳሌ፣ ስለ ፔንታጎን ሲናገሩ፣ ሁለቱንም የውስጥ ክልሉን እና ድንበሩን ማለታቸው ነው። እና ውስጣዊው ክልል በፖሊጎን ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ነጥቦች ያካትታል, ማለትም. ነጥቡም የፔንታጎንን ያመለክታል (ምሥል 2 ይመልከቱ).

ፖሊጎኖች አንዳንድ ጊዜ n-gons ተብለው ይጠራሉ ይህም አጠቃላይ አንዳንድ የማይታወቁ የማዕዘን ብዛት (n ቁርጥራጮች) መኖራቸውን ለማጉላት ነው።

ፍቺ ፖሊጎን ፔሪሜትር- የፖሊጎን ጎኖች ርዝመት ድምር።

አሁን ከ polygons ዓይነቶች ጋር መተዋወቅ አለብን። እነሱ የተከፋፈሉ ናቸው ኮንቬክስእና ግልጽ ያልሆነ. ለምሳሌ, በምስል ላይ የሚታየው ፖሊጎን. 2 convex ነው፣ እና በስእል። 3 ያልተወሳሰበ።

ሩዝ. 3. ኮንቬክስ ያልሆነ ፖሊጎን

ፍቺ 1. ፖሊጎንተብሎ ይጠራል ኮንቬክስ, በየትኛውም ጎኖቹ በኩል ቀጥ ያለ መስመር ሲሳል, ሙሉውን ባለብዙ ጎንበዚህ ቀጥተኛ መስመር ላይ በአንድ በኩል ብቻ ይተኛል. ግልጽ ያልሆነሁሉም ሌሎች ናቸው ፖሊጎኖች.

በስእል ውስጥ የትኛውንም የፔንታጎን ጎን ሲዘረጋ መገመት ቀላል ነው. 2 ሁሉም በዚህ ቀጥተኛ መስመር በአንድ በኩል ይሆናል, ማለትም. ኮንቬክስ ነው። ነገር ግን በአራት ማዕዘን በኩል ቀጥ ያለ መስመር ሲሳል በስእል. 3 ቀድሞውንም በሁለት ክፍሎች እንደሚከፍለው አይተናል፣ ማለትም. ኮንቬክስ አይደለም.

ነገር ግን የፖሊጎን መወዛወዝ ሌላ ትርጉም አለ.

ፍቺ 2. ፖሊጎንተብሎ ይጠራል ኮንቬክስ, ማናቸውንም ሁለት የውስጥ ነጥቦቹን ሲመርጡ እና ከክፍል ጋር ሲያገናኙ, ሁሉም የክፍሉ ነጥቦች የፖሊጎን ውስጣዊ ነጥቦች ናቸው.

የዚህን ፍቺ አጠቃቀም ማሳያ በምስል ውስጥ ክፍሎችን በመገንባት ምሳሌ ላይ ማየት ይቻላል. 2 እና 3.

ፍቺ ሰያፍየፖሊጎን ሁለት ተያያዥ ያልሆኑ ጫፎችን የሚያገናኝ ማንኛውም ክፍል ነው።

የ polygonsን ባህሪያት ለመግለጽ ስለ ማዕዘኖቻቸው ሁለት በጣም አስፈላጊ ንድፈ ሐሳቦች አሉ፡ በኮንቬክስ ፖሊጎን ውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር ላይ ቲዎረምእና በኮንቬክስ ፖሊጎን ውጫዊ ማዕዘኖች ድምር ላይ ቲዎረም. እስቲ እንያቸው።

ቲዎረም. በኮንቬክስ ፖሊጎን የውስጥ ማዕዘኖች ድምር ላይ (n-ጎን)።

የእሱ ማዕዘኖች (ጎኖች) ቁጥር የት አለ?

ማረጋገጫ 1. በስእል ውስጥ እናሳይ. 4 convex n-gon.

ሩዝ. 4. ኮንቬክስ n-ጎን

ከጫፍ ጫፍ ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ዲያግራኖችን እናስባለን. n-gonን ወደ ትሪያንግል ይከፋፍሏቸዋል, ምክንያቱም እያንዳንዱ የፖሊጎን ጎኖች ከጫፉ አጠገብ ካሉት ጎኖች በስተቀር ትሪያንግል ይመሰርታሉ። የእነዚህ ሁሉ ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር ከ n-gon ውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር ጋር በትክክል እኩል እንደሚሆን ከሥዕሉ ላይ ማየት ቀላል ነው። የማንኛውም ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር ስለሆነ የ n-gon ውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር የሚከተለው ነው፡-

ጥ.ኢ.ዲ.

ማረጋገጫ 2. የዚህ ጽንሰ-ሐሳብ ሌላ ማረጋገጫ ይቻላል. በስእል ውስጥ ተመሳሳይ n-gon እንሳል. 5 እና ማንኛውንም የውስጥ ነጥቦቹን ከሁሉም ጫፎች ጋር ያገናኙ።

ሩዝ. 5.

የ n-gon ክፍልፍል ወደ n ትሪያንግል አግኝተናል (ትሪያንግሎች እንዳሉ ያህል ብዙ ጎኖች)። የሁሉም ማዕዘኖቻቸው ድምር ከፖሊጎን ውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር እና በውስጠኛው ነጥብ ላይ ካለው ማዕዘኖች ድምር ጋር እኩል ነው ፣ እና ይህ አንግል ነው። አለን።

ጥ.ኢ.ዲ.

