መስመራዊ ጥገኛእና የቬክተሮች ቀጥተኛ ነፃነት.
የቬክተሮች መሠረት. የአፊን ስርዓትመጋጠሚያዎች

በአዳራሹ ውስጥ ቸኮሌት ያለው ጋሪ አለ ፣ እና እያንዳንዱ ጎብኚ ዛሬ ጣፋጭ ባልና ሚስት ያገኛሉ - የትንታኔ ጂኦሜትሪ ከመስመር አልጀብራ ጋር። ይህ መጣጥፍ በአንድ ጊዜ የከፍተኛ ሂሳብ ሁለት ክፍሎችን ይዳስሳል፣ እና በአንድ ጥቅል ውስጥ እንዴት አብረው እንደሚኖሩ እንመለከታለን። እረፍት ይውሰዱ ፣ Twix ይበሉ! ... እርግማን፣ ምን አይነት ከንቱዎች ስብስብ ነው። ምንም እንኳን፣ እሺ፣ አላስቆጥርም፣ በመጨረሻ፣ ለማጥናት አዎንታዊ አመለካከት ሊኖርህ ይገባል።

የቬክተሮች ቀጥተኛ ጥገኛ, የመስመር ቬክተር ነፃነት, የቬክተሮች መሠረትእና ሌሎች ቃላት የጂኦሜትሪክ ትርጉም ብቻ ሳይሆን፣ ከሁሉም በላይ፣ አልጀብራ ትርጉም አላቸው። ከመስመር አልጀብራ አንፃር የ“ቬክተር” ጽንሰ-ሀሳብ ሁል ጊዜ በአውሮፕላንም ሆነ በህዋ ላይ የምናሳየው “ተራ” ቬክተር አይደለም። ለማስረጃ ሩቅ መፈለግ አያስፈልግዎትም፣ ባለ አምስት አቅጣጫዊ ቦታ ቬክተር ለመሳል ይሞክሩ . ወይም ወደ ጂስሜቴዮ የሄድኩት የአየር ሁኔታ ቬክተር፡ የሙቀት መጠን እና የከባቢ አየር ግፊት በቅደም ተከተል። ምሳሌ, እርግጥ ነው, የቬክተር ቦታ ንብረቶች እይታ ነጥብ ጀምሮ ትክክል አይደለም, ነገር ግን, ማንም ሰው እነዚህን መለኪያዎች እንደ ቬክተር formalize አይከለክልም. የበልግ እስትንፋስ...

አይ፣ በቲዎሪ፣ በሊኒየር ቬክተር ክፍተቶች አላሰለቸኝዎትም፣ ተግባሩ ማድረግ ነው። መረዳትትርጓሜዎች እና ጽንሰ-ሐሳቦች. አዲሶቹ ቃላቶች (የመስመራዊ ጥገኝነት፣ ነፃነት፣ መስመራዊ ጥምር፣ መሰረት፣ ወዘተ.) ሁሉንም ቬክተሮች ከአልጀብራዊ እይታ አንጻር ይተገበራሉ፣ነገር ግን የጂኦሜትሪክ ምሳሌዎች ይሰጣሉ። ስለዚህ, ሁሉም ነገር ቀላል, ተደራሽ እና ግልጽ ነው. ከትንታኔ ጂኦሜትሪ ችግሮች በተጨማሪ፣ አንዳንድ የተለመዱ የአልጀብራ ችግሮችንም እንመለከታለን። ትምህርቱን ለመቆጣጠር እራስዎን ከትምህርቶቹ ጋር በደንብ እንዲያውቁት ይመከራል Vectors ለ dummiesእና ወሳኙን እንዴት ማስላት ይቻላል?

የአውሮፕላን ቬክተሮች ቀጥተኛ ጥገኛ እና ነፃነት።
የአውሮፕላን መሠረት እና የአፊን ቅንጅት ስርዓት

የእርስዎን አውሮፕላን ግምት ውስጥ ያስገቡ የኮምፒተር ዴስክ(ጠረጴዛ ብቻ ፣ የአልጋ ጠረጴዛ ፣ ወለል ፣ ጣሪያ ፣ የሚወዱትን ሁሉ)። ተግባሩ የሚከተሉትን ተግባራት ያቀፈ ይሆናል-

1) የአውሮፕላን መሠረት ይምረጡ. በመጠኑ አነጋገር የጠረጴዛው ጫፍ ርዝመትና ስፋት ስላለው መሠረቱን ለመሥራት ሁለት ቬክተሮች እንደሚያስፈልጉት ሊታወቅ የሚችል ነው። አንድ ቬክተር በግልጽ በቂ አይደለም, ሶስት ቬክተሮች በጣም ብዙ ናቸው.

2) በተመረጠው መሠረት ቅንጅት ሥርዓት አዘጋጅ(መጋጠሚያ ፍርግርግ) በጠረጴዛው ላይ ለሚገኙ ሁሉም ነገሮች መጋጠሚያዎችን ለመመደብ.

አትደነቁ, መጀመሪያ ላይ ማብራሪያዎቹ በጣቶቹ ላይ ይሆናሉ. ከዚህም በላይ, በእርስዎ ላይ. እባክዎን ያስቀምጡ አመልካች ጣትግራ እጅመቆጣጠሪያውን እንዲመለከት በጠረጴዛው ጫፍ ላይ. ይህ ቬክተር ይሆናል. አሁን ቦታ ትንሽ ጣት ቀኝ እጅ በጠረጴዛው ጠርዝ ላይ በተመሳሳይ መንገድ - በማያ ገጹ ላይ እንዲመራው. ይህ ቬክተር ይሆናል. ፈገግ ይበሉ ፣ በጣም ጥሩ ይመስላል! ስለ ቬክተሮች ምን ማለት እንችላለን? የውሂብ ቬክተሮች ኮላይኔርማለት ነው። መስመራዊእርስ በእርሳቸው ይገለጻሉ:
, ጥሩ, ወይም በተቃራኒው:, አንዳንድ ቁጥር ከዜሮ የተለየ የት ነው.

በክፍል ውስጥ የዚህን ድርጊት ምስል ማየት ይችላሉ. Vectors ለ dummies፣ ቬክተርን በቁጥር የማባዛት ደንቡን ገለጽኩበት።

ጣቶችዎ በኮምፒተር ጠረጴዛው አውሮፕላን ላይ መሰረት ያዘጋጃሉ? እንዳልሆነ ግልጽ ነው። ኮላይኔር ቬክተሮች ወደ ኋላ እና ወደ ፊት ይጓዛሉ ብቻውንአቅጣጫ, እና አውሮፕላን ርዝመት እና ስፋት አለው.

እንደዚህ አይነት ቬክተሮች ይባላሉ በመስመር ላይ ጥገኛ.

ዋቢ፡ "መስመራዊ", "መስመራዊ" የሚሉት ቃላት በሂሳብ እኩልታዎች እና አገላለጾች ውስጥ ካሬዎች, ኪዩቦች, ሌሎች ሀይሎች, ሎጋሪዝም, ሳይን, ወዘተ የሌሉበትን እውነታ ያመለክታሉ. ቀጥተኛ (1 ኛ ዲግሪ) መግለጫዎች እና ጥገኞች ብቻ አሉ።

ሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛከሆነ እና እነሱ ኮላይነር ከሆኑ ብቻ.

በመካከላቸው ከ 0 ወይም 180 ዲግሪዎች ውጭ የሆነ አንግል እንዲኖር ጣቶችዎን በጠረጴዛው ላይ ያቋርጡ። ሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮችመስመራዊ አይደለምኮላይነር ካልሆኑ ብቻ ጥገኛ ነው።. ስለዚህ, መሠረቱ ተገኝቷል. መሠረቱ የተለያየ ርዝመት ያላቸው ቋሚ ባልሆኑ ቬክተሮች "የተጣመመ" ሆኖ መገኘቱን ማሳፈር አያስፈልግም. በጣም በቅርብ ጊዜ የ 90 ዲግሪ ማዕዘን ብቻ ሳይሆን ለግንባታው ተስማሚ መሆኑን እና እኩል ርዝመት ያላቸውን ቬክተሮች ብቻ ሳይሆን እናያለን.

