የእግር እና hypotenuse የፓይታጎሪያን ቲዎሪ. የቀኝ ሶስት ማዕዘን

ስለ ስኩዌር ስሮች እና ኢ-ምክንያታዊ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት እንደሚችሉ መማር ሲጀምሩ (ከሥሩ ምልክት ስር የማይታወቅ እኩልነት) የመጀመሪያ ጣዕምዎ ሳይሰማዎት አልቀረም። ተግባራዊ አጠቃቀም. የማውጣት ችሎታ ካሬ ሥርከቁጥሮች በተጨማሪ የፓይታጎሪያን ቲዎሪ በመጠቀም ችግሮችን ለመፍታት አስፈላጊ ነው. ይህ ቲዎሬም ከማንኛውም የቀኝ ትሪያንግል ጎኖች ርዝመት ጋር ይዛመዳል።

የቀኝ ትሪያንግል እግሮች ርዝመቶች (ሁለቱ በቀኝ ማዕዘኖች የሚገናኙት) በፊደሎች እና በሃይፖቴኑዝ ርዝመት (በተቃራኒው ትሪያንግል ረጅሙ ጎን) ይገለጻል ። ቀኝ ማዕዘን) በደብዳቤው ይገለጻል። ከዚያ ተጓዳኝ ርዝመቶች በሚከተለው ግንኙነት ይዛመዳሉ:

ይህ እኩልታ የሌሎች ሁለት ጎኖቹ ርዝመት በሚታወቅበት ጊዜ የቀኝ ትሪያንግል ጎን ርዝመትን እንዲያገኙ ያስችልዎታል። በተጨማሪም, የሶስቱም ጎኖች ርዝመት አስቀድሞ የሚታወቅ ከሆነ በጥያቄ ውስጥ ያለው ትሪያንግል ትክክለኛ ትሪያንግል መሆኑን ለመወሰን ያስችልዎታል.

የፓይታጎሪያን ቲዎሪ በመጠቀም ችግሮችን መፍታት

ቁሳቁሱን ለማጠናከር, የፓይታጎሪያን ቲዎሪ በመጠቀም የሚከተሉትን ችግሮች እንፈታለን.

ስለዚህ, የተሰጠው:

1. የአንዱ እግሮች ርዝመት 48 ነው ፣ hypotenuse 80 ነው።
2. የእግሩ ርዝመት 84 ነው, hypotenuse 91 ነው.

ወደ መፍትሄው እንሂድ፡-

ሀ) መረጃውን ከላይ በተጠቀሰው ቀመር መተካት የሚከተሉትን ውጤቶች ይሰጣል።

48 2 + ለ 2 = 80 2

2304 + ለ 2 = 6400

ለ 2 = 4096

ለ= 64 ወይም ለ = -64

የሶስት ማዕዘን ጎን ርዝመት ሊገለጽ ስለማይችል አሉታዊ ቁጥር, ሁለተኛው አማራጭ በራስ-ሰር ይጣላል.

ለመጀመሪያው ምስል መልስ: ለ = 64.

ለ) የሁለተኛው ትሪያንግል እግር ርዝመት በተመሳሳይ መንገድ ይገኛል-

84 2 + ለ 2 = 91 2

7056 + ለ 2 = 8281

ለ 2 = 1225

ለ= 35 ወይም ለ = -35

ልክ እንደ ቀድሞው ሁኔታ, አሉታዊ ውሳኔ ይጣላል.

ለሁለተኛው ምስል መልስ: ለ = 35

ተሰጥቶናል፡-

1. የሶስት ማዕዘን ትናንሽ ጎኖች ርዝመቶች 45 እና 55 ናቸው, እና ትላልቅ ጎኖች 75 ናቸው.
2. የሶስት ማዕዘን ትናንሽ ጎኖች ርዝመቶች 28 እና 45 ናቸው, እና ትላልቅ ጎኖች 53 ናቸው.

ችግሩን እንፍታው፡-

ሀ) የአንድ ትሪያንግል አጫጭር ጎኖች ርዝመቶች ድምር ከትልቁ ርዝመት ካሬ ጋር እኩል መሆኑን ማረጋገጥ ያስፈልጋል።

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

ስለዚህ, የመጀመሪያው ሶስት ማዕዘን ትክክለኛ ሶስት ማዕዘን አይደለም.

ለ) ተመሳሳይ ክዋኔ ይከናወናል-

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

ስለዚህ, ሁለተኛው ሶስት ማዕዘን ትክክለኛ ትሪያንግል ነው.

በመጀመሪያ ፣ ከመጋጠሚያዎች (-2 ፣ -3) እና (5 ፣ -2) ጋር በነጥቦች የተሰራውን ትልቁን ክፍል ርዝመት እናገኝ። ይህንን ለማድረግ, በ ውስጥ ነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት ለማግኘት በጣም የታወቀውን ቀመር እንጠቀማለን አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ስርዓትመጋጠሚያዎች፡-

በተመሳሳይ፣ የክፍሉ ርዝመት በመጋጠሚያዎች (-2፣ -3) እና (2፣ 1) መካከል በነጥቦች መካከል ተዘግቶ እናገኘዋለን።

በመጨረሻም፣ የክፍሉን ርዝመት ከመጋጠሚያዎች (2፣ 1) እና (5፣ -2) ጋር እንወስናለን።

እኩልነት ስለሚኖረው፡-

ከዚያ ተጓዳኝ ሶስት ማዕዘን ወደ ቀኝ-አንግል ነው.

ስለዚህ, ለችግሩ መልስ ማዘጋጀት እንችላለን-የአጭሩ ርዝመት ያለው የጎን ካሬዎች ድምር ከረጅም ርዝመት ጋር ከጎኑ ካሬ ጋር እኩል ስለሆነ ነጥቦቹ የቀኝ ትሪያንግል ጫፎች ናቸው።

መሰረቱ (በአግድም በጥብቅ የሚገኝ)፣ ጃምብ (በአቀባዊ ቀጥ ያለ ቦታ ላይ የሚገኝ) እና ገመዱ (በተዘረጋ በሰያፍ የተዘረጋ) በቅደም ተከተል የቀኝ ትሪያንግል ይመሰርታሉ፣ የኬብሉን ርዝመት ለማግኘት የፓይታጎሪያን ቲዎረም ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል።

ስለዚህ የኬብሉ ርዝመት በግምት 3.6 ሜትር ይሆናል.

የተሰጠው፡ ከ R እስከ ነጥብ ፒ ያለው ርቀት (የሶስት ማዕዘኑ እግር) 24 ነው፣ ከ R ነጥብ እስከ Q (hypotenuse) 26 ነው።

ስለዚህ, ችግሩን ለመፍታት Vita እንረዳው. በሥዕሉ ላይ የሚታየው የሶስት ማዕዘን ጎኖች ትክክለኛ ትሪያንግል ይመሰርታሉ ተብሎ ስለሚታሰብ የሶስተኛውን ጎን ርዝመት ለማግኘት የፓይታጎሪያን ቲዎሬምን መጠቀም ይችላሉ-

ስለዚህ, የኩሬው ስፋት 10 ሜትር ነው.

ሰርጌይ ቫለሪቪች

የፓይታጎረስ ንድፈ ሐሳብን ለማረጋገጥ የተለያዩ መንገዶች

የ 9 ኛ "A" ክፍል ተማሪ

የማዘጋጃ ቤት ትምህርት ተቋም ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ቁጥር 8

ሳይንሳዊ ተቆጣጣሪ;

የሂሳብ መምህር ፣

የማዘጋጃ ቤት ትምህርት ተቋም ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ቁጥር 8

ስነ ጥበብ. Novorozhdestvenskaya

ክራስኖዶር ክልል.

