ቅንፍቹን ወደ አከፋፋይ ንብረት እንከፍታለን። የመክፈቻ ቅንፎች፡ ደንቦች እና ምሳሌዎች (7ኛ ክፍል)

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ እንደነዚህ ያሉትን መሠረታዊ ደንቦች በዝርዝር እንመለከታለን ጠቃሚ ርዕስየሂሳብ ትምህርት፣ ልክ እንደ ቅንፍ መክፈት። ጥቅም ላይ የሚውሉበትን እኩልታዎች በትክክል ለመፍታት ቅንፎችን ለመክፈት ደንቦችን ማወቅ ያስፈልግዎታል.

ሲጨመሩ ቅንፍ በትክክል እንዴት እንደሚከፈት

ከ "+" ምልክት በፊት ያሉትን ቅንፎች ዘርጋ

ይህ በጣም ቀላሉ ጉዳይ ነው, ምክንያቱም ከመያዣዎቹ ፊት ለፊት የመደመር ምልክት ካለ, ማቀፊያዎቹ ሲከፈቱ በውስጣቸው ያሉት ምልክቶች አይለወጡም. ለምሳሌ፥

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

ከ "-" ምልክት በፊት ቅንፍ እንዴት እንደሚሰፋ

በዚህ ሁኔታ, ሁሉንም ውሎች ያለ ቅንፍ እንደገና መፃፍ ያስፈልግዎታል, ግን በተመሳሳይ ጊዜ በውስጣቸው ያሉትን ምልክቶች በሙሉ ወደ ተቃራኒዎች ይለውጡ. ምልክቶቹ የሚለወጡት ከ "-" ምልክት በፊት ከነበሩት ቃላቶች ብቻ ነው. ለምሳሌ፥

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

ሲባዙ ቅንፍ እንዴት እንደሚከፈት

ከቅንፎቹ በፊት ብዙ ቁጥር አለ

በዚህ ሁኔታ, እያንዳንዱን ቃል በፋክተር ማባዛት እና ምልክቶቹን ሳይቀይሩ ቅንፎችን መክፈት ያስፈልግዎታል. ማባዣው የ “-” ምልክት ካለው፣ በማባዛት ወቅት የቃላቶቹ ምልክቶች ይገለበጣሉ። ለምሳሌ፥

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

በመካከላቸው በማባዛት ምልክት ሁለት ቅንፍ እንዴት እንደሚከፈት

በዚህ ሁኔታ እያንዳንዱን ቃል ከመጀመሪያው ቅንፎች በእያንዳንዱ ቃል ከሁለተኛው ቅንፎች ጋር ማባዛትና ከዚያም ውጤቱን መጨመር ያስፈልግዎታል. ለምሳሌ፥

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

በካሬ ውስጥ ቅንፍ እንዴት እንደሚከፈት

የሁለት ቃላት ድምር ወይም ልዩነት በካሬ ከሆነ፣ ቅንፍዎቹ በሚከተለው ቀመር መከፈት አለባቸው።

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2።

በቅንፍ ውስጥ ሲቀነስ, ቀመሩ አይለወጥም. ለምሳሌ፥

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

ቅንፍ ወደ ሌላ ዲግሪ እንዴት እንደሚሰፋ

የቃላቶቹ ድምር ወይም ልዩነት ለምሳሌ ወደ 3 ኛ ወይም 4 ኛ ሃይል ከተነሳ ታዲያ የማቀፊያውን ኃይል ወደ "ካሬዎች" መስበር ብቻ ያስፈልግዎታል። ተመሳሳይ ሁኔታዎች ኃይላት ተጨምረዋል, እና ሲከፋፈሉ, የአከፋፋዩ ኃይል ከክፋዩ ኃይል ይቀንሳል. ለምሳሌ፥

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

3 ቅንፎችን እንዴት እንደሚከፍት

3 ቅንፎች በአንድ ጊዜ የሚባዙበት እኩልታዎች አሉ። በዚህ ሁኔታ በመጀመሪያ የመጀመሪያዎቹን ሁለት ቅንፎች በአንድ ላይ ማባዛት እና ከዚያም የዚህን ማባዛት ድምር በሶስተኛው ቅንፍ ውሎች ማባዛት አለብዎት. ለምሳሌ፥