ማንኛውምየአውሮፕላን ቬክተር ብቸኛው መንገድበመሠረት መሠረት ይስፋፋል-
እውነተኛ ቁጥሮች የት አሉ? ቁጥሮቹ ተጠርተዋል የቬክተር መጋጠሚያዎችበዚህ መሠረት.

እንደሆነም ተነግሯል። ቬክተርተብሎ ቀርቧል መስመራዊ ጥምረትመሠረት ቬክተሮች. ማለትም አገላለጹ ይባላል የቬክተር መበስበስበመሠረትወይም መስመራዊ ጥምረትመሠረት ቬክተሮች.

ለምሳሌ, ቬክተሩ በአውሮፕላኑ ውስጥ በኦርቶዶክሳዊ መሠረት ተበላሽቷል ማለት እንችላለን, ወይም እንደ ቀጥተኛ የቬክተሮች ጥምረት ይወከላል ማለት እንችላለን.

እንቅረፅ የመሠረት ትርጉምመደበኛ፡ የአውሮፕላኑ መሠረትጥንድ ቀጥተኛ ገለልተኛ (ኮላይነር ያልሆኑ) ቬክተሮች ይባላል። ፣ እያለ ማንኛውምየአውሮፕላን ቬክተር የመሠረት ቬክተሮች መስመራዊ ጥምረት ነው።

የትርጓሜው አስፈላጊ ነጥብ ቬክተሮች መወሰዳቸው ነው በተወሰነ ቅደም ተከተል. መሠረቶች - እነዚህ ሁለት ሙሉ ለሙሉ የተለያዩ መሠረቶች ናቸው! እነሱ እንደሚሉት ፣ በቀኝ እጃችሁ ትንሽ ጣት ምትክ የግራ እጃችሁን ትንሽ ጣት መተካት አይችሉም።

መሰረቱን አውጥተናል፣ ነገር ግን የተቀናጀ ፍርግርግ ማዘጋጀት እና በኮምፒተርዎ ጠረጴዛ ላይ ለእያንዳንዱ ንጥል መጋጠሚያዎችን መመደብ በቂ አይደለም። ለምን በቂ አይደለም? ቬክተሮቹ ነፃ ናቸው እና በመላው አውሮፕላን ውስጥ ይንከራተታሉ። ስለዚህ ከዱር ቅዳሜና እሁድ በኋላ ለቀሩት በጠረጴዛው ላይ ለእነዚያ ትንሽ ቆሻሻ ቦታዎች መጋጠሚያዎችን እንዴት ይመድባሉ? መነሻ ነጥብ ያስፈልጋል። እና እንደዚህ ዓይነቱ ምልክት ለሁሉም ሰው የሚታወቅ ነጥብ ነው - የመጋጠሚያዎች አመጣጥ። የአስተባባሪ ስርዓቱን እንረዳ፡-

በ "ትምህርት ቤት" ስርዓት እጀምራለሁ. ቀድሞውኑ በመግቢያ ትምህርት ውስጥ Vectors ለ dummiesበአራት ማዕዘን ቅንጅት ስርዓት እና በኦርቶዶክስ መሠረት መካከል አንዳንድ ልዩነቶችን አጉልቻለሁ። መደበኛው ሥዕል ይኸውና፡-

ሲያወሩ አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት, ከዚያም ብዙውን ጊዜ መነሻው, መጥረቢያዎችን እና ሚዛንን በመጥረቢያዎቹ ላይ ያስተባብራሉ. በፍለጋ ሞተር ውስጥ "አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ስርዓት" ለመተየብ ይሞክሩ እና ብዙ ምንጮች ከ5ኛ-6ኛ ክፍል ስለሚያውቁት የአስተባበር መጥረቢያዎች እና በአውሮፕላን ላይ ነጥቦችን እንዴት ማቀድ እንደሚችሉ ይነግሩዎታል።

በሌላ በኩል, ይመስላል አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ስርዓትመጋጠሚያዎች ሙሉ በሙሉ በኦርቶዶክሳዊ መሠረት ሊወሰኑ ይችላሉ. ያ ደግሞ እውነት ነው ማለት ይቻላል። ቃላቱ እንደሚከተለው ነው.

መነሻ, እና ኦርቶዶክሳዊመሰረቱ ተዘጋጅቷል የካርቴዥያ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የአውሮፕላን ማስተባበሪያ ስርዓት . ማለትም አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ቅንጅት ሥርዓት በእርግጠኝነትበአንድ ነጥብ እና በሁለት አሃድ ኦርቶጎን ቬክተሮች ይገለጻል. ለዚህም ነው ከላይ የሰጠሁትን ስዕል የምታዩት - በጂኦሜትሪክ ችግሮች ውስጥ ሁለቱም ቬክተሮች እና አስተባባሪ መጥረቢያዎች ብዙውን ጊዜ (ግን ሁልጊዜ አይደለም) ይሳሉ።

እኔ እንደማስበው ነጥብ (ኦሪጅናል) እና ኦርቶዶክሳዊ መሠረት በመጠቀም ሁሉም ሰው የሚረዳው ይመስለኛል በአውሮፕላኑ ላይ ያለ ማንኛውም ነጥብ እና በአውሮፕላኑ ላይ ያለ ማንኛውም VECTORመጋጠሚያዎች ሊመደቡ ይችላሉ. በምሳሌያዊ አነጋገር፣ “በአውሮፕላኑ ውስጥ ያሉት ሁሉም ነገሮች ሊቆጠሩ ይችላሉ።

የተቀናጁ ቬክተሮች አሃድ እንዲሆኑ ያስፈልጋል? አይ፣ የዘፈቀደ ዜሮ ያልሆነ ርዝመት ሊኖራቸው ይችላል። የዘፈቀደ ዜሮ ያልሆነ ርዝመት አንድ ነጥብ እና ሁለት ኦርቶጎን ቬክተሮችን አስቡባቸው፡

እንዲህ ዓይነቱ መሠረት ይባላል orthogonal. ከቬክተሮች ጋር የመጋጠሚያዎች አመጣጥ በተቀናጀ ፍርግርግ ይገለጻል, እና በአውሮፕላኑ ላይ ያለው ማንኛውም ነጥብ, ማንኛውም ቬክተር በተወሰነው መሰረት መጋጠሚያዎች አሉት. ለምሳሌ, ወይም. ግልጽ የሆነ አለመመቸት አስተባባሪዎቹ ቬክተሮች ናቸው በአጠቃላይ ሁኔታከአንድነት ሌላ የተለያየ ርዝመት አላቸው. ርዝመቶቹ ከአንድነት ጋር እኩል ከሆኑ, የተለመደው የኦርቶዶክስ መሠረት ተገኝቷል.

! ማስታወሻ : በኦርቶጎን መሠረት ፣ እንዲሁም በአውሮፕላን እና በቦታ አፊን መሠረቶች ውስጥ ፣ በመጥረቢያዎቹ ላይ ያሉ ክፍሎች ይቆጠራሉ። ሁኔታዊ. ለምሳሌ በ x-ዘንግ በኩል ያለው አንድ አሃድ 4 ሴ.ሜ ይይዛል፣ በ ordinate ዘንግ በኩል ያለው አንድ ክፍል 2 ሴ.ሜ ይይዛል።

እና ሁለተኛው ጥያቄ, በትክክል ቀድሞውኑ መልስ ያገኘው, በመሠረታዊ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ከ 90 ዲግሪ ጋር እኩል መሆን አለበት ወይ? አይ! ትርጉሙ እንደሚለው, መሰረቱ ቬክተሮች መሆን አለባቸው ኮላይነር ያልሆነ ብቻ. በዚህ መሠረት አንግል ከ 0 እና 180 ዲግሪ በስተቀር ማንኛውም ሊሆን ይችላል.