ስነ ጥበብ. Novorozhdestvenskaya

ማብራሪያ።

የፓይታጎሪያን ቲዎሬም በጂኦሜትሪ ሂደት ውስጥ በጣም አስፈላጊ እንደሆነ ተደርጎ ይቆጠራል እናም ከፍተኛ ትኩረት ሊሰጠው ይገባል. ለወደፊቱ የንድፈ ሃሳባዊ እና ተግባራዊ የጂኦሜትሪ ኮርሶችን ለማጥናት መሰረት የሆነው ብዙ የጂኦሜትሪክ ችግሮችን ለመፍታት መሰረት ነው. ንድፈ ሃሳቡ ከመልክ እና ከማስረጃ ዘዴዎች ጋር በተያያዙ በርካታ ታሪካዊ ነገሮች የተከበበ ነው። የጂኦሜትሪ እድገት ታሪክን ማጥናት ለዚህ ርዕሰ ጉዳይ ፍቅርን ያዳብራል ፣ የግንዛቤ ፍላጎትን ፣ አጠቃላይ ባህልን እና የፈጠራ ችሎታን ያዳብራል እንዲሁም ችሎታዎችን ያዳብራል ። የምርምር ሥራ.

በፍለጋ እንቅስቃሴው ምክንያት የሥራው ግብ ተሳክቷል, ይህም በፓይታጎሪያን ቲዎሬም ማረጋገጫ ላይ እውቀትን መሙላት እና ማጠቃለል ነው. ለማግኘት እና ለመገምገም ችሏል። የተለያዩ መንገዶችማስረጃዎችን እና በርዕሱ ላይ ጥልቅ እውቀትን, ከትምህርት ቤቱ የመማሪያ መጽሀፍ ገፆች በላይ በመሄድ.

የተሰበሰበው ቁሳቁስ የፓይታጎሪያን ቲዎረም ትልቅ የጂኦሜትሪ ቲዎሬም እንደሆነ እና እጅግ በጣም ብዙ ቲዎሬቲካል እና ተግባራዊ ጠቀሜታ እንዳለው ያሳምነናል።

መግቢያ። ታሪካዊ ዳራ 5 ዋና ክፍል 8

3. መደምደሚያ 19

4. ጥቅም ላይ የዋሉ ጽሑፎች 20
1. መግቢያ. ታሪካዊ ዳራ።

የእውነት ዋናው ነገር ለእኛ ለዘላለም ነው

በእሷ ግንዛቤ ውስጥ ቢያንስ አንድ ጊዜ ብርሃኑን ስናይ፣

እና የፓይታጎሪያን ቲዎሪ ከብዙ አመታት በኋላ

ለእኛ, ለእሱ, የማይካድ, እንከን የለሽ ነው.

ፓይታጎረስ ለመደሰት ለአማልክት ስእለት ገባ፡-

ማለቂያ የሌለው ጥበብን ለመንካት ፣

ለዘለአለም ምስጋና ይግባውና መቶ ወይፈኖችን አረደ;

ከተጎጂው በኋላ ጸሎቶችን እና ምስጋናዎችን አቀረበ.

ከዚያን ጊዜ ጀምሮ በሬዎቹ ሲያሸቱት ይገፋሉ።

ዱካው ሰዎችን እንደገና ወደ አዲስ እውነት እንዲመራ ፣

እነሱ በንዴት ያገሳሉ፣ ስለዚህ ማዳመጥ ምንም ጥቅም የለውም፣

እንደነዚህ ያሉት ፓይታጎራስ ሽብርን ለዘላለም እንዲዘራባቸው አድርጓል።

ወይፈኖች፣ አዲሱን እውነት ለመቃወም አቅም የሌላቸው፣

ምን ይቀራል? - አይኖችዎን መዝጋት ፣ ማገሳ ፣ መንቀጥቀጥ ብቻ።

ፓይታጎረስ ንድፈ ሃሳቡን እንዴት እንዳረጋገጠ አይታወቅም። እርግጠኛ የሆነው በግብፅ ሳይንስ ጠንካራ ተጽእኖ ማግኘቱ ነው። ልዩ ጉዳይየፓይታጎረስ ቲዎረም - የሶስት ማዕዘን ባህሪያት ከ 3, 4 እና 5 ጋር - ፒራሚዶችን ለገነቡት ፒታጎራስ ከመወለዱ ከረጅም ጊዜ በፊት ይታወቁ ነበር, እና እሱ ራሱ ከ 20 ዓመታት በላይ ከግብፃውያን ቄሶች ጋር አጥንቷል. ፓይታጎረስ ዝነኛ ንድፈ ሃሳቡን ካረጋገጠ በኋላ አንድ ወይፈን ለአማልክት መስዋዕት እንዳቀረበ እና እንደ ሌሎች ምንጮች 100 በሬዎች እንደሚናገር አንድ አፈ ታሪክ ተጠብቆ ቆይቷል። ይህ ግን ስለ ፓይታጎረስ ሥነ ምግባራዊ እና ሃይማኖታዊ አመለካከቶች መረጃን ይቃረናል. በሥነ ጽሑፍ ምንጮች ውስጥ “እንስሳት እንኳን መግደልን ከልክሏል፣ እነሱንም ከመመገብ እጅግ ያነሰ፣ እንስሳት እንደ እኛ ነፍሳት አሏቸው” ሲል ማንበብ ትችላለህ። ፓይታጎረስ ማር፣ ዳቦ፣ አትክልትና አልፎ አልፎ አሳ ብቻ ይመገባል። ከዚህ ሁሉ ጋር ተያይዞ የሚከተለው ግቤት የበለጠ አሳማኝ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል፡- “...እና በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ሃይፖቴኑዝ ከእግር ጋር እንደሚመሳሰል ባወቀ ጊዜ እንኳን ከስንዴ ሊጥ የተሰራ ወይፈን ሠዋ።

የፓይታጎሪያን ቲዎሬም ተወዳጅነት በጣም ትልቅ ከመሆኑ የተነሳ ማስረጃዎቹ በ ውስጥ እንኳን ሊገኙ ይችላሉ። ልቦለድለምሳሌ በታዋቂው እንግሊዛዊ ጸሐፊ ሃክስሊ "Young Archimedes" ታሪክ ውስጥ። ተመሳሳይ ማረጋገጫ, ነገር ግን ለ isosceles የቀኝ ትሪያንግል ልዩ ጉዳይ, በፕላቶ ንግግር "ሜኖ" ውስጥ ተሰጥቷል.

ተረት "ቤት".