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

እነዚህ ቅንፎችን ለመክፈት ደንቦች ሁለቱንም መስመራዊ እና ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት እኩል ይሠራሉ።

በሁሉም ቦታ። የትም ቦታ እና የትም ቦታ ሲመለከቱ እነዚህን ንድፎች ማየት ይችላሉ፡

እነዚህ "ግንባታዎች" ማንበብና መጻፍ የሚችሉ ሰዎችን ያስከትላሉ ድብልቅ ምላሽ. ቢያንስ እንደ “ይህ በእርግጥ ትክክል ነው?”
በአጠቃላይ እኔ በግሌ የውጪ ጥቅሶችን ያለመዘጋት “ፋሽን” ከየት እንደመጣ ሊገባኝ አልቻለም። ወደዚህ የሚመጣው የመጀመሪያው እና ብቸኛው ተመሳሳይነት ከቅንፍ ጋር ያለው ተመሳሳይነት ነው። በአንድ ረድፍ ውስጥ ሁለት ቅንፎች የተለመዱ መሆናቸውን ማንም አይጠራጠርም. ለምሳሌ፡- “ለመላው የደም ዝውውሩ ክፍያ (200 ቁርጥራጮች (ከነሱ 100 ጉድለት ያለባቸው))። ግን አንድ ሰው ሁለት የትዕምርተ ጥቅስ ምልክቶችን በተከታታይ የማስቀመጥ መደበኛነት ተጠራጠረ (የመጀመሪያው ማን ነበር ብዬ አስባለሁ) ... እና አሁን ሁሉም ሰው ሙሉ በሙሉ ሆኗል ። ንፁህ ህሊናእንደ Firm Pupkov እና Co. LLC ያሉ መዋቅሮችን ለማምረት.
ነገር ግን በህይወትዎ ውስጥ ያለውን ህግ በጭራሽ አይተውት የማያውቁት ቢሆንም, ከዚህ በታች ይብራራል, ብቸኛው ምክንያታዊ አማራጭ (የቅንፍ ምሳሌን በመጠቀም) የሚከተለው ይሆናል LLC Firm Pupkov እና Co.
ስለዚህ ደንቡ ራሱ፡-
በትእምርተ ጥቅሱ መጀመሪያ ወይም መጨረሻ ላይ (በቀጥታ ንግግር ላይ ተመሳሳይ ነው) የውስጥ እና የውጭ ጥቅስ ምልክቶች ካሉ ፣ በንድፍ ("herringbones" እና "petals" የሚባሉት) እርስ በእርስ ሊለያዩ ይገባል ። እና የውጪው ጥቅስ ምልክቶች መተው የለባቸውም፣ ለምሳሌ፡- ሐ የእንፋሎት አቅራቢው ጎኖች “ሌኒንግራድ ሞቃታማ አካባቢዎች ውስጥ ገብታ በሂደት ላይ ነች። ቤሊንስኪ ስለ ዙኮቭስኪ እንዲህ ሲል ጽፏል:- “የዙክኮቭስኪ ወጣት ዘመን የነበሩ ሰዎች በዋነኝነት እንደ ባላድ ደራሲ ይመለከቱት ነበር እና ባትዩሽኮቭ ከጻፋቸው ደብዳቤዎች በአንዱ “ባላዴር” ብለውታል።
© የሩሲያ የፊደል አጻጻፍ እና ሥርዓተ-ነጥብ ደንቦች. - ቱላ: አውቶግራፍ, 1995. - 192 p.
በዚህ መሠረት ... "የሄሪንግቦን" ጥቅሶችን ለመተየብ እድሉ ከሌለ ምን ማድረግ ይችላሉ, እንደዚህ ያሉ "" አዶዎችን መጠቀም አለብዎት. ሆኖም ግን, የሩስያ ጥቅስ ምልክቶችን ለመጠቀም አለመቻል (ወይም ፈቃደኛ አለመሆን) በምንም መልኩ የውጭ ጥቅሶችን መዝጋት የማይችሉበት ምክንያት አይደለም.