በአውሮፕላኑ ላይ አንድ ነጥብ ተጠርቷል መነሻ, እና ኮላይነር ያልሆነቬክተሮች, , አዘጋጅ አፊን አውሮፕላን ማስተባበሪያ ስርዓት :

አንዳንድ ጊዜ እንዲህ ዓይነቱ የተቀናጀ ሥርዓት ይባላል ግዴለሽስርዓት. እንደ ምሳሌ, ስዕሉ ነጥቦችን እና ቬክተሮችን ያሳያል-

እርስዎ እንደተረዱት, የ affine መጋጠሚያ ሥርዓት እንኳ ያነሰ ምቹ ነው, በትምህርቱ ሁለተኛ ክፍል ላይ የተወያየንበትን የቬክተር እና ክፍሎች ርዝመት የሚሆን ቀመሮች, ውስጥ አይሰራም; Vectors ለ dummies, ጋር የተያያዙ ብዙ ጣፋጭ ቀመሮች የቬክተሮች scalar ምርት. ነገር ግን ቬክተርን ለመጨመር እና ቬክተርን በቁጥር የማባዛት ሕጎች፣ በዚህ ግንኙነት ውስጥ ክፍልን ለመከፋፈል ቀመሮች እና ሌሎች በቅርቡ የምንመለከታቸው የችግሮች ዓይነቶች ትክክለኛ ናቸው።

እና መደምደሚያው በጣም ምቹ የሆነው የአፊን መጋጠሚያ ስርዓት ልዩ ጉዳይ የካርቴዥያን አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ስርዓት ነው. ለዚያም ነው ብዙውን ጊዜ እሷን ማየት ያለብዎት, ውዴ. ሆኖም ፣ በዚህ ሕይወት ውስጥ ያለው ሁሉም ነገር አንጻራዊ ነው - ብዙ ሁኔታዎች አሉ ፣ የተገደበ አንግል (ወይም ሌላ ፣ ለምሳሌ ፣ የዋልታ) የማስተባበር ሥርዓት. እና ሂውሞይድስ እንደነዚህ ያሉትን ስርዓቶች ሊወድ ይችላል =)

ወደ ተግባራዊ ክፍል እንሂድ። በዚህ ትምህርት ውስጥ ያሉት ሁሉም ችግሮች ለአራት ማዕዘን ቅንጅት ስርዓት እና ለአጠቃላይ የአፊን ጉዳይ ሁለቱም ልክ ናቸው. እዚህ ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም, ሁሉም ቁሳቁሶች ለትምህርት ቤት ልጅ እንኳን ተደራሽ ናቸው.

የአውሮፕላኑን ቬክተሮች ጋራነት እንዴት መወሰን ይቻላል?

የተለመደ ነገር። ለሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮች ቅደም ተከተል ኮላይኔር ነበሩ፣ ተጓዳኝ መጋጠሚያዎቻቸው ተመጣጣኝ መሆን አስፈላጊ እና በቂ ነው።በመሠረቱ፣ ይህ ግልጽ የሆነ ግንኙነትን የሚገልጽ አስተባባሪ-በ-መጋጠሚያ ነው።

ምሳሌ 1

ሀ) ቬክተሮቹ ኮላይኔር መሆናቸውን ያረጋግጡ .
ለ) ቬክተሮች መሠረት ይመሰርታሉ? ?

መፍትሄ፡-
ሀ) ለቬክተሮች መኖር አለመኖሩን እንወቅ የተመጣጠነ ጥምርታ፣ እኩልነቶቹ እስኪሟሉ ድረስ፡-

ይህንን ህግ ተግባራዊ ለማድረግ ስለ "foppish" ስሪት በእርግጠኝነት እነግራችኋለሁ, ይህም በተግባር በጣም ጥሩ ነው. ሃሳቡ ወዲያውኑ መጠኑን ማካካስ እና ትክክል መሆኑን ለማየት ነው፡-

ከተዛማጅ የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ሬሾን እንፍጠር፡-

እናሳጥር፡-
ስለዚህ ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝ ናቸው, ስለዚህ,

ግንኙነቱ በሌላ መንገድ ሊከናወን ይችላል ፣ ይህ ተመጣጣኝ አማራጭ ነው-

ለራስ-ምርመራ, ኮላይኔር ቬክተሮች እርስ በእርሳቸው በመስመር የተገለጹትን እውነታ መጠቀም ይችላሉ. በዚህ ሁኔታ, እኩልነቶች ይከናወናሉ . ትክክለኛነታቸው በአንደኛ ደረጃ ኦፕሬሽኖች ከቬክተሮች ጋር በቀላሉ ሊረጋገጥ ይችላል፡-

ለ) ሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮች ኮሊንየር ካልሆኑ (መስመራዊ ገለልተኛ) ካልሆኑ መሠረት ይመሰርታሉ። ቬክተሮችን ለ collinearity እንመረምራለን . ስርዓት እንፍጠር፡

ከመጀመሪያው እኩልነት ይከተላል, ከሁለተኛው እኩልታ ይከተላል, ይህም ማለት ነው ስርዓቱ ወጥነት የለውም(መፍትሄዎች የሉም)። ስለዚህ, የቬክተሮች ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝ አይደሉም.

ማጠቃለያ: ቬክተሮች በመስመራዊ ገለልተኛ እና መሰረት ይመሰርታሉ.

ቀለል ያለ የመፍትሄው ስሪት ይህንን ይመስላል።

ከተዛማጅ የቬክተሮች መጋጠሚያዎች መጠን እናድርገው :
, ይህም ማለት እነዚህ ቬክተሮች ከመስመር ነጻ ናቸው እና መሰረት ይመሰርታሉ.

ብዙውን ጊዜ ይህ አማራጭ በገምጋሚዎች ውድቅ አይደለም, ነገር ግን አንዳንድ መጋጠሚያዎች ከዜሮ ጋር እኩል በሚሆኑበት ጊዜ ችግር ይፈጠራል. እንደዚህ፡- . ወይም እንደዚህ፡- . ወይም እንደዚህ፡- . እዚህ በተመጣጣኝ መጠን እንዴት እንደሚሰራ? (በእርግጥ በዜሮ መከፋፈል አይችሉም)። በዚህ ምክንያት ነው ቀለል ያለ መፍትሄ "ፎፒሽ" ያልኩት.

መልስ፡-ሀ) ፣ ለ) ቅፅ ።

ትንሽ የፈጠራ ምሳሌ ለ ገለልተኛ ውሳኔ:

ምሳሌ 2

በመለኪያው ምን ዋጋ ላይ ቬክተሮች ናቸው ኮላይነር ይሆናሉ?

በናሙና መፍትሄ, መለኪያው በተመጣጣኝ መጠን ይገኛል.

ቬክተሮችን ኮላይኔሪቲ ለመፈተሽ የሚያምር የአልጀብራ መንገድ አለ እውቀታችንን በስርዓት እናስቀምጥ እና እንደ አምስተኛው ነጥብ እንጨምር።

ለሁለት አውሮፕላን ቬክተሮች የሚከተሉት መግለጫዎች እኩል ናቸው:

2) ቬክተሮች መሠረት ይመሰርታሉ;
3) ቬክተሮቹ ኮሊነር አይደሉም;

+ 5) የእነዚህን ቬክተሮች መጋጠሚያዎች ያቀፈው ወሳኙ ዜሮ ነው።.