"ሩቅ፣ ርቆ፣ አውሮፕላኖች እንኳን የማይበሩበት፣ የጂኦሜትሪ ሀገር ናት። በዚህ ያልተለመደ ሀገር ውስጥ አንድ አስደናቂ ከተማ ነበረች - የቴሬም ከተማ። አንድ ቀን ወደዚች ከተማ መጣሁ ቆንጆ ሴት ልጅ Hypotenuse የሚባል. ክፍል ለመከራየት ሞከረች ግን የትም ብታመለክት ውድቅ ተደረገላት። በመጨረሻ ወደ ተንኮለኛው ቤት ቀርባ አንኳኳች። እራሱን ራይት አንግል ብሎ የሚጠራ ሰው በሩን ከፈተላት እና ሃይፖቴኑስ አብሮት እንዲኖር ጋበዘ። ሃይፖቴኑዝ ቀኝ አንግል እና ኬትቴስ የሚባሉ ሁለቱ ወጣት ልጆቹ በሚኖሩበት ቤት ውስጥ ቀረ። ከዚያን ጊዜ ጀምሮ, በትክክለኛው ማዕዘን ቤት ውስጥ ያለው ህይወት በአዲስ መንገድ ተለውጧል. hypotenuse በመስኮቱ ላይ አበቦችን በመትከል በፊት ለፊት ባለው የአትክልት ቦታ ላይ ቀይ ጽጌረዳዎችን ተክሏል. ቤቱ የቀኝ ትሪያንግል ቅርፅ ወሰደ። ሁለቱም እግሮች Hypotenuseን በጣም ወድደው በቤታቸው ውስጥ ለዘላለም እንድትቆይ ጠየቁት። ምሽት ላይ ይህ ወዳጃዊ ቤተሰብ በቤተሰብ ጠረጴዛ ላይ ይሰበሰባል. አንዳንድ ጊዜ ቀኝ አንግል ከልጆቹ ጋር ተደብቆ መፈለግን ይጫወታል። ብዙውን ጊዜ እሱ ማየት አለበት ፣ እና ሃይፖቴኑዝ በጣም በችሎታ ስለሚደበቅ ለማግኘት በጣም ከባድ ይሆናል። አንድ ቀን እየተጫወተ ሳለ ቀኝ አንግል አስተዋለ አስደሳች ንብረት: እግሮቹን ማግኘት ከቻለ ሃይፖቴነስ ማግኘት አስቸጋሪ አይደለም. ስለዚህ ትክክለኛው አንግል ይህንን ንድፍ ይጠቀማል፣ መናገር አለብኝ፣ በጣም በተሳካ ሁኔታ። የፓይታጎሪያን ቲዎረም በዚህ የቀኝ ትሪያንግል ንብረት ላይ የተመሰረተ ነው።

(ከመጽሐፉ A. Okunev "ስለ ትምህርቱ እናመሰግናለን, ልጆች").

የቲዎሬም አስቂኝ ቅንብር፡-

ሶስት ማዕዘን ከተሰጠን

እና በተጨማሪ ፣ ከቀኝ አንግል ጋር ፣

ያ የ hypotenuse ካሬ ነው።

ሁልጊዜም በቀላሉ ማግኘት እንችላለን፡-

እግሮቹን ካሬ እናደርጋለን ፣

የኃይል ድምርን እናገኛለን-

እና እንደዚህ ባለ ቀላል መንገድ

ወደ ውጤቱ እንመጣለን.

አልጀብራን እና የትንታኔ እና የጂኦሜትሪ መርሆዎችን በማጥናት ውስጥ 10ኛ ክፍልውስጥ ከተወያዩት በተጨማሪ እርግጠኛ ነበርኩኝ። 8ኛ ክፍልየፓይታጎሪያን ቲዎረምን ለማረጋገጥ ሌሎች መንገዶች አሉ። ለግምገማ አቀርባለሁ።
2. ዋና ክፍል.

ቲዎረም. በትክክለኛው ሶስት ማዕዘን ውስጥ ካሬ አለ

hypotenuse ከድምሩ ጋር እኩል ነው።የእግር ካሬዎች.

1 ዘዴ.

የ polygons አከባቢዎችን ባህሪያት በመጠቀም, በ hypotenuse እና በቀኝ ትሪያንግል እግሮች መካከል አስደናቂ ግንኙነት እንፈጥራለን.

ማረጋገጫ።

ሀ፣ ሐእና hypotenuse ጋር(ምስል 1, ሀ)

ይህን እናረጋግጥ c²=a²+b².

ማረጋገጫ።

ትሪያንግል ከጎን ጋር ወደ ካሬ እንጨርስ ሀ + ለበስእል እንደሚታየው. 1, ለ. የዚህ ካሬ ቦታ S (a + b)² ነው። በሌላ በኩል፣ ይህ ካሬ አራት እኩል የቀኝ ትሪያንግሎች ያሉት ሲሆን እያንዳንዳቸው ½ ስፋት አላቸው። አ.አ  , እና ጎን ያለው ካሬ ጋር፣ስለዚህ ኤስ = 4 * ½ አው + ሐ² = 2አው + ሐ².

ስለዚህም

(ሀ + ለ)² = 2 አው + ሐ²,

c²=a²+b².

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.
2 ዘዴ.

"ተመሳሳይ ትሪያንግሎች" የሚለውን ርዕስ ካጠናሁ በኋላ, የሶስት ማዕዘኖችን ተመሳሳይነት በፓይታጎሪያን ቲዎሬም ማረጋገጫ ላይ መተግበር እንደሚችሉ ተረድቻለሁ. ይኸውም የቀኝ ትሪያንግል እግር ከ hypotenuse እና በእግሩ እና በከፍታ መካከል ካለው የቀኝ አንግል ቁልቁል በተሰቀለው ከፍታ መካከል ያለው አማካይ ተመጣጣኝ ነው የሚለውን መግለጫ ተጠቀምኩኝ።

የቀኝ ማዕዘን C, ሲዲ - ቁመት (ምስል 2) ያለው ትክክለኛ ሶስት ማዕዘን አስቡ. ይህን እናረጋግጥ ኤሲ² +ኤን² = AB² .

ማረጋገጫ።

የቀኝ ትሪያንግል እግርን በተመለከተ ባለው መግለጫ ላይ በመመስረት፡-

AC = ፣ SV =

ካሬ እናድርገው እና ​​የተገኙትን እኩልነቶች እንጨምር፡-

AC² = AB * AD፣ CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB)፣ AD+DB=AB፣ ከዚያ

AC² + CB² = AB * AB፣

AC² + CB² = AB²።

ማስረጃው ሙሉ ነው።
3 ዘዴ.

የፓይታጎሪያን ቲዎረምን ለማረጋገጥ ፣ የቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ አንግል ኮሳይን ፍቺ ማመልከት ይችላሉ። ስእልን እንመልከተው. 3.

ማረጋገጫ፡-

ኤቢሲ ከቀኝ አንግል ሐ የተሰጠ ቀኝ ትሪያንግል ይሁን። የከፍታ ሲዲውን ከቀኝ አንግል ሐ ወርድ እናስለው።

በማእዘን ኮሳይን ፍቺ፡-

cos A = AD/AC = AC/AB. ስለዚህ AB * AD = AC²

እንደዚሁ

cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.

ስለዚህ AB * BD = BC²።

የተገኘውን የእኩልነት ቃል በቃል ጨምረን AD + DB = AB በማስተዋል እናገኛለን፡-

ኤሲ² + ፀሐይ² = AB (AD + DB) = AB²

ማስረጃው ሙሉ ነው።
4 ዘዴ.

"በቀኝ ትሪያንግል ጎኖች እና ማዕዘኖች መካከል ያሉ ግንኙነቶች" የሚለውን ርዕስ ካጠናሁ በኋላ የፓይታጎሪያን ቲዎሬም በሌላ መንገድ ሊረጋገጥ የሚችል ይመስለኛል ።

ከእግሮች ጋር ትክክለኛውን ሶስት ማዕዘን አስቡበት ሀ፣ ሐእና hypotenuse ጋር. (ምስል 4)

ይህን እናረጋግጥ c²=a²+b²።

ማረጋገጫ።

ኃጢአት ለ =ከፍተኛ ጥራት ; cos ለ =ሀ/ሲ , ከዚያ የተገኘውን እኩልነት በማጣመር የሚከተሉትን እናገኛለን

ኃጢአት² ለ =በ²/s²; cos² ውስጥ= a²/c²

እነሱን ጨምረን እናገኛቸዋለን፡-

ኃጢአት² ውስጥ+ኮስ² ለ =в²/с²+ а²/s²፣ ኃጢአት² ያለበት ውስጥ+ኮስ² B=1፣

1= (в²+ а²) / ሰ²፣ ስለዚህ፣

c²= a² + b²።

ማስረጃው ሙሉ ነው።

5 ዘዴ.