ስለዚህ, የ LLC "Firm Pupkov and Co" ንድፍ ትክክለኛነት የተደረደሩ ይመስላል.
እንደነዚህ ያሉ ግንባታዎች ማንበብና መጻፍ የማይችሉ መሆናቸውን ከህጉ ሙሉ በሙሉ ግልጽ ነው ... (ትክክል: LLC "firm Pupkov and Co"

ቢሆንም!
በኤ.ኢ.ሚልቺን (2004 እትም) “የአታሚ እና የደራሲ መመሪያ” እንደዚህ ባሉ ጉዳዮች ላይ ሁለት የንድፍ አማራጮችን መጠቀም እንደሚቻል ይገልጻል። የ "ሄሪንግቦኖች" እና "እግር" እና (ቴክኒካዊ መንገዶች በሌሉበት) "ሄርንግቦንስ" ብቻ መጠቀም: ሁለት መክፈቻዎች እና አንድ መዝጊያ.
ማውጫው "ትኩስ" ነው እና በግሌ ወዲያውኑ እዚህ 2 ጥያቄዎች አሉኝ. በመጀመሪያ ፣ አንድ ሰው በየትኛው ደስታ አንድ የመዝጊያ ጥቅስ ምልክት ሊጠቀም ይችላል (ጥሩ ፣ ይህ ምክንያታዊ አይደለም ፣ ከላይ ይመልከቱ) እና ሁለተኛ ፣ “ቴክኒካዊ መንገዶች በሌሉበት” የሚለው ሐረግ በተለይ ትኩረትን ይስባል። ይህ እንዴት ነው ይቅርታ? አሁን ማስታወሻ ደብተር ይክፈቱ እና “የገና ዛፎችን ብቻ፡ ሁለት መክፈቻና አንድ መዝጊያ” ብለው ይተይቡ። በቁልፍ ሰሌዳው ላይ እንደዚህ ያሉ ምልክቶች የሉም። "ሄሪንግቦን" ማተም አልችልም ... Shift + 2 ጥምር ምልክቱን ይፈጥራል (ይህም እንደሚያውቁት የጥቅስ ምልክት አይደለም) አሁን ይክፈቱ ማይክሮሶፍት ዎርድእና እንደገና Shift + 2 ን ይጫኑ ፕሮግራሙ "ወደ" (ወይም") ያስተካክላል. ደህና, ለብዙ አሥርተ ዓመታት የነበረው ደንብ ተወስዶ በ Microsoft Word ውስጥ እንደገና ተጽፏል? ልክ እንደ ቃሉ ከ "ጽኑ" ፑፕኮቭ ጀምሮ. እና ኮ"" ጽኑ "ፑፕኮቭ እና ኮ" ያደርገዋል, ከዚያ ይህ አሁን ተቀባይነት ያለው እና ትክክል ይሁን ???
ይመስላል። እና ይህ ከሆነ, የእንደዚህ አይነት ፈጠራ ትክክለኛነት ለመጠራጠር በቂ ምክንያት አለ.

አዎ፣ እና አንድ ተጨማሪ ማብራሪያ... ስለ “ቴክኒካል ዘዴዎች እጥረት”። እውነታው ግን በማንኛውም የዊንዶውስ ኮምፒዩተር ላይ ሁልጊዜ " ቴክኒካዊ መንገዶች"ለሁለቱም "የገና ዛፎች" እና "ፓውስ" ለመግባት, ስለዚህ ይህ አዲስ "ደንብ" (ለእኔ በጥቅሶች ውስጥ ነው) ከመጀመሪያው ጀምሮ ትክክል አይደለም!

በቅርጸ-ቁምፊ ውስጥ ያሉ ሁሉም ልዩ ቁምፊዎች የዚያን ቁምፊ ተጓዳኝ ቁጥር በማወቅ በቀላሉ መተየብ ይችላሉ። በቀላሉ Alt ን ተጭነው በNumLock ቁልፍ ሰሌዳ ላይ ይተይቡ (NumLock ተጭኗል፣ አመልካች መብራቱ በርቷል) ተጓዳኝ የምልክት ቁጥር፡-

Alt + 0132 (በግራ “እግር”)
" Alt + 0147 (ቀኝ እግር)
« Alt + 0171 (የግራ ሄሪንግ አጥንት)
» Alt + 0187 (የቀኝ ሄሪንግ አጥንት)