የተረጋገጠ።

በተረጋገጠው ቲዎሪ መሠረት የ n-gon ማዕዘኖች ድምር በጎኖቹ ቁጥር (በ n) ላይ እንደሚወሰን ግልጽ ነው. ለምሳሌ, በሶስት ማዕዘን ውስጥ, እና የማዕዘኖቹ ድምር ነው. በአራት ማዕዘን, እና የማዕዘን ድምር, ወዘተ.

ቲዎረም. በኮንቬክስ ፖሊጎን ውጫዊ ማዕዘኖች ድምር ላይ (n-ጎን)።

የማዕዘኖቹ (ጎኖቹ) ቁጥር የት አለ፣ እና፣ …፣ ውጫዊ ማዕዘኖች ናቸው።

ማረጋገጫ። በስእል ውስጥ ኮንቬክስ n-ጎን እናሳይ። 6 እና ውስጣዊ እና ውጫዊ ማዕዘኖቹን ይሰይሙ.

ሩዝ. 6. ኮንቬክስ n-ጎን ከተሰየሙ ውጫዊ ማዕዘኖች ጋር

ምክንያቱም የውጪው ጥግ ከውስጣዊው ጋር ተያይዟል እንደ አጎራባች, ከዚያም እና በተመሳሳይ መልኩ ለቀሪዎቹ ውጫዊ ማዕዘኖች. ከዚያም፡-

በለውጦቹ ወቅት፣ ስለ n-gon ውስጣዊ ማዕዘናት ድምር ቀድሞ የተረጋገጠውን ቲዎሬም ተጠቀምን።

የተረጋገጠ።

ከተረጋገጠው ቲዎሪ ውስጥ ይከተላል አስደሳች እውነታ, የኮንቬክስ n-ጎን ውጫዊ ማዕዘኖች ድምር እኩል ነው በእሱ ማዕዘኖች (ጎኖች) ቁጥር ላይ. በነገራችን ላይ ከውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር በተቃራኒ.

ዋቢዎች

አሌክሳንድሮቭ ኤ.ዲ. እና ሌሎች ጂኦሜትሪ, 8 ኛ ክፍል. - ኤም.: ትምህርት, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. ጂኦሜትሪ ፣ 8 ኛ ክፍል። - ኤም.: ትምህርት, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. ጂኦሜትሪ ፣ 8 ኛ ክፍል። - ኤም.: ቬንታና-ግራፍ, 2009.

Profmeter.com.ua ()
Narod.ru ()
Xvatit.com ()

የቤት ስራ

ፖሊጎን ጽንሰ-ሀሳብ

ፍቺ 1

ፖሊጎንተብሎ ይጠራል የጂኦሜትሪክ ምስልበጥንድ የተገናኙ ክፍሎችን ባካተተ አውሮፕላን ውስጥ፣ አጠገቡ ያሉት በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ አይዋሹም።

በዚህ ሁኔታ, ክፍሎቹ ተጠርተዋል የፖሊጎን ጎኖችእና መጨረሻቸው - የባለብዙ ጎን ጫፎች.

ፍቺ 2

$n$-ጎን $n$ ጫፎች ያለው ባለ ብዙ ጎን ነው።

የ polygons ዓይነቶች

ፍቺ 3

ፖሊጎን ሁል ጊዜ በጎኖቹ ውስጥ በሚያልፉበት በማንኛውም መስመር ላይ በተመሳሳይ ጎን የሚተኛ ከሆነ ፖሊጎን ይባላል ኮንቬክስ(ምስል 1).

ምስል 1. ኮንቬክስ ፖሊጎን

ፍቺ 4

አንድ ፖሊጎን በጎኖቹ ውስጥ በሚያልፉበት ቢያንስ አንድ ቀጥተኛ መስመር በተቃራኒ ጎኖች ላይ ቢተኛ ፣ ፖሊጎን ያልሆነ ኮንቬክስ (ምስል 2) ይባላል።

ምስል 2. ኮንቬክስ ያልሆነ ፖሊጎን

የአንድ ፖሊጎን ማዕዘኖች ድምር

በሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር ላይ ቲዎሪ እናስተዋውቅ።

ቲዎሪ 1

የአንድ ኮንቬክስ ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር እንደሚከተለው ይወሰናል

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ማረጋገጫ።

ኮንቬክስ ፖሊጎን $A_1A_2A_3A_4A_5\ነጥቦች A_n$ ይሰጠን። የሱን ጫፍ $A_1$ ከሁሉም የዚህ ፖሊጎን ጫፎች ጋር እናገናኘው (ምሥል 3)።

ምስል 3.

በዚህ ግንኙነት $n-2$ ትሪያንግሎች እናገኛለን። ማዕዘኖቻቸውን በማጠቃለል የአንድ-ጎን ማዕዘኖች ድምር እናገኛለን። የሶስት ማዕዘኑ ድምር ከ$(180)^0 ጋር እኩል ስለሆነ፣የኮንቬክስ -ጎን ማዕዘኖች ድምር በቀመር እንደሚወሰን እናገኛለን።

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.