ይህ ማረጋገጫ በእግሮቹ ላይ የተገነቡ ካሬዎችን በመቁረጥ (ምስል 5) እና የተገኙትን ክፍሎች በ hypotenuse ላይ በተገነባው ካሬ ላይ በማስቀመጥ ላይ የተመሰረተ ነው.

6 ዘዴ.

በጎን በኩል ለማረጋገጫ ፀሐይእየገነባን ነው። ቢሲዲ ኢቢሲ(ምስል 6). ተመሳሳይ የምስሎች ቦታዎች ልክ እንደ መስመራዊ መጠናቸው ካሬዎች እንደሚዛመዱ እናውቃለን።

ሁለተኛውን ከመጀመሪያው እኩልነት በመቀነስ, እናገኛለን

c2 = a2 + ለ2.

ማስረጃው ሙሉ ነው።

7 ዘዴ.

የተሰጠው(ምስል 7)

ኢቢሲ፣= 90° , ፀሐይ= a፣ AC=ለ፣ AB = ሐ.

አረጋግጥ፡c2 = a2 +ለ2.

ማረጋገጫ።

እግር ይፍቀዱ ለ ሀ.ክፍሉን እንቀጥል NEበአንድ ነጥብ ውስጥእና ሶስት ማዕዘን ይገንቡ ቢኤምዲስለዚህ ነጥቦቹ ኤምእና ሀከቀጥታ መስመር በአንደኛው ጎን ተኛ ሲዲእና በተጨማሪ, BD =ለ፣ ቢዲኤም= 90° ዲኤም=ሀ, እንግዲያውስ ቢኤምዲ= ኢቢሲበሁለት በኩል እና በመካከላቸው ያለው አንግል. ነጥቦች A እና ኤምከክፍሎች ጋር ይገናኙ ኤም.አለን። ኤም.ዲ. ሲዲእና አ.ሲ. ሲዲ፣ቀጥተኛ ነው ማለት ነው። ኤሲከመስመሩ ጋር ትይዩ ኤም.ዲ.ምክንያቱም ኤም.ዲ.< АС, ከዚያም ቀጥታ ሲዲእና ኤ.ኤም.ትይዩ አይደለም. ስለዚህም AMDC-አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትራፔዞይድ.

በቀኝ ትሪያንግሎች ABC እና ቢኤምዲ 1 + 2 = 90 ° እና 3 + 4 = 90 °, ግን ከ = =, ከዚያም 3 + 2 = 90 °; ከዚያም ኤቪኤም= 180 ° - 90 ° = 90 °. ትራፔዞይድ መሆኑ ታወቀ ኤ.ዲ.ሲበሦስት የማይደራረቡ የቀኝ ትሪያንግሎች ተከፍሏል፣ ከዚያ axiomsአካባቢዎች

(a+b)(a+b)

ሁሉንም የእኩልነት ውሎችን በ ከፋፍለን እናገኛለን

ሀb+c2+ሀb = (a +ለ) , 2 ኣብ ርእሲኡ፡ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ምውሳድ ምውሳድ እዩ።+ c2 = ሀ2+ 2ሀለ+ ለ2፣

c2 = a2 + ለ2.

ማስረጃው ሙሉ ነው።

8 ዘዴ.

ይህ ዘዴ በ hypotenuse እና በቀኝ ትሪያንግል እግሮች ላይ የተመሰረተ ነው ኢቢሲተጓዳኝ ካሬዎችን ይሠራል እና በ hypotenuse ላይ የተገነባው ካሬ በእግሮቹ ላይ ከተገነቡት ካሬዎች ድምር ጋር እኩል መሆኑን ያረጋግጣል (ምሥል 8).

ማረጋገጫ።

1) ዲቢሲ= FBA= 90 °;

DBC+ ኢቢሲ= FBA+ ኢቢሲ፣ማለት፣ FBC = ዲቢኤ

ስለዚህም ኤፍ.ቢ.ሲ=ኤቢዲ(በሁለት ጎኖች እና በመካከላቸው ያለው አንግል).

2) , AL DE የት ነው፣ BD የጋራ መሠረት ስለሆነ፣ ዲኤል -ጠቅላላ ቁመት.

3) ኤፍቢ መሰረት ስለሆነ AB- አጠቃላይ ቁመት.

4)

5) በተመሳሳይ ሁኔታ ሊረጋገጥ ይችላል

6) ቃል በቃል ስንጨምር፡-

, BC2 = AB2 + AC2 . ማስረጃው ሙሉ ነው።

9 ዘዴ.

ማረጋገጫ።

1) ፍቀድ አብዴ- አራት ማዕዘን (ምስል 9), ከጎኑ ከትክክለኛው የሶስት ማዕዘን (hypotenuse) ጋር እኩል ነው ኢቢሲ= s፣ BC = a፣ AC =ለ)

2) ፍቀድ ዲኬ B.C.እና DK = ፀሐይ,ከ 1 + 2 = 90 ° (እንደ የቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ ማዕዘኖች) ፣ 3 + 2 = 90 ° (እንደ ካሬው አንግል) ፣ AB= BD(የካሬው ጎኖች).

ማለት፣ ኢቢሲ= BDK(በ hypotenuse እና አጣዳፊ ማዕዘን).

3) ፍቀድ ኢ.ኤል ዲ.ኬ.፣ ኤ.ኤም. ኢ.ኤል.በቀላሉ ABC = BDK = DEL = EAM (በእግር ሀእና ለ)ከዚያም ኬኤስ= ሲ.ኤም= ኤም.ኤል.= ኤል.ኬ.= ሀ -ለ.

4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (ሀ - ለ)ጋር2 = 2ab + a2 - 2ab + b2፣c2 = a2 + b2.

ማስረጃው ሙሉ ነው።

10 ዘዴ.

ማስረጃው በቀልድ መልክ "የፒታጎሪያን ሱሪዎች" (ምስል 10) በሚባል ምስል ላይ ሊከናወን ይችላል. ሃሳቡ በጎን በኩል የተገነቡ ካሬዎችን ወደ እኩል ትሪያንግሎች መለወጥ ሲሆን እነዚህም የ hypotenuse ካሬን አንድ ላይ ያደርጋሉ።

ኢቢሲበቀስቱ እንደሚታየው ያንቀሳቅሱት እና ቦታ ይወስዳል ኬዲኤን.የተቀረው ምስል ኤኬዲሲቢየካሬው እኩል ስፋት AKDCይህ ትይዩ ነው። AKNB

ትይዩ ሞዴል ተሠርቷል AKNB. በስራው ይዘቶች ውስጥ በተቀረጸው መሰረት ትይዩውን እንደገና እናስተካክለዋለን። ትይዩ ወደ እኩል ስፋት ያለው ትሪያንግል ለውጡን ለማሳየት በተማሪዎቹ ፊት ለፊት, በአምሳያው ላይ ሶስት ማዕዘን ቆርጠን ወደ ታች እንወርዳለን. ስለዚህ, የካሬው አካባቢ AKDCከአራት ማዕዘኑ ስፋት ጋር እኩል ሆነ። በተመሳሳይም የካሬውን ቦታ ወደ አራት ማዕዘን ቦታ እንለውጣለን.

በእግር ላይ ለተገነባው ካሬ ለውጥ እናድርግ ሀ(ምስል 11፣ ሀ)

ሀ) ካሬው ወደ እኩል ትይዩ ይቀየራል (ምስል 11.6)

ለ) ትይዩው ሩብ ዙር ይሽከረከራል (ምስል 12)

ሐ) ትይዩው ወደ እኩል ሬክታንግል ተቀይሯል (ምስል 13) 11 ዘዴ.

ማረጋገጫ፡-

PCL-ቀጥ ያለ (ምስል 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= SVMR =CBNQ= ለ 2;

AKGB= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + ለ2.

ማስረጃው አልቋል .

12 ዘዴ.

ሩዝ. ምስል 15 የፓይታጎሪያን ቲዎረም ሌላ የመጀመሪያ ማረጋገጫን ያሳያል።

እዚህ: ትሪያንግል ABC ከቀኝ አንግል C ጋር; ክፍል ቢ.ኤፍ.ቀጥ ያለ NEእና ከእሱ ጋር እኩል የሆነ ክፍል BEቀጥ ያለ ABእና ከእሱ ጋር እኩል የሆነ ክፍል ዓ.ምቀጥ ያለ ኤሲእና ከእሱ ጋር እኩል ነው; ነጥቦች ኤፍ፣ ሲ፣ዲየአንድ መስመር አባል; አራት ማዕዘን ADFBእና ASVEበመጠን እኩል, ጀምሮ ABF = ECB;ትሪያንግሎች ኤዲኤፍእና ACEበመጠን እኩል; የሚጋሩትን ትሪያንግል ከሁለቱም እኩል አራት ማዕዘን ቀንስ ኢቢሲ፣እናገኛለን

, c2 = a2 + ለ2.

ማስረጃው ሙሉ ነው።

13 ዘዴ.

የተሰጠው የቀኝ ትሪያንግል ስፋት በአንድ በኩል እኩል ነው። , በሌላ በኩል፣ ,

3. ማጠቃለያ.

በፍለጋ እንቅስቃሴው ምክንያት የሥራው ግብ ተሳክቷል, ይህም በፓይታጎሪያን ቲዎሬም ማረጋገጫ ላይ እውቀትን መሙላት እና ማጠቃለል ነው. ከትምህርት ቤቱ የመማሪያ መጽሀፍ ገፆች ባሻገር በርዕሱ ላይ እውቀትን ለማጥለቅ የተለያዩ መንገዶችን መፈለግ እና ማጤን ተችሏል።

የሰበሰብኩት ቁሳቁስ የፓይታጎሪያን ቲዎረም ትልቅ የጂኦሜትሪ ቲዎሬም እንደሆነ እና ትልቅ ንድፈ ሃሳባዊ እና ተግባራዊ ጠቀሜታ እንዳለው የበለጠ አሳምኖኛል። ለማጠቃለል ያህል, እኔ ማለት እፈልጋለሁ: የፓይታጎሪያን ትሪዩን ቲዎሬም ተወዳጅነት ያለው ምክንያት ውበት, ቀላልነት እና ጠቀሜታ ነው!

4. ጥቅም ላይ የዋለው ስነ-ጽሁፍ.

1. አዝናኝ አልጀብራ። . ሞስኮ "ሳይንስ", 1978.

2. ሳምንታዊ የትምህርት እና ዘዴዊ ማሟያ ለጋዜጣ "የመስከረም መጀመሪያ", 24/2001.

3. ጂኦሜትሪ 7-9. ወዘተ.

4. ጂኦሜትሪ 7-9. ወዘተ.

የፓይታጎሪያን ቲዎረም ለቀኝ ሶስት መአዘኖች ብቻ ስለሚተገበር የተሰጠዎት ትሪያንግል ትክክለኛ ትሪያንግል መሆኑን ያረጋግጡ።

• በትክክለኛው ትሪያንግሎች ውስጥ, ከሶስቱ ማዕዘኖች አንዱ ሁልጊዜ 90 ዲግሪ ነው.

በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ያለው ቀኝ አንግል በግዴታ ማዕዘኖች ከሚወክለው ከርቭ ምልክት ይልቅ በካሬ ምልክት ይገለጻል።የሶስት ማዕዘን ጎኖቹን ይሰይሙ. እግሮቹን “a” እና “b” ብለው ይሰይሙ (እግሮቹ በቀኝ ማዕዘኖች የተጠላለፉ ጎኖች ​​ናቸው) እና ሃይፖቴኑዙን “ሐ” (hypotenuse በጣም ነው)ትልቅ ጎን

የቀኝ ትሪያንግል ፣ ከቀኝ አንግል ተቃራኒ ተኛ)።የትኛውን የሶስት ማዕዘን ጎን ማግኘት እንደሚፈልጉ ይወስኑ.

• የፓይታጎሪያን ቲዎረም የቀኝ ትሪያንግል ማንኛውንም ጎን (የሌሎቹ ሁለት ጎኖች የሚታወቁ ከሆነ) እንዲያገኙ ያስችልዎታል። የትኛውን ጎን (a, b, c) ማግኘት እንዳለቦት ይወስኑ.
• የሌሎቹ ሁለት ጎኖች የማይታወቁ ከሆነ, የፓይታጎሪያን ቲዎረምን ለመተግበር ከማይታወቁ ጎኖች ውስጥ አንዱን ርዝመት ማግኘት ያስፈልግዎታል. ይህንን ለማድረግ መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ተጠቀም (ከአንዱ አግድም ማዕዘኖች ዋጋ ከተሰጠህ).

የተሰጡትን እሴቶች (ወይም ያገኙትን እሴቶች) በቀመር 2 + b 2 = c 2 ይተኩ። a እና b እግሮች መሆናቸውን አስታውስ፣ እና c ደግሞ ሃይፖቴነስ ነው።

• በእኛ ምሳሌ ውስጥ፡ 3² + b² = 5² ይጻፉ።

ካሬ እያንዳንዱ የታወቀ ጎን።ወይም ኃይሎቹን ይተዉ - ቁጥሮቹን በኋላ ላይ ማመጣጠን ይችላሉ።

• በእኛ ምሳሌ ውስጥ፡ 9 + b² = 25 ይጻፉ።

በስሌቱ በአንደኛው በኩል የማይታወቀውን ጎን ለይ.ይህንን ለማድረግ, ተንቀሳቀስ የታወቁ እሴቶችወደ እኩልታው ሌላኛው ጎን. ሃይፖቴኑዝ ካገኘህ፣ በፓይታጎሪያን ቲዎሬም ውስጥ ቀድሞውንም በአንድ በኩል በቀመር ተለይቷል (ስለዚህ ምንም ማድረግ አያስፈልግህም)።

• በእኛ ምሳሌ፣ ያልታወቀ b²ን ለመለየት 9ን ወደ እኩልታው በቀኝ በኩል ይውሰዱት። b² = 16 ያገኛሉ።

በአንደኛው በኩል የማይታወቅ (ካሬ) እና በሌላኛው በኩል መቆራረጡ (ቁጥር) ካገኙ በኋላ የሁለቱም የእኩልታውን ካሬ ሥር ይውሰዱ።

• በእኛ ምሳሌ, b² = 16. የሁለቱም የእኩልታ ጎኖች ካሬ ስር ይውሰዱ እና b = 4 ያግኙ. ስለዚህ, ሁለተኛው እግር 4 ነው.