የቅንፍ ዋና ተግባር እሴቶችን ሲያሰሉ የእርምጃዎችን ቅደም ተከተል መቀየር ነው. ለምሳሌ፣ ቪ በቁጥር\(5·3+7\) ማባዛቱ መጀመሪያ ይሰላል፣ ከዚያም መደመሩ፡ \(5·3+7 =15+7=22\)። ነገር ግን \(5·(3+7)\) በሚለው አገላለጽ) በቅንፍ ውስጥ ያለው መደመር መጀመሪያ ይሰላል፣ እና ከዚያ ማባዛቱ ብቻ፡ \(5·(3+7)=5·10=50\)።

ለምሳሌ። ማቀፊያውን ዘርጋ፡ \(-(4m+3)\)።
መፍትሄ : \(-(4m+3)=-4ም-3 \)።

ለምሳሌ። ቅንፍውን ይክፈቱ እና ተመሳሳይ ቃላትን ይስጡ \(5-(3x+2)+(2+3x)\)።
መፍትሄ : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\)።

ለምሳሌ። ቅንፎችን ዘርጋ \(5(3-x)\)።
መፍትሄ በቅንፍ ውስጥ \(3\) እና \(-x \) አሉን ፣ እና ከቅንፉ በፊት አምስት አለ። ይህ ማለት እያንዳንዱ የቅንፍ አባል በ \(5 \) ተባዝቷል - ያንን አስታውሳችኋለሁ የመግቢያዎችን መጠን ለመቀነስ በቁጥር እና በቅንፍ መካከል ያለው የማባዛት ምልክት በሂሳብ አልተፃፈም።.

ለምሳሌ። ቅንፎችን ዘርጋ \(-2(-3x+5)\)።
መፍትሄ : በቀደመው ምሳሌ እንደሚታየው በቅንፍ ውስጥ ያሉት \(-3x\) እና \(5\) በ \(-2\) ተባዝተዋል።

ለምሳሌ። አገላለጹን ቀለል ያድርጉት፡ \(5(x+y)-2(x-y)\)።
መፍትሄ : \(5(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\)።

የመጨረሻውን ሁኔታ ግምት ውስጥ ማስገባት ይቀራል.

ቅንፍ በቅንፍ ሲያባዙ፣ የመጀመሪያው ቅንፍ እያንዳንዱ ቃል በእያንዳንዱ የሁለተኛው ጊዜ ይባዛል፡

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

ለምሳሌ። ቅንፎችን ዘርጋ \((2-x) (3x-1)\)።
መፍትሄ : የቅንፍ ምርት አለን እና ከላይ ያለውን ቀመር በመጠቀም ወዲያውኑ ሊገለጥ ይችላል. ግን ግራ እንዳንገባ ሁሉንም ነገር ደረጃ በደረጃ እናድርግ።
ደረጃ 1 የመጀመሪያውን ቅንፍ ያስወግዱ - እያንዳንዱን ውሎች በሁለተኛው ቅንፍ ያባዙ።

ደረጃ 2. ከላይ እንደተገለፀው የቅንፍዎቹን ምርቶች እና ምክንያቱን ዘርጋ፡
- መጀመሪያ ነገሮች መጀመሪያ...

ከዚያም ሁለተኛው.

ደረጃ 3፡ አሁን በማባዛትና ተመሳሳይ ቃላትን እናቀርባለን።

ሁሉንም ለውጦች በዚህ ዝርዝር ውስጥ መግለጽ አስፈላጊ አይደለም, ወዲያውኑ ማባዛት ይችላሉ. ነገር ግን ቅንፍ እንዴት እንደሚከፍት እየተማርክ ከሆነ, በዝርዝር ጻፍ, ስህተቶችን የመሥራት እድሉ አነስተኛ ይሆናል.