በቅደም ተከተል፣ የሚከተሉት ተቃራኒ መግለጫዎች እኩል ናቸው።:
1) ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው;
2) ቬክተሮች መሰረት አይፈጥሩም;
3) ቬክተሮች ኮሊነር ናቸው;
4) ቬክተሮች እርስ በእርሳቸው በመስመር ሊገለጹ ይችላሉ;
+ 5) የእነዚህ ቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተዋቀረው ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።.

እኔ በእውነት፣ በእውነት ተስፋ አደርጋለሁ በአሁኑ ጊዜየሚያገኟቸውን ሁሉንም ውሎች እና መግለጫዎች አስቀድመው ተረድተዋል.

አዲሱን አምስተኛውን ነጥብ በዝርዝር እንመልከት፡- ሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮች ከተሰጡት የቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተዋቀረው ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ እና ብቻ ከሆነ ኮሊኔር ናቸው:: ይህንን ባህሪ ለመጠቀም, በእርግጥ, መቻል አለብዎት መወሰኛዎችን ያግኙ.

እንወስንምሳሌ 1 በሁለተኛው መንገድ፡-

ሀ) ከቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው :
, ይህም ማለት እነዚህ ቬክተሮች ኮሊነር ናቸው.

ለ) ሁለት የአውሮፕላን ቬክተሮች ኮሊንየር ካልሆኑ (መስመራዊ ገለልተኛ) ካልሆኑ መሠረት ይመሰርታሉ። በቬክተር መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው። :
, ይህም ማለት ቬክተሮች ከመስመር ነጻ ናቸው እና መሰረት ይመሰርታሉ.

መልስ፡-ሀ) ፣ ለ) ቅፅ ።

በተመጣጣኝ መጠን ከመፍትሔው የበለጠ የታመቀ እና የሚያምር ይመስላል።

በተገመተው ቁሳቁስ እርዳታ የቬክተሮችን ኮሊኔሪቲ ብቻ ሳይሆን የክፍሎችን እና ቀጥታ መስመሮችን ትይዩነት ማረጋገጥ ይቻላል. የተወሰኑ የጂኦሜትሪክ ቅርጾች ያላቸውን ሁለት ችግሮች እንመልከት።

ምሳሌ 3

የአራት ማዕዘን ጫፎች ተሰጥተዋል. ባለአራት ጎን ትይዩ መሆኑን ያረጋግጡ።

ማረጋገጫ: በችግሩ ውስጥ ስዕል መፍጠር አያስፈልግም, ምክንያቱም መፍትሄው ሙሉ በሙሉ ትንታኔ ይሆናል. ትይዩአዊ ፍቺውን እናስታውስ፡-
Parallelogram ተቃራኒ ጎኖቹ በጥንድ ትይዩ የሆነ ባለአራት ጎን ይባላል።

ስለዚህም የሚከተለውን ማረጋገጥ ያስፈልጋል።
1) የተቃራኒ ጎኖች ትይዩነት እና;
2) የተቃራኒ ጎኖች ትይዩ እና.

እናረጋግጣለን፡-

1) ቫይረሶችን ይፈልጉ;

2) ቫክተሮችን ይፈልጉ;

ውጤቱም ተመሳሳይ ቬክተር ነው ("እንደ ትምህርት ቤት" - እኩል ቬክተር). ኮሊኔሪቲ በጣም ግልፅ ነው ፣ ግን ውሳኔውን በግልፅ ፣ በዝግጅት ማድረግ የተሻለ ነው። በቬክተር መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው፡-
, ይህም ማለት እነዚህ ቬክተሮች ኮሊነር ናቸው, እና.

ማጠቃለያ: የአራት ማዕዘን ተቃራኒ ጎኖች በጥንድ ትይዩ ናቸው ይህም ማለት በትርጉም ትይዩ ነው. ጥ.ኢ.ዲ.

የበለጠ ጥሩ እና የተለያዩ አሃዞች:

ምሳሌ 4

የአራት ማዕዘን ጫፎች ተሰጥተዋል. አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትራፔዞይድ መሆኑን ያረጋግጡ.

የማረጋገጫው የበለጠ ጥብቅ አሠራር, በእርግጥ, የ trapezoid ፍቺን ማግኘት የተሻለ ነው, ነገር ግን ምን እንደሚመስል በቀላሉ ማስታወስ በቂ ነው.

ይህ በራስዎ የመፍታት ተግባር ነው። የተሟላ መፍትሄበትምህርቱ መጨረሻ.

እና አሁን ከአውሮፕላኑ ወደ ጠፈር ቀስ ብሎ ለመንቀሳቀስ ጊዜው አሁን ነው-

የጠፈር ቬክተሮች የጋራነት እንዴት እንደሚወሰን?

ደንቡ በጣም ተመሳሳይ ነው. ሁለት የጠፈር ቬክተሮች ኮላይኔር እንዲሆኑ፣ ተጓዳኝ መጋጠሚያዎቻቸው ተመጣጣኝ እንዲሆኑ አስፈላጊ እና በቂ ነው።.

ምሳሌ 5

የሚከተሉት የጠፈር ቬክተሮች ኮላይነር መሆናቸውን እወቅ፡

ሀ) ;
ለ)
ቪ)

መፍትሄ፡-
ሀ) ለተዛማጅ የቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተመጣጣኝነት ቅንጅት መኖሩን እንፈትሽ፡-

ስርዓቱ ምንም መፍትሄ የለውም, ይህም ማለት ቬክተሮች ኮሊነር አይደሉም.

"ቀለል ያለ" መጠኑን በማጣራት መደበኛ ነው. በዚህ ሁኔታ፡-
- ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝ አይደሉም, ይህም ማለት ቬክተሮች ኮሊነር አይደሉም.

መልስ፡-ቬክተሮቹ ኮላይነር አይደሉም.

ለ-ሐ) እነዚህ ለገለልተኛ ውሳኔ ነጥቦች ናቸው. በሁለት መንገዶች ይሞክሩት።

በሦስተኛ ደረጃ መወሰኛ በኩል የቦታ ቬክተሮችን ኮላይኔሪቲ ለማረጋገጥ የሚያስችል ዘዴ አለ፣ ይህ ዘዴበጽሁፉ ውስጥ የተሸፈነ የቬክተር የቬክተር ምርት.

ከአውሮፕላኑ መያዣው ጋር ተመሳሳይነት ያላቸው መሳሪያዎች የቦታ ክፍሎችን እና ቀጥታ መስመሮችን ትይዩነት ለማጥናት ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ.

እንኳን ወደ ሁለተኛው ክፍል በደህና መጡ፡-

በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ የቬክተሮች ቀጥተኛ ጥገኛ እና ነጻነት.
የቦታ መሠረት እና የአፊን ቅንጅት ስርዓት

በአውሮፕላኑ ላይ የመረመርናቸው ብዙዎቹ ቅጦች ለቦታ ልክ ይሆናሉ። የመረጃው የአንበሳውን ድርሻ ቀድሞውኑ ስለታኘክ የንድፈ ሃሳብ ማስታወሻዎችን ለማሳነስ ሞከርኩ። ይሁን እንጂ የመግቢያውን ክፍል በጥንቃቄ እንዲያነቡ እመክራለሁ, ምክንያቱም አዲስ ውሎች እና ጽንሰ-ሐሳቦች ስለሚታዩ.

አሁን, ከኮምፒዩተር ጠረጴዛው አውሮፕላን ይልቅ, ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታን እንቃኛለን. በመጀመሪያ, መሠረቱን እንፍጠር. አንድ ሰው አሁን በቤት ውስጥ ነው, አንድ ሰው ከቤት ውጭ ነው, ነገር ግን በማንኛውም ሁኔታ, ሶስት ልኬቶችን ማምለጥ አንችልም: ስፋት, ርዝመት እና ቁመት. ስለዚህ, መሰረትን ለመገንባት, ሶስት የቦታ ቬክተሮች ያስፈልጋሉ. አንድ ወይም ሁለት ቬክተሮች በቂ አይደሉም, አራተኛው ከመጠን በላይ ነው.

እና እንደገና በጣቶቻችን ላይ እናሞቅላለን. እባካችሁ እጃችሁን ወደ ላይ አንስተው በተለያየ አቅጣጫ ዘርጋ አውራ ጣት, መረጃ ጠቋሚ እና መካከለኛ ጣት. እነዚህ ቬክተሮች ይሆናሉ, በተለያዩ አቅጣጫዎች ይመለከታሉ, የተለያየ ርዝመት እና አላቸው የተለያዩ ማዕዘኖችበራሳቸው መካከል. እንኳን ደስ አለዎት, የሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት ዝግጁ ነው! በነገራችን ላይ ጣቶቻችሁን የቱንም ያህል ብታጣምሙ ይህንን ለአስተማሪዎች ማሳየት አያስፈልግም ነገር ግን ከትርጓሜዎች ማምለጥ አይቻልም =)

በመቀጠል አንድ ጠቃሚ ጥያቄ እራሳችንን እንጠይቅ፡- ማንኛውም ሶስት ቬክተሮች ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት ይመሰርታሉ? እባክዎን ሶስት ጣቶችን በኮምፒተር ዴስክ አናት ላይ አጥብቀው ይጫኑ። ምን ሆነ፧ ሦስት ቬክተሮች በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ ይገኛሉ, እና, በግምት, እኛ ልኬቶች መካከል አንዱ አጥተዋል - ቁመት. እንደዚህ ያሉ ቬክተሮች ናቸው ኮፕላላርእና, ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት አለመፈጠሩ በጣም ግልጽ ነው.

ኮፕላላር ቬክተሮች በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ መዋሸት እንደሌለባቸው ልብ ሊባል ይገባል, በትይዩ አውሮፕላኖች ውስጥ ሊሆኑ ይችላሉ (ይህን በጣቶችዎ ብቻ አያድርጉ, ሳልቫዶር ዳሊ ብቻ ይህን አደረገ =)).

ፍቺ: ቬክተሮች ተጠርተዋል ኮፕላላር, እነሱ ትይዩ የሆኑበት አውሮፕላን ካለ. እዚህ ላይ መጨመር ምክንያታዊ ነው, እንደዚህ አይነት አውሮፕላን ከሌለ, ቬክተሮች ኮፕላላር አይሆኑም.

ሶስት ኮፕላላር ቬክተሮች ሁል ጊዜ በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው።ማለትም እርስ በርሳቸው በመስመር ይገለጣሉ ማለት ነው። ለቀላልነት፣ እነሱ በአንድ አውሮፕላን ውስጥ እንደሚዋሹ እንደገና እናስብ። በመጀመሪያ, ቬክተሮች ኮፕላላር ብቻ አይደሉም, ኮላይኔርም ሊሆኑ ይችላሉ, ከዚያም ማንኛውም ቬክተር በማንኛውም ቬክተር ሊገለጽ ይችላል. በሁለተኛው ጉዳይ ላይ ፣ ለምሳሌ ፣ ቬክተሮች ኮሊነር ካልሆኑ ፣ ሦስተኛው ቬክተር በልዩ መንገድ በእነሱ በኩል ይገለጻል ። (እና በቀደመው ክፍል ውስጥ ካሉት ቁሳቁሶች ለመገመት ቀላል የሆነው ለምንድነው).

ንግግሩም እውነት ነው፡- ሶስት ኮፕላላር ያልሆኑ ቬክተሮች ሁል ጊዜ በመስመር ገለልተኛ ናቸው።ማለትም እርስ በርሳቸው በምንም መንገድ አልተገለጹም። እና, በግልጽ, እንደዚህ ያሉ ቬክተሮች ብቻ የሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት ሊፈጥሩ ይችላሉ.

ፍቺ: ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረትበመስመር ላይ ገለልተኛ (ኮፕላነር ያልሆኑ) ቬክተሮች ሶስት እጥፍ ይባላል ፣ በተወሰነ ቅደም ተከተል ተወስዷል, እና ማንኛውም የቦታ ቬክተር ብቸኛው መንገድበዚህ መሠረት የቬክተር መጋጠሚያዎች ባሉበት በተወሰነው መሠረት መበስበስ ነው

ቬክተር በቅጹ ውስጥ ተወክሏል ማለት እንደምንችል ላስታውስህ መስመራዊ ጥምረትመሠረት ቬክተሮች.

የመጋጠሚያ ስርዓት ጽንሰ-ሀሳብ ልክ እንደ አውሮፕላን ጉዳይ አንድ ነጥብ እና ማንኛውም ሶስት ቀጥተኛ ገለልተኛ ቬክተሮች በቂ ናቸው.

መነሻ, እና ኮፕላላር ያልሆነቬክተሮች, በተወሰነ ቅደም ተከተል ተወስዷል, አዘጋጅ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ affine coordinate system :

እርግጥ ነው, የመጋጠሚያው ፍርግርግ "ግዴታ" እና የማይመች ነው, ነገር ግን, ነገር ግን, የተገነባው የማስተባበር ስርዓት ይፈቅድልናል. በእርግጠኝነትየማንኛውንም ቬክተር መጋጠሚያዎች እና የቦታ ቦታዎችን መጋጠሚያዎች ይወስኑ. ከአውሮፕላን ጋር በሚመሳሰል መልኩ፣ ቀደም ብዬ የጠቀስኳቸው አንዳንድ ቀመሮች በአፊን መጋጠሚያ የቦታ ስርዓት ውስጥ አይሰሩም።

ሁሉም ሰው እንደሚገምተው የአፊን መጋጠሚያ ስርዓት በጣም የተለመደው እና ምቹ ልዩ ጉዳይ ነው። አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የቦታ መጋጠሚያ ስርዓት:

በጠፈር ውስጥ ያለ ነጥብ ይባላል መነሻ, እና ኦርቶዶክሳዊመሰረቱ ተዘጋጅቷል የካርቴዥያ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የጠፈር ማስተባበሪያ ስርዓት . የሚታወቅ ሥዕል

ወደ ተግባራዊ ተግባራት ከመሄዳችን በፊት፣ መረጃውን እንደገና እናስተካክል፡-

ለሶስት የጠፈር ቬክተሮች የሚከተሉት መግለጫዎች እኩል ናቸው:
1) ቬክተሮች በመስመር ላይ ገለልተኛ ናቸው;
2) ቬክተሮች መሠረት ይመሰርታሉ;
3) ቬክተሮች ኮፕላላር አይደሉም;
4) ቬክተሮች እርስ በእርሳቸው በመስመር ሊገለጹ አይችሉም;
5) የእነዚህ ቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተውጣጣው ወሳኙ ከዜሮ የተለየ ነው.

እኔ እንደማስበው ተቃራኒዎቹ መግለጫዎች ሊረዱ የሚችሉ ናቸው.

የመስመራዊ ጥገኝነት/የጠፈር ቬክተሮች ገለልተኛነት በባህላዊ መንገድ መወሰኛ (ነጥብ 5) በመጠቀም ይፈትሻል። የተቀሩት ተግባራዊ ተግባራት ግልጽ የሆነ የአልጀብራ ተፈጥሮ ይሆናሉ። የጂኦሜትሪ ዱላውን ለመስቀል እና የመስመራዊ አልጀብራ ቤዝቦል ባት ለመጠቀም ጊዜው አሁን ነው።

የቦታ ሶስት ቬክተሮችከተሰጡት የቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተዋቀረው ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ እና ብቻ ከሆነ ኮፕላላር ናቸው፡ .

ትኩረትዎን ወደ ትንሽ ቴክኒካል ልዩነት ለመሳብ እፈልጋለሁ: የቬክተሮች መጋጠሚያዎች በአምዶች ውስጥ ብቻ ሳይሆን በመደዳዎች ውስጥ ሊጻፉ ይችላሉ (የመወሰን ዋጋ ከዚህ አይለወጥም - የመወሰን ባህሪያትን ይመልከቱ). ነገር ግን አንዳንድ ተግባራዊ ችግሮችን ለመፍታት የበለጠ ጠቃሚ ስለሆነ በአምዶች ውስጥ በጣም የተሻለ ነው.

ለእነዚያ አንባቢዎች የመወሰን ዘዴዎችን ትንሽ ለዘነጉ ወይም ስለእነሱ ትንሽ ግንዛቤ ለሌላቸው አንባቢዎች ከጥንታዊ ትምህርቶቼ ውስጥ አንዱን እመክራለሁ- ወሳኙን እንዴት ማስላት ይቻላል?

ምሳሌ 6

የሚከተሉት ቬክተሮች የሶስት-ልኬት ቦታ መሰረት መሆናቸውን ያረጋግጡ፡

መፍትሄ: እንደ እውነቱ ከሆነ, አጠቃላይ መፍትሔው የሚወስነውን በማስላት ላይ ነው.

ሀ) ከቬክተሮች መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው (ወሳኙ በመጀመሪያው መስመር ላይ ተገልጿል)

, ይህም ማለት ቬክተሮች በመስመራዊ ገለልተኛ (ኮፕላላር ሳይሆን) እና ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት ያደረጉ ናቸው.

መልስእነዚህ ቬክተሮች መሠረት ይመሰርታሉ

ለ) ይህ ገለልተኛ ውሳኔ ለማግኘት ነጥብ ነው. በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና መልስ.

እንዲሁም የፈጠራ ስራዎች አሉ-

ምሳሌ 7

በምን አይነት መለኪያ መለኪያ ቬክተሮች ኮፕላላር ይሆናሉ?

መፍትሄየእነዚህ ቬክተሮች መጋጠሚያዎች ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ እና ብቻ ከሆነ ቬክተሮች ኮፕላላር ናቸው፡

በመሠረቱ፣ ከወሳኙ ጋር እኩልታ መፍታት ያስፈልግዎታል። በጄርቦስ ላይ እንደ ካይትስ ያሉ ዜሮዎችን እናጠፋለን - ወሳኙን በሁለተኛው መስመር ውስጥ መክፈት እና ወዲያውኑ ማነስን ማስወገድ ጥሩ ነው-

ተጨማሪ ማቃለያዎችን እናከናውናለን እና ጉዳዩን ወደ ቀላሉ የመስመር እኩልነት እንቀንሳለን-

መልስ: በ

እዚህ መፈተሽ ቀላል ነው; ፣ እንደገና ይከፍታል።

በማጠቃለያው፣ ሌላ ዓይነተኛ ችግርን እንይ፣ እሱም በተፈጥሮ ውስጥ የበለጠ አልጀብራ ያለው እና በባህላዊ መንገድ በመስመራዊ አልጀብራ ኮርስ ውስጥ የተካተተ። በጣም የተለመደ ስለሆነ የራሱ ርዕስ ይገባዋል፡-

3 ቬክተሮች የሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት እንደሚያደርጉ ያረጋግጡ
እና በዚህ መሠረት የ 4 ኛ ቬክተር መጋጠሚያዎችን ያግኙ

ምሳሌ 8

ቬክተሮች ተሰጥተዋል. ቬክተሮች በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ መሰረት እንደሚፈጥሩ አሳይ እና በዚህ መሰረት የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ያግኙ.

መፍትሄበመጀመሪያ, ሁኔታውን እንይ. እንደ ሁኔታው, አራት ቬክተሮች ተሰጥተዋል, እና እርስዎ እንደሚመለከቱት, ቀድሞውኑ በተወሰነ ደረጃ መጋጠሚያዎች አሏቸው. ይህ መሠረት የሆነው ለእኛ ፍላጎት አይደለም. እና የሚከተለው ነገር ትኩረት የሚስብ ነው-ሦስት ቬክተሮች በደንብ አዲስ መሠረት ሊፈጥሩ ይችላሉ. እና የመጀመሪያው ደረጃ ከምሳሌ 6 መፍትሄ ጋር ሙሉ በሙሉ ይዛመዳል ፣ ቬክተሮች በእውነት በመስመር ገለልተኛ መሆናቸውን ማረጋገጥ ያስፈልጋል ።

በቬክተር መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው፡-

, ይህም ማለት ቬክተሮች በመስመር ላይ ገለልተኛ እና ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት ያደረጉ ናቸው.

! አስፈላጊ የቬክተር መጋጠሚያዎች የግድጻፍ ወደ አምዶችበገመድ ሳይሆን ቆራጥ። አለበለዚያ, ተጨማሪ የመፍትሄው ስልተ ቀመር ውስጥ ግራ መጋባት ይኖራል.

የሙከራ ስራዎች

ተግባር 1 - 10. ቬክተሮች ተሰጥተዋል.

ቬክተሮች ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ መሰረት እንደሚሆኑ አሳይ እና የቬክተሩን መጋጠሚያዎች በዚህ መሰረት ያግኙ፡

የተሰጡ ቬክተር ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X (3;0;1). ቬክተሮቹ የሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት እንደሚያደርጉ አሳይ እና በዚህ መሠረት የቬክተር X መጋጠሚያዎችን ያግኙ.

ይህ ተግባር ሁለት ክፍሎችን ያቀፈ ነው. በመጀመሪያ ቬክተሮቹ መሰረት ይፈጥሩ እንደሆነ ማረጋገጥ ያስፈልግዎታል. የእነዚህ ቬክተር መጋጠሚያዎች የሚወከለው አካል ከዜሮ የተለየ ከሆነ ቬክተሮች መሰረት ይመሰርታሉ, አለበለዚያ ቬክተሮች መሠረታዊ ካልሆኑ እና ቬክተር X በዚህ መሠረት ሊሰፋ አይችልም.

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

የማትሪክስ ወሳኙን እናሰላው፡-

የማትሪክስ መለኪያው ∆ = 37 ነው

የሚወስነው ዜሮ ስለሆነ፣ ቬክተሮቹ መሰረት ይመሰርታሉ፣ ስለዚህ ቬክተር X በዚህ መሰረት ሊሰፋ ይችላል። እነዚያ። እኩልነት የሚይዘው α 1፣ α 2፣ α 3 ቁጥሮች አሉ።

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

ይህንን እኩልነት በቅንጅት እንፃፍ፡-

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

የቬክተሮችን ባህሪያት በመጠቀም, የሚከተለውን እኩልነት እናገኛለን.

(3;0;1) = (3α 1;1α 1;6α 1;) + (-2α 2;2α 2;-3α 2;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3; 6α 1 -3α 2 -1α 3)

በቬክተር እኩልነት ንብረት እኛ አለን:

3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3

1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0

6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1 የተገኘውን የእኩልታዎች ስርዓት እንፈታዋለንወይም Gaussian ዘዴ.

የክሬመር ዘዴ

X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3

አገልግሎቱን በመጠቀም መፍትሄው ተቀብሏል እና ተሰራ።

በመሠረት ውስጥ የቬክተር መጋጠሚያዎች

ከዚህ ችግር ጋርም እንዲሁ ይፈታሉ-

የማትሪክስ እኩልታዎችን መፍታት

ክሬመር ዘዴ

Gauss ዘዴ

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ በአልጀብራ ማሟያዎች

የመስመር ላይ ማትሪክስ ማባዛት።

1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) , (1, 0, 1, 5).

መፍትሄ። ቬክተሮች 1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) እንደሚፈጠሩ እናሳይ። መሠረት. የእነዚህን ቬክተሮች መጋጠሚያዎች ያቀፈውን ወሳኙን እንፈልግ።

የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን እናከናውናለን-

በመስመር 3 መስመር 1 ተባዝቶ በ (-1) ቀንስ

መስመር 2ን ከመስመር 3፣ መስመር 2ን ከመስመር 4 ቀንስ

መስመር 3 እና 4ን እንለዋወጥ።

በዚህ ሁኔታ, ወሳኙ ምልክቱን ወደ ተቃራኒው ይለውጠዋል.

ምክንያቱም ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም, ስለዚህ, ቬክተሮች በመስመር ላይ ነጻ ናቸው እና መሰረት ይመሰርታሉ.

ቬክተሩን በተወሰነ መሰረት ወደ ቬክተር እናስፋፋው፡, እዚህ,? በመሠረት ውስጥ የሚፈለጉትን የቬክተር መጋጠሚያዎች,. በተቀናጀ መልኩ፣ ይህ እኩልታ (1፣ 2፣ 0፣ 1) + (0፣ 1፣ 2፣ 3) + (1፣ 3፣ 2፣ 2) + (0፣ 1፣ 3፣ 1) = (1፣ 0፣ 1፣ 5) ቅጹን ይወስዳል፡-

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን እንፈታዋለን-

ስርዓቱን በተራዘመ ማትሪክስ መልክ እንጽፈው

ለማስላት ቀላልነት፣ መስመሮቹን እንለዋወጥ፡-

3ተኛውን መስመር በ (-1) ማባዛት። 3ተኛውን መስመር ወደ 2ኛው እንጨምር። 3ተኛውን መስመር በ2 ማባዛት። 4ተኛውን መስመር ወደ 3ኛው ጨምር፡-

1 ኛ መስመርን በ 3 ማባዛት. ሁለተኛውን መስመር በ (-2) ማባዛት. 2ኛውን መስመር ወደ 1ኛው እንጨምር፡-

2ተኛውን መስመር በ 5 ማባዛት። 3ተኛውን መስመር በ3 ማባዛት።

ሁለተኛውን መስመር በ (-2) ማባዛት። 2ኛውን መስመር ወደ 1ኛው እንጨምር፡-

ከምንገልጸው 1ኛ መስመር?4

ከ 2 ኛ መስመር እንገልፃለን? 3

ከ 3 ኛ መስመር እንገልፃለን? 2

ምሳሌ 8

ቬክተሮች ተሰጥተዋል. ቬክተሮች በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ መሰረት እንደሚፈጥሩ አሳይ እና በዚህ መሰረት የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ያግኙ.

መፍትሄ፡-በመጀመሪያ, ሁኔታውን እንይ. እንደ ሁኔታው, አራት ቬክተሮች ተሰጥተዋል, እና እርስዎ እንደሚመለከቱት, ቀድሞውኑ በተወሰነ ደረጃ መጋጠሚያዎች አሏቸው. ይህ መሠረት የሆነው ለእኛ ፍላጎት አይደለም. እና የሚከተለው ነገር ትኩረት የሚስብ ነው-ሦስት ቬክተሮች በደንብ አዲስ መሠረት ሊፈጥሩ ይችላሉ. እና የመጀመሪያው ደረጃ ከምሳሌ 6 መፍትሄ ጋር ሙሉ በሙሉ ይዛመዳል ፣ ቬክተሮች በእውነት በመስመር ገለልተኛ መሆናቸውን ማረጋገጥ ያስፈልጋል ።

በቬክተር መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው፡-

, ይህም ማለት ቬክተሮች በመስመር ላይ ገለልተኛ እና ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት ያደረጉ ናቸው.

! አስፈላጊየቬክተር መጋጠሚያዎች የግድጻፍ ወደ አምዶችበገመድ ሳይሆን ቆራጥ። አለበለዚያ, ተጨማሪ የመፍትሄው ስልተ ቀመር ውስጥ ግራ መጋባት ይኖራል.

አሁን የንድፈ ሃሳቡን ክፍል እናስታውስ፡ ቬክተሮች መሰረት ከፈጠሩ ማንኛውም ቬክተር ሊሆን ይችላል። ብቸኛው መንገድበተሰጠው መሠረት ላይ ማስፋፋት:, በመሠረቱ ውስጥ የቬክተር መጋጠሚያዎች የት አሉ.

የእኛ ቬክተሮች የሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት ስለሚይዙ (ይህ አስቀድሞ የተረጋገጠ ነው) በዚህ መሠረት ቬክተሩ በልዩ መንገድ ሊሰፋ ይችላል.
, በመሠረቱ ውስጥ የቬክተር መጋጠሚያዎች የት ይገኛሉ.

እንደ ሁኔታው ​​እና መጋጠሚያዎችን ማግኘት ያስፈልጋል.

ለቀላል ማብራሪያ ክፍሎቹን እለዋወጣለሁ፡- . እሱን ለማግኘት፣ ይህንን የእኩልነት ማስተባበሪያ-በ-መጋጠሚያ ይፃፉ፡-

ቅንጅቶች የተቀመጡት በምን መሰረት ነው? በግራ በኩል ያሉት ሁሉም ጥምርታዎች በትክክል ከመወሰኛ ይተላለፋሉ ፣ ቪ በቀኝ በኩልየቬክተሩ መጋጠሚያዎች ይመዘገባሉ.

ሆነ የሶስት ስርዓትመስመራዊ እኩልታዎች ከሶስት የማይታወቁ ጋር። ብዙውን ጊዜ የሚፈታው በ የክሬመር ቀመሮች, ብዙውን ጊዜ በችግር መግለጫ ውስጥ እንኳን እንዲህ ዓይነት መስፈርት አለ.

የስርዓቱ ዋና መመዘኛ አስቀድሞ ተገኝቷል-
, ይህም ማለት ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው.

የሚከተለው የቴክኒክ ጉዳይ ነው።

ስለዚህም፡-
- በመሠረቱ መሠረት የቬክተር መበስበስ.

መልስ፡-

ቀደም ብዬ እንደገለጽኩት ችግሩ በተፈጥሮ ውስጥ አልጀብራ ነው። የታሰቡት ቬክተሮች የግድ በጠፈር ውስጥ ሊሳቡ የሚችሉ ቬክተሮች አይደሉም፣ ነገር ግን በመጀመሪያ ደረጃ፣ የመስመር አልጀብራ ኮርስ ረቂቅ ቬክተር። ባለ ሁለት አቅጣጫዊ ቬክተሮችን በተመለከተ, ተመሳሳይ ችግር ሊፈጠር እና ሊፈታ ይችላል; ነገር ግን በተግባር ግን እንደዚህ አይነት ስራ አጋጥሞኝ አያውቅም, ለዚህም ነው ባለፈው ክፍል ውስጥ የዘለለው.

ለገለልተኛ መፍትሄ ከሶስት አቅጣጫዊ ቬክተሮች ጋር ተመሳሳይ ችግር:

ምሳሌ 9

ቬክተሮች ተሰጥተዋል. ቬክተሮቹ መሰረት እንደሚሆኑ ያሳዩ እና በዚህ መሰረት የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ያግኙ. የCramer's ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ።

በትምህርቱ መጨረሻ ላይ የተሟላ መፍትሄ እና የመጨረሻው ንድፍ ግምታዊ ናሙና.

በተመሳሳይ፣ ባለአራት፣ ባለ አምስት አቅጣጫ፣ ወዘተ. የቬክተር ክፍተቶች፣ ቬክተሮች በቅደም ተከተል 4፣ 5 ወይም ከዚያ በላይ መጋጠሚያዎች ያሏቸው። ለእነዚህ የቬክተር ክፍተቶች, የመስመራዊ ጥገኛ ጽንሰ-ሐሳብም አለ, የቬክተሮች ቀጥተኛ ነጻነት, መሠረት አለ, ኦርቶርማል መሰረትን ጨምሮ, ከመሠረት አንጻር የቬክተር መስፋፋት. አዎን, እንደዚህ ያሉ ቦታዎች በጂኦሜትሪክ መንገድ መሳል አይችሉም, ነገር ግን ሁሉም ደንቦች, ንብረቶች እና የሁለት እና ሶስት አቅጣጫዊ ጉዳዮች ንድፈ ሃሳቦች በውስጣቸው ይሠራሉ - ንጹህ አልጀብራ. እንደ እውነቱ ከሆነ በጽሁፉ ውስጥ ስለ ፍልስፍና ጉዳዮች ለመናገር ቀድሞውኑ ተፈትኜ ነበር። የሶስት ተለዋዋጮች ተግባር ከፊል ተዋጽኦዎች, ከዚህ ትምህርት ቀደም ብሎ የታየ.

ቬክተሮችን ይወዳሉ፣ እና ቬክተሮች ይወዱሃል!

መፍትሄዎች እና መልሶች:

ምሳሌ 2፡ መፍትሄ: ከተዛማጅ የቬክተሮች መጋጠሚያዎች መጠን እናድርገው፡

መልስ፡- በ

ምሳሌ 4፡ ማረጋገጫ: ትራፔዝአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ሲሆን ይህም ሁለት ጎኖች ትይዩ ሲሆኑ የቀሩት ሁለት ጎኖች ደግሞ ተመሳሳይ አይደሉም.
1) የተቃራኒ ጎኖችን ትይዩነት እንፈትሽ እና .
ቬክተሮችን እንፈልግ፡-


, ይህም ማለት እነዚህ ቬክተሮች ኮላይነር አይደሉም እና ጎኖቹ ትይዩ አይደሉም.
2) የተቃራኒ ጎኖችን ትይዩነት ያረጋግጡ እና .
ቬክተሮችን እንፈልግ፡-

በቬክተር መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው፡-
, ይህም ማለት እነዚህ ቬክተሮች ኮሊነር ናቸው, እና.
ማጠቃለያ፡- አራት ማዕዘን ቅርጽ ያላቸው ሁለት ጎኖች ትይዩ ናቸው, የቀሩት ሁለት ጎኖች ግን ትይዩ አይደሉም, ይህም ማለት በትርጉሙ ትራፔዞይድ ነው. ጥ.ኢ.ዲ.

ምሳሌ 5፡ መፍትሄ:
ለ) ለተዛማጅ የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝነት (coefficient of proportionality) መኖሩን እንፈትሽ፡-

ስርዓቱ ምንም መፍትሄ የለውም, ይህም ማለት ቬክተሮች ኮሊነር አይደሉም.
ቀላል ንድፍ;
- ሁለተኛው እና ሦስተኛው መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝ አይደሉም, ይህም ማለት ቬክተሮች ኮሊነር አይደሉም.
መልስ፡- ቬክተሮቹ ኮላይነር አይደሉም.
ሐ) ቬክተሮችን ለኮላላይን እንመረምራለን . ስርዓት እንፍጠር፡

የቬክተሮች ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ተመጣጣኝ ናቸው, ይህም ማለት ነው
ይህ የ "foppish" ንድፍ ዘዴ ያልተሳካበት ነው.
መልስ፡-

ምሳሌ 6፡ መፍትሄለ) በቬክተር መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው (ወሳኙ በመጀመሪያው መስመር ላይ ተገልጿል)

, ይህም ማለት ቬክተሮች በመስመር ላይ ጥገኛ ናቸው እና ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታን መሰረት አይሆኑም.
መልስ እነዚህ ቬክተሮች መሰረት አይሆኑም

ምሳሌ 9፡ መፍትሄ፡-በቬክተር መጋጠሚያዎች የተሰራውን ወሳኙን እናሰላው፡-


ስለዚህ, ቬክተሮች በመስመር ላይ እራሳቸውን የቻሉ እና መሰረትን ይፈጥራሉ.
ቬክተሩን እንደ መስመራዊ የመሠረት ቬክተሮች ጥምረት እንውክል፡-

ማስተባበር፡-

የCramer ቀመሮችን በመጠቀም ስርዓቱን እንፍታው፡-
, ይህም ማለት ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው.

መልስ፡-ቫክተሮች መሠረት ይመሰርታሉ ፣

ከፍተኛ የሂሳብ ትምህርት ለደብዳቤ ተማሪዎች እና ሌሎችም >>>

(ወደ ዋናው ገጽ ይሂዱ)

የቬክተሮች ተሻጋሪ ምርት.
የቬክተሮች ድብልቅ ምርት

በዚህ ትምህርት ሁለት ተጨማሪ ስራዎችን ከቬክተሮች ጋር እንመለከታለን፡- የቬክተሮች የቬክተር ምርትእና የቬክተሮች ድብልቅ ምርት. ደህና ነው ፣ አንዳንድ ጊዜ ለደስታ ፣ በተጨማሪ ፣ ይከሰታል የቬክተሮች scalar ምርት፣ ብዙ እና ብዙ ይፈለጋል። ይህ የቬክተር ሱስ ነው። ወደ የትንታኔ ጂኦሜትሪ ጫካ ውስጥ እየገባን ያለ ሊመስል ይችላል። ይህ ስህተት ነው። በዚህ የከፍተኛ የሂሳብ ክፍል ውስጥ ለፒኖቺዮ በቂ ካልሆነ በስተቀር በአጠቃላይ ትንሽ እንጨት አለ. በእውነቱ, ቁሱ በጣም የተለመደ እና ቀላል ነው - ከተመሳሳይ የበለጠ የተወሳሰበ ነው ነጥብ ምርት, እንዲያውም ያነሱ የተለመዱ ተግባራት ይኖራሉ. በአናቲቲካል ጂኦሜትሪ ውስጥ ዋናው ነገር ብዙዎች እንደሚያምኑት ወይም ቀድሞውንም ያምኑ ስለነበር በስሌቶች ውስጥ ስህተቶችን ማድረግ የለበትም። እንደ ፊደል ይድገሙ እና ደስተኛ ይሆናሉ =)

ቬክተሮች ከሩቅ ቦታ ቢያበሩ፣ ልክ በአድማስ ላይ እንዳለ መብረቅ፣ ምንም አይደለም፣ በትምህርቱ ይጀምሩ Vectors ለ dummiesስለ ቬክተሮች መሠረታዊ እውቀትን ወደነበረበት ለመመለስ ወይም መልሶ ለማግኘት. የበለጠ የተዘጋጁ አንባቢዎች ከመረጃው ጋር በደንብ ሊተዋወቁ ይችላሉ ፣ ብዙ ጊዜ የሚገኙትን በጣም የተሟላ የምሳሌዎች ስብስብ ለመሰብሰብ ሞከርኩ። ተግባራዊ ሥራ

ወዲያውኑ ምን ያስደስትዎታል? ትንሽ ሳለሁ ሁለት ወይም ሶስት ኳሶችን መጎተት እችል ነበር። በጥሩ ሁኔታ ሠርቷል. አሁን ስለምንመረምር መሮጥ የለብዎትም የቦታ ቬክተሮች ብቻ, እና ሁለት መጋጠሚያዎች ያሉት ጠፍጣፋ ቬክተሮች ይቀራሉ. ለምን፧ እነዚህ ድርጊቶች የተወለዱት በዚህ መንገድ ነው - የቬክተሮች ቬክተር እና ድብልቅ ምርቶች ተገልጸዋል እና በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ይሠራሉ. ቀድሞውኑ ቀላል ነው!