በ ውስጥ የፓይታጎሪያን ቲዎሪ ይጠቀሙ የዕለት ተዕለት ኑሮ, ብዙ ቁጥር ባለው ተግባራዊ ሁኔታዎች ውስጥ ጥቅም ላይ ሊውል ስለሚችል.

• ይህንን ለማድረግ በዕለት ተዕለት ሕይወት ውስጥ ትክክለኛ ትሪያንግሎችን መለየት ይማሩ - በማንኛውም ሁኔታ ውስጥ ሁለት ነገሮች (ወይም መስመሮች) በቀኝ ማዕዘኖች እርስ በእርስ ሲገናኙ እና ሶስተኛው ነገር (ወይም መስመር) የመጀመሪያዎቹን ሁለት ነገሮች (ወይም) የላይኛውን ክፍል ያገናኛል ። መስመሮች), የማይታወቅውን ጎን ለማግኘት (ሌሎቹ ሁለት ጎኖች የሚታወቁ ከሆነ) የፒታጎሪያን ቲዎሬም መጠቀም ይችላሉ. ምሳሌ፡ ደረጃውን በህንፃ ላይ ዘንበል ብሎ ተሰጥቶታል።የታችኛው ክፍል
  • ደረጃዎቹ ከግድግዳው ግርጌ 5 ሜትር ርቀት ላይ ይገኛሉ. የደረጃው ጫፍ ከመሬት (ከግድግዳው) 20 ሜትር ርቀት ላይ ነው. የደረጃዎቹ ርዝመት ስንት ነው?
    • "ከግድግዳው መሠረት 5 ሜትር" ማለት a = 5; "ከመሬት 20 ሜትር ርቀት ላይ ይገኛል" ማለት b = 20 (ማለትም የሕንፃው ግድግዳ እና የምድር ገጽ በቀኝ ማዕዘኖች ስለሚገናኙ የቀኝ ሶስት ማዕዘን ሁለት እግሮች ይሰጥዎታል) ማለት ነው. የደረጃው ርዝመት የ hypotenuse ርዝመት ነው, የማይታወቅ.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • ሐ = √425

ሐ = 20.6. ስለዚህ, የደረጃዎቹ ግምታዊ ርዝመት 20.6 ሜትር ነው.የፓይታጎሪያን ቲዎረም በእግሮች ላይ ያረፉ የካሬዎች ቦታዎች ድምር (ሀ ለበ hypotenuse ላይ ከተገነባው ካሬ ስፋት ጋር እኩል ነው ( ሐ).

የጂኦሜትሪክ ቀመር፡

ንድፈ ሃሳቡ በመጀመሪያ የተቀረፀው እንደሚከተለው ነው።

የአልጀብራ ቅንብር፡-

ማለትም ፣ የሶስት ማዕዘኑ hypotenuse ርዝመትን በመጥቀስ ሐ, እና የእግሮቹ ርዝመት በ በእግሮች ላይ ያረፉ የካሬዎች ቦታዎች ድምር (እና ለ :

በእግሮች ላይ ያረፉ የካሬዎች ቦታዎች ድምር ( 2 + ለ 2 = ሐ 2

ሁለቱም የንድፈ ሀሳቡ ቀመሮች እኩል ናቸው ፣ ግን ሁለተኛው አጻጻፍ የበለጠ የመጀመሪያ ደረጃ ነው ፣ የአካባቢ ጽንሰ-ሀሳብ አያስፈልገውም። ያም ማለት, ሁለተኛው መግለጫ ስለ አካባቢው ምንም ሳያውቅ እና የቀኝ ትሪያንግል ጎኖቹን ርዝመቶች ብቻ በመለካት ማረጋገጥ ይቻላል.

ተቃርኖ የፓይታጎሪያን ቲዎሪ፡

ማረጋገጫ

በርቷል በአሁኑ ጊዜየዚህ ጽንሰ-ሐሳብ 367 ማስረጃዎች በሳይንሳዊ ጽሑፎች ውስጥ ተመዝግበዋል. ምናልባትም, የፓይታጎሪያን ቲዎረም እንደዚህ አይነት አስደናቂ ቁጥር ያላቸው ማረጋገጫዎች ብቸኛው ቲዎሪ ነው. እንዲህ ዓይነቱ ልዩነት ሊብራራ የሚችለው ለጂኦሜትሪ ጽንሰ-ሐሳብ መሠረታዊ ጠቀሜታ ብቻ ነው.

እርግጥ ነው, በፅንሰ-ሀሳብ ሁሉም በትንሽ ክፍሎች ሊከፋፈሉ ይችላሉ. ከነሱ በጣም ዝነኛ የሆኑት፡በአካባቢው ዘዴ ማረጋገጫዎች፣አክሲዮማቲክ እና እንግዳ የሆኑ ማረጋገጫዎች (ለምሳሌ፣ ልዩነትን በመጠቀም)።

በተመሳሳይ ትሪያንግሎች በኩል

የሚከተለው የአልጀብራ አቀነባበር ማረጋገጫ ከማስረጃዎቹ በጣም ቀላሉ ነው፣ በቀጥታ ከአክሶም የተሰራ። በተለይም የአንድን ምስል ስፋት ጽንሰ-ሀሳብ አይጠቀምም.

ፍቀድ ኢቢሲየቀኝ ማዕዘን ያለው ትክክለኛ ሶስት ማዕዘን አለ ሲ. ቁመቱን ከ ሲእና መሰረቱን በ ኤች. ትሪያንግል ACHከሶስት ማዕዘን ጋር ተመሳሳይ ኢቢሲበሁለት ማዕዘኖች. በተመሳሳይ, ትሪያንግል CBHተመሳሳይ ኢቢሲ. ማስታወሻውን በማስተዋወቅ

እናገኛለን

ምን እኩል ነው።

ጨምረን እናገኛለን

የአከባቢን ዘዴ በመጠቀም ማረጋገጫዎች

ከታች ያሉት ማስረጃዎች ቀላል ቢመስሉም ቀላል አይደሉም። ሁሉም የአካባቢ ባህሪያትን ይጠቀማሉ, ማረጋገጫው ከፓይታጎሪያን ቲዎረም እራሱ ማረጋገጫ የበለጠ ውስብስብ ነው.

በመሳሪያ ማሟያ በኩል ማረጋገጫ

1. በስእል 1 ላይ እንደሚታየው አራት እኩል ቀኝ ትሪያንግሎችን እናዘጋጅ።
2. ከጎን ጋር አራት ማዕዘን ሐካሬ ነው፣ የሁለት አጣዳፊ ማዕዘኖች ድምር 90°፣ እና ቀጥተኛ አንግል 180° ነው።
3. የጠቅላላው ሥዕሉ ስፋት በአንድ በኩል ከጎን (a + b) ጋር ካለው ካሬ ስፋት ጋር እኩል ነው ፣ በሌላ በኩል ደግሞ ከአራት ማዕዘኖች እና ሁለት የውስጥ ክፍሎች ድምር ጋር እኩል ነው። ካሬዎች.

ጥ.ኢ.ዲ.

በተመጣጣኝ ሁኔታ ማረጋገጫዎች

permutation በመጠቀም የሚያምር ማረጋገጫ

የእንደዚህ አይነት ማረጋገጫ ምሳሌ በቀኝ በኩል ባለው ስእል ላይ ይታያል, በ hypotenuse ላይ የተገነባው ካሬ በእግሮቹ ላይ ወደተገነቡት ሁለት ካሬዎች እንደገና ተስተካክሏል.

የዩክሊድ ማስረጃ

ለ Euclid ማረጋገጫ መሳል

ለኢውክሊድ ማረጋገጫ ምሳሌ

የዩክሊድ ማረጋገጫው ሀሳብ እንደሚከተለው ነው-በ hypotenuse ላይ የተገነባው የካሬው ግማሽ ስፋት በእግሮቹ ላይ ከተገነቡት ካሬዎች ግማሽ አከባቢዎች እና ከዚያ አከባቢዎች ድምር ጋር እኩል መሆኑን ለማረጋገጥ እንሞክር ። ትላልቅ እና ሁለት ትናንሽ ካሬዎች እኩል ናቸው.

በግራ በኩል ያለውን ሥዕል እንመልከተው. በእሱ ላይ በቀኝ ትሪያንግል ጎኖች ላይ አራት ማዕዘኖችን ሠራን እና ከቀኝ አንግል C ወርድ ላይ ሬይ s ይሳሉ ፣ ከ hypotenuse AB ፣ በ hypotenuse ላይ የተገነባውን ካሬ ኤቢክን በሁለት አራት ማዕዘኖች - BHJI እና HAKJ በቅደም ተከተል. የእነዚህ አራት ማዕዘኖች አከባቢዎች በተመጣጣኝ እግሮች ላይ ከተገነቡት የካሬዎች ቦታዎች ጋር በትክክል እኩል ናቸው.

የካሬው DECA ስፋት ከአራት ማዕዘኑ AHJK ስፋት ጋር እኩል መሆኑን ለማረጋገጥ እንሞክር ረዳት እይታን እንጠቀማለን-የሶስት ማዕዘን ስፋት ተመሳሳይ ቁመት እና መሠረት. የተሰጠው ሬክታንግል ከተሰጠው አራት ማዕዘን ስፋት ግማሽ ጋር እኩል ነው. ይህ የሶስት ማዕዘን ቦታን እንደ የመሠረቱ እና የቁመቱ ግማሽ ምርት የመወሰን ውጤት ነው. ከዚህ ምልከታ አንጻር የሶስት ማዕዘን ACK ቦታ ከሶስት ማዕዘን AHK ስፋት ጋር እኩል ነው (በሥዕሉ ላይ አይታይም), እሱም በተራው ደግሞ ከአራት ማዕዘን AHJK ግማሽ ጋር እኩል ነው.

አሁን የሶስት ማዕዘኑ ACK ስፋት ከ ስኩዌር DECA ግማሽ ስፋት ጋር እኩል መሆኑን እናረጋግጥ። ለዚህ መደረግ ያለበት ብቸኛው ነገር የሶስት ማዕዘኖች ACK እና BDA እኩልነት ማረጋገጥ ነው (ከላይ ባለው ንብረት መሠረት የሶስት ማዕዘን BDA ስፋት የካሬው ግማሽ ስፋት ጋር እኩል ነው)። እኩልነቱ ግልጽ ነው, ትሪያንግሎች በሁለቱም በኩል እና በመካከላቸው ያለው አንግል እኩል ናቸው. ይኸውም - AB=AK,AD=AC - የማዕዘን እኩልነት CAK እና BAD በእንቅስቃሴ ዘዴ ለማረጋገጥ ቀላል ነው፡ ትሪያንግል CAK 90° በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ እናዞራለን፣ ከዚያ የሁለቱ ትሪያንግሎች ተጓዳኝ ጎኖች በ ውስጥ መሆናቸው ግልፅ ነው። ጥያቄው ይገጣጠማል (በካሬው ጫፍ ላይ ያለው አንግል 90 ° በመሆኑ ነው)።

የካሬው BCFG እና ሬክታንግል BHJI አከባቢዎች እኩልነት ምክንያት ሙሉ በሙሉ ተመሳሳይ ነው።

ስለዚህ, በ hypotenuse ላይ የተገነባው የካሬው ቦታ በእግሮቹ ላይ የተገነቡ አራት ማዕዘኖች ያሉት መሆኑን አረጋግጠናል. ከዚህ ማስረጃ በስተጀርባ ያለው ሃሳብ ከዚህ በላይ ባለው አኒሜሽን የበለጠ ይገለጻል።

የሊዮናርዶ ዳ ቪንቺ ማረጋገጫ

የሊዮናርዶ ዳ ቪንቺ ማረጋገጫ

የማረጋገጫው ዋና ዋና ነገሮች ሲሜትሪ እና እንቅስቃሴ ናቸው.

ስዕሉን ከሲሜትሪ እንደሚታየው አንድ ክፍል እናስብ ሲአይካሬውን ይቆርጣል ሀለኤችጄ ወደ ሁለት ተመሳሳይ ክፍሎች (ከሦስት ማዕዘናት ጀምሮ ሀለሲእና ጄኤችአይበግንባታ ውስጥ እኩል). በ 90 ዲግሪ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ መሽከርከርን በመጠቀም, የተጠለፉትን ምስሎች እኩልነት እናያለን ሲሀጄአይ ሀ ጂዲሀለ . አሁን ጥላ ያደረግነው የምስሉ ስፋት በግማሽ እግሮች ላይ የተገነቡ ካሬዎች እና ከዋናው የሶስት ማዕዘን ስፋት ጋር እኩል እንደሆነ ግልጽ ነው. በሌላ በኩል, በ hypotenuse ላይ የተገነባው የካሬው ግማሽ ስፋት እና ከመጀመሪያው የሶስት ማዕዘን ስፋት ጋር እኩል ነው. የማረጋገጫው የመጨረሻ ደረጃ ለአንባቢ የተተወ ነው።

በማያልቀው ዘዴ ማረጋገጫ

ልዩነት እኩልታዎችን በመጠቀም የሚከተለው ማረጋገጫ ብዙውን ጊዜ በ 20 ኛው ክፍለ ዘመን የመጀመሪያ አጋማሽ ላይ ለነበረው ታዋቂው እንግሊዛዊ የሂሳብ ሊቅ ሃርዲ ነው።

በሥዕሉ ላይ የሚታየውን ስዕል በመመልከት እና በጎን በኩል ያለውን ለውጥ በመመልከት በእግሮች ላይ ያረፉ የካሬዎች ቦታዎች ድምር (, ላልተወሰነ የጎን ጭማሪዎች የሚከተለውን ግንኙነት መጻፍ እንችላለን ጋርሀ በእግሮች ላይ ያረፉ የካሬዎች ቦታዎች ድምር ((የሦስት ማዕዘን ተመሳሳይነት በመጠቀም)

በማያልቀው ዘዴ ማረጋገጫ

ተለዋዋጭዎችን የመለየት ዘዴን በመጠቀም, እናገኛለን

በሁለቱም በኩል መጨመር ላይ በ hypotenuse ውስጥ ያለውን ለውጥ የበለጠ አጠቃላይ መግለጫ

ይህንን እኩልታ በማዋሃድ እና በመጠቀም የመጀመሪያ ሁኔታዎች, እናገኛለን

ሐ 2 = በእግሮች ላይ ያረፉ የካሬዎች ቦታዎች ድምር ( 2 + ለ 2+ ቋሚ።

ስለዚህ ወደሚፈለገው መልስ ደርሰናል

ሐ 2 = በእግሮች ላይ ያረፉ የካሬዎች ቦታዎች ድምር ( 2 + ለ 2 .

በቀላሉ ለማየት እንደሚቻለው በመጨረሻው ቀመር ውስጥ ያለው የኳድራቲክ ጥገኝነት በሦስት ማዕዘኑ ጎኖች እና ጭማሪዎች መካከል ባለው መስመራዊ ተመጣጣኝነት ምክንያት ይታያል ፣ ድምሩ ከተለያዩ እግሮች መጨመር ነፃ መዋጮ ጋር የተቆራኘ ነው።

ከእግሮቹ አንዱ መጨመር እንደማያጋጥመው ካሰብን ቀለል ያለ ማረጋገጫ ማግኘት ይቻላል (በዚህ ሁኔታ እግሩ). ለ). ከዚያም ለውህደት ቋሚነት እናገኛለን

ልዩነቶች እና አጠቃላይ

• ከካሬዎች ይልቅ በጎኖቹ ላይ ሌሎች ተመሳሳይ ምስሎችን ከሠራን ፣ ከዚያ የሚከተለው የፓይታጎሪያን ንድፈ ሀሳብ አጠቃላይ እውነት ነው ። በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ፣ በጎን በኩል የተገነቡ ተመሳሳይ ምስሎች አከባቢዎች ድምር በ hypotenuse ላይ ከተገነባው ምስል ስፋት ጋር እኩል ነው።በተለይ፡-
  • በእግሮቹ ላይ የተገነቡ የመደበኛ ትሪያንግል ቦታዎች ድምር በ hypotenuse ላይ ከተገነባው መደበኛ ትሪያንግል ስፋት ጋር እኩል ነው።
  • በእግሮቹ ላይ የተገነቡ የሴሚካሎች አከባቢዎች ድምር (እንደ ዲያሜትር) በ hypotenuse ላይ ከተገነባው የግማሽ ክበብ ስፋት ጋር እኩል ነው. ይህ ምሳሌ በሁለት ክበቦች ቅስት የታሰሩ እና ሂፖክራቲክ ሉኑላ ተብሎ የሚጠራውን የምስሎች ባህሪያት ለማረጋገጥ ይጠቅማል።

ታሪክ

Chu-pei 500-200 ዓክልበ. በግራ በኩል ጽሑፉ አለ-የቁመቱ እና የመሠረቱ ርዝመቶች ካሬዎች ድምር የ hypotenuse ርዝመት ካሬ ነው።

ስለ ጥንታዊው የቻይና መጽሐፍ ቹ-ፔ ይናገራል የፓይታጎሪያን ትሪያንግልከጎን 3፣ 4 እና 5 ጋር፡ በተመሳሳይ መጽሃፍ ከባሻራ የሂንዱ ጂኦሜትሪ ሥዕሎች አንዱ ጋር የሚገጣጠም ሥዕል ቀርቧል።

ካንቶር (ታላቁ ጀርመናዊ የሂሳብ ታሪክ ጸሐፊ) እኩልነት 3² + 4² = 5² በ2300 ዓክልበ. አካባቢ ለግብፃውያን ይታወቅ እንደነበር ያምናል። ሠ. በንጉሥ አመነምኸት 1ኛ ዘመን (በበርሊን ሙዚየም በፓፒረስ 6619 መሠረት)። እንደ ካንቶር አባባል ሃርፔዶናፕቴስ ወይም "ገመድ ፈላጊዎች" ቀኝ ማዕዘኖችን ከ 3 ፣ 4 እና 5 ጋር በቀኝ ሶስት መአዘኖች ገነቡ።

የእነሱን የግንባታ ዘዴ እንደገና ማባዛት በጣም ቀላል ነው. 12 ሜትር ርዝመት ያለው ገመድ እንውሰድ እና በ 3 ሜትር ርቀት ላይ ባለ ባለ ቀለም ንጣፍ እናስረው. ከአንድ ጫፍ እና ከሌላው 4 ሜትር. ትክክለኛው አንግል ከ 3 እስከ 4 ሜትር ርዝመት ባለው ጎኖች መካከል ይዘጋል. ለሃርፐዶናፕቲስቶች አንድ ሰው ለምሳሌ የእንጨት ካሬን ከተጠቀመ, ሁሉም አናጢዎች የሚጠቀሙበት የግንባታ ዘዴያቸው ከመጠን በላይ እንደሚሆን መቃወም ይቻላል. በእርግጥም, የግብፅ ሥዕሎች እንደዚህ ዓይነት መሣሪያ የሚገኝበት የታወቁ ናቸው, ለምሳሌ, የአናጢነት አውደ ጥናትን የሚያሳዩ ሥዕሎች.

በባቢሎናውያን መካከል ስለ ፒይታጎሪያን ቲዎሬም ትንሽ ተጨማሪ ይታወቃል። በሐሙራቢ ዘመን ማለትም እስከ 2000 ዓክልበ. ድረስ ባለው አንድ ጽሑፍ። ሠ, የቀኝ ትሪያንግል hypotenuse ግምታዊ ስሌት ተሰጥቷል. ከዚህ በመነሳት በሜሶጶጣሚያ ውስጥ ቢያንስ በአንዳንድ ሁኔታዎች ትክክለኛ ትሪያንግል ያላቸው ስሌቶችን ማከናወን እንደቻሉ መደምደም እንችላለን. በአንድ በኩል፣ አሁን ባለው የግብፅ እና የባቢሎናውያን ሂሳብ የዕውቀት ደረጃ፣ በሌላ በኩል ደግሞ በግሪክ ምንጮች ላይ ባደረገው ወሳኝ ጥናት ቫን ደር ዋርድ (የደች የሂሳብ ሊቅ) የሚከተለውን መደምደሚያ ላይ ደርሰዋል።

ስነ ጽሑፍ

በሩሲያኛ

• ስኮፕቶች Z.A.ጂኦሜትሪክ ድንክዬዎች. ኤም.፣ 1990
• Elensky Shch.በፓይታጎረስ ፈለግ። ኤም.፣ 1961 ዓ.ም
• ቫን ደር ዋየርደን ቢ.ኤል.የንቃት ሳይንስ. ሒሳብ ጥንታዊ ግብፅ, ባቢሎን እና ግሪክ. ኤም.፣ 1959
• ግላዘር ጂ.አይ.በትምህርት ቤት ውስጥ የሂሳብ ታሪክ. ኤም.፣ 1982 ዓ.ም
• ደብሊው ሊዝማን፣ “የፒታጎሪያን ቲዎረም” ኤም.፣ 1960
  • ስለ ፓይታጎሪያን ቲዎሬም ብዙ ማስረጃዎች ያሉት ጣቢያ ፣ ከመጽሐፉ የተወሰደው በ V. Litzmann ፣ ብዙ ቁጥር ያላቸው ስዕሎች በተለየ ግራፊክ ፋይሎች መልክ ቀርበዋል ።
• የፒታጎሪያን ቲዎረም እና የፒታጎሪያን ምዕራፎች በዲ.ቪ. አኖሶቭ ከመጽሐፉ ውስጥ “የሂሳብ እይታ እና ከእሱ የሆነ ነገር”
• ስለ ፓይታጎሪያን ቲዎሬም እና የማረጋገጡ ዘዴዎች ጂ.ግላዘር, የሩሲያ የትምህርት አካዳሚ ሞስኮ አካዳሚክ

በእንግሊዝኛ

• የፓይታጎሪያን ቲዎረም በ WolframMathWorld
• Cut-The-Knot፣ የፒታጎሪያን ቲዎረም ክፍል፣ ወደ 70 የሚጠጉ ማስረጃዎች እና ሰፊ ተጨማሪ መረጃዎች (እንግሊዝኛ)

ዊኪሚዲያ ፋውንዴሽን።