ማስታወሻ ለጠቅላላው ክፍል።እንደ እውነቱ ከሆነ, ሁሉንም አራቱን ደንቦች ማስታወስ አያስፈልግዎትም, አንድ ብቻ ማስታወስ ያስፈልግዎታል, ይህ: \(c(a-b)=ca-cb\) . ለምን፧ ምክንያቱም ከ c ይልቅ አንዱን ብትተኩት \((a-b)=a-b\) የሚለውን መመሪያ ታገኛለህ። እና አንዱን ከተቀነስን, ደንቡን እናገኛለን \(-(a-b)=-a+b\) . ደህና፣ ከ c ይልቅ ሌላ ቅንፍ ብትተኩ የመጨረሻውን ህግ ልታገኝ ትችላለህ።

በቅንፍ ውስጥ ያለ ቅንፍ

አንዳንድ ጊዜ በተግባር በሌሎች ቅንፎች ውስጥ በተገጠሙ ቅንፎች ላይ ችግሮች አሉ. የእንደዚህ አይነት ተግባር ምሳሌ እዚህ አለ፡ አገላለጹን ቀለል ያድርጉት \(7x+2(5-(3x+y))\)።

እንደዚህ ያሉ ስራዎችን በተሳካ ሁኔታ ለመፍታት የሚከተሉትን ያስፈልግዎታል:
- የቅንፎችን መክተቻ በጥንቃቄ ይረዱ - የትኛው ውስጥ ነው;
- ቅንፎችን በቅደም ተከተል ይክፈቱ ፣ ለምሳሌ ፣ ከውስጣዊው ጋር ይጀምሩ።

አንዱን ቅንፍ ሲከፍት አስፈላጊ ነው የቀረውን አገላለጽ አይንኩ፣ እንደነበረው እንደገና መጻፍ።
ከላይ የተጻፈውን ተግባር እንደ ምሳሌ እንመልከት።

ለምሳሌ። ቅንፎችን ይክፈቱ እና ተመሳሳይ ቃላትን ይስጡ \(7x+2(5-(3x+y)))\)።
መፍትሄ፡-

ለምሳሌ። ቅንፎችን ይክፈቱ እና ተመሳሳይ ቃላትን ይስጡ \(-(x+3(2x-1+(x-5))))\)።
መፍትሄ :

ቅንፍ ማስፋፋት በሂሳብ ውስጥ መሰረታዊ ችሎታ ነው። ይህ ክህሎት ከሌለ በ8ኛ እና በ9ኛ ክፍል ከ C በላይ ማግኘት አይቻልም። ስለዚህ, ይህንን ርዕስ በደንብ እንድትረዱት እመክራችኋለሁ.

በዚህ ትምህርት ውስጥ ቅንፍ የያዘውን አገላለጽ ያለ ቅንፍ ወደ አገላለጽ እንዴት መቀየር እንደሚችሉ ይማራሉ. ከመደመር ምልክት እና ከመቀነስ ምልክት በፊት ቅንፍ እንዴት እንደሚከፍት ይማራሉ። የማባዛት አከፋፋይ ህግን በመጠቀም እንዴት ቅንፎችን መክፈት እንዳለብን እናስታውሳለን። የታሰቡ ምሳሌዎች አዲስ እና ቀደም ሲል የተጠኑ ነገሮችን ወደ አንድ ነጠላ ማገናኘት ያስችሉዎታል።

ርዕስ፡ እኩልታዎችን መፍታት

ትምህርት፡ ቅንጅቶችን ማስፋፋት።

በ"+" ምልክት የቀደመ ቅንፍ እንዴት እንደሚሰፋ። የመደመር ተጓዳኝ ህግን በመጠቀም።

የሁለት ቁጥሮች ድምርን ወደ ቁጥር ማከል ከፈለጉ በመጀመሪያ የመጀመሪያውን ቃል ወደዚህ ቁጥር ከዚያም ሁለተኛውን ማከል ይችላሉ።

ከእኩል ምልክት በስተግራ በቅንፍ ያለው አገላለጽ ነው፣ በቀኝ በኩል ደግሞ ቅንፍ የሌለበት አገላለጽ አለ። ይህ ማለት ከእኩልነት በግራ በኩል ወደ ቀኝ ሲንቀሳቀስ የቅንፍ መከፈት ተከስቷል.

ምሳሌዎችን እንመልከት።

ምሳሌ 1.

ቅንፎችን በመክፈት, የእርምጃዎችን ቅደም ተከተል ቀይረናል. ለመቁጠር የበለጠ አመቺ ሆኗል.

ምሳሌ 2.

ምሳሌ 3.

በሦስቱም ምሳሌዎች ውስጥ ቅንፎችን በቀላሉ አስወግደናል. ደንብ እንፍጠር፡-

አስተያየት.

በቅንፍ ውስጥ ያለው የመጀመሪያው ቃል ካልተፈረመ, ከዚያም በመደመር ምልክት መፃፍ አለበት.

ምሳሌውን ደረጃ በደረጃ መከተል ይችላሉ. በመጀመሪያ, 445 ወደ 889 ጨምር. ይህ ድርጊት በአእምሮ ሊከናወን ይችላል, ግን በጣም ቀላል አይደለም. ቅንፎችን እንከፍተው እና የተለወጠው አሰራር ስሌቶችን በከፍተኛ ሁኔታ ቀላል ያደርገዋል.

የተጠቆመውን አሰራር ከተከተሉ በመጀመሪያ 345 ን ከ 512 መቀነስ አለብዎት, ከዚያም 1345 ን ወደ ውጤቱ በመጨመር ቅንፎችን በመክፈት ሂደቱን እንለውጣለን እና ስሌቶችን በከፍተኛ ሁኔታ ቀላል እናደርጋለን.

ምሳሌ እና ደንብን ያሳያል።

አንድ ምሳሌ እንመልከት፡- . 2 እና 5 ን በመጨመር እና ውጤቱን ቁጥር ከተቃራኒ ምልክት ጋር በማያያዝ የመግለፅን ዋጋ ማግኘት ይችላሉ. እናገኛለን -7.

በሌላ በኩል, የመጀመሪያዎቹን ተቃራኒ ቁጥሮች በመጨመር ተመሳሳይ ውጤት ሊገኝ ይችላል.

ደንብ እንፍጠር፡-

ምሳሌ 1.

ምሳሌ 2.

በቅንፍ ውስጥ ሶስት ወይም ከዚያ በላይ ቃላት እንጂ ሁለት ካልሆኑ ደንቡ አይለወጥም.

ምሳሌ 3.

አስተያየት. ምልክቶቹ የሚገለበጡት ከውሎቹ ፊት ብቻ ነው።

ቅንፎችን ለመክፈት በዚህ ሁኔታ ውስጥ የአከፋፋይ ንብረትን ማስታወስ አለብን.

በመጀመሪያ ፣ የመጀመሪያውን ቅንፍ በ 2 ፣ እና ሁለተኛው በ 3 ያባዙ።

የመጀመሪያው ቅንፍ ከ "+" ምልክት በፊት ነው, ይህም ማለት ምልክቶቹ ሳይለወጡ መተው አለባቸው. ሁለተኛው ምልክት በ "-" ምልክት ይቀድማል, ስለዚህ, ሁሉም ምልክቶች ወደ ተቃራኒው መቀየር ያስፈልጋቸዋል

ዋቢዎች

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. ሂሳብ 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. ሒሳብ 6ኛ ክፍል። - ጂምናዚየም, 2006.
3. ዴፕማን አይ.ያ., ቪሌንኪን ኤን.ያ. ከሂሳብ መማሪያ መጽሐፍ ገጾች በስተጀርባ። - መገለጥ, 1989.
4. ሩሩኪን ኤ.ኤን., ቻይኮቭስኪ I.V. ከ5-6ኛ ክፍል ለሂሳብ ኮርስ ምደባ - ZSh MEPhI፣ 2011።
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. ሒሳብ 5-6. በMEPhI የደብዳቤ ልውውጥ ትምህርት ቤት የ6ኛ ክፍል ተማሪዎች መመሪያ። - ZSh MEPhI፣ 2011
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. ሒሳብ፡- ከ5-6ኛ ክፍል የመማሪያ መጽሐፍ-ኢንተርሎኩተር ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት. የሂሳብ መምህር ቤተ መጻሕፍት. - መገለጥ, 1989.

1. የመስመር ላይ ሙከራዎች በሂሳብ ().
2. በአንቀጽ 1.2 የተገለጹትን ማውረድ ይችላሉ. መጽሐፍት ().

የቤት ስራ

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. ሂሳብ 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (አገናኝ 1.2 ይመልከቱ)
2. የቤት ሥራ፡ ቁጥር 1254፣ ቁጥር 1255፣ ቁጥር 1256 (ለ፣ መ)
3. ሌሎች ተግባራት፡ ቁጥር 1258(ሐ)፣ ቁጥር